Cours LP217 Initiation au calcul scientifique sous Scilab

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Cours LP217- Initiation au calcul scientifique
sous Scilab

• Sabine Bottin-Rousseau

http//sabine.bottin.free.fr/
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Rappels
matrice, vecteur ligne, vecteur colonne, image
etc..
Tableau de nombres
Pas dindice 0 dans un tableau
Entrées - sorties
et
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Résolution numérique des EDOs
EDO et systèmes dEDOs du 1er ordre
dxi/dtfi(t,x1,x2,,xn)
1-Solutions analytiques
ExEquations à variables séparables
dx/dtg(x)h(t)
G(x)H(t) cte
On se ramène ensuite à une expression
explicite u(t)x
Remarque Si il ? x0 tq g(x0)0 alors la
fonction u(t)x0 est solution
ExEquations différentielles linéaires du 1er
ordre x(t)p(t)x q(t)
Solution générale solution gén. de léquation
homogène solution particulière
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Résolution numérique des EDOs
2-Méthodes numériques (1) TAYLOR
Il faut évaluer les dérivées dordre supérieur
Erreur en hn1
Couteux non utilisé en pratique
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Résolution numérique des EDOs
3-Méthodes numériques (2) EULER
Erreur sur 1 pas h2
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Résolution numérique des EDOs
Rappels sur les dérivés
Pente dune courbe en 1 point
Droite MN coefficient directeur pente tangente
à la courbe au point M
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Résolution numérique des EDOs
3-Méthodes numériques (2) EULER
Erreur sur 1 pas h2
Erreur sur 1 pas h3
Erreur sur 1 pas h3
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Résolution numérique des EDOs
4-Méthodes numériques (3) Généralisation
Méthode de RUNGE-KUTTA
Mid-Point
RK2
ab1/2 ?b1
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Erreurs et instabilités numériques
5-Erreurs 1 pas N pas
Car N?t/h
euler
Euler h2 h RK2 h3 h2 RK4 h5 h4
Erreur(h)
RK2
RK4
Si on tient compte des erreurs darrondi (tjs
par excès ou par défaut) C2
h
Pour RK4 E(h)/NC1.h5C2 E(h)C1.h4C2/h
Erreur(h)
RK4
Instabilités numériques
h
h optimal
Ex Euler pour x(t) -k x f(x) (kgt0)
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Equations non linéaires
Problématique générale
Comment résoudre une équation quand sa solution
ne peut pas être exprimée analytiquement?
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Equations non linéaires
Cest plus difficile et souvent impossible de
trouver une solution analytique (analytique V
bla bla bla)
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Equations non linéaires

• Recherche des zéros dune fonction

On peut reécrire léquation
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Equations non linéaires

• Recherche des zéros dune fonction

On peut reécrire léquation
ou
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Equations non linéaires

• Méthode de dichotomie
• Plusieurs méthodes existent pour résoudre des
  équations numériquement,
• la plus facile est la méthode de dichotomie

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Equations non linéaires

• Méthode de dichotomie
• Attention cette méthode ne marche pas toujours!

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Equations non linéaires

• Méthode des gradients (Newton-Raphson)
• On devine une racine initiale xn
• On trace la tangente
• Cette tangente coupe laxe des abscisses
• à un nouveau point xn1 qui est une nouvelle
• approximation de la racine

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Equations non linéaires

• Instruction fsolve de Scilab
• En réalité les algorithmes utilisés sont des
  combinaisons des méthodes précédentes
• et dautres méthodes plus sophistiquées et
  plus fiables qui se trouvent derrière
• linstruction fsolve

Pour la définir on tape deff(yf(x),yx4x3-
5)
En traçant cette fonction, on voit que la racine
se trouve près de 1
Pour résoudre donc léquation f(x)0 on tape
x0fsolve(1,f)
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Intégration

• Problématique générale

Comment calculer une intégrale quand on ne
connaît pas de primitive?
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Intégration
Méthode des trapèzes
- La méthode la plus directe et facile
Mais pour être précis, il faut beaucoup de
trapèzes
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Intégration
Méthode de Simpson
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Intégration
Méthode de Simpson
On approxime la courbe (C) qui passe par 3 points
consécutifs par une parabole (P) qui passe par
les mêmes points.
où f2f(x2), hx3-x2x2-x1, ax1, bx3