Mise niveau en algorithmique CS318 Chapitre 7 : arbres

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Mise à niveau en algorithmique CS318Chapitre 7
arbres

• 2007/2008

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I - Introduction

• Exemples darbres
• Arbre généalogique
• Arborescence de fichiers
• Expression (opérateurs, constantes)
• Classification

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I - Introduction

• Terminologie
• A est (à) la racine de l'arbre
• C est père de H H est fils de C
• G, H, I sont frères
• F est petit-fils de A A est grand-père de F
• G et K sont cousins
• C, G, I sont les descendants de A
• F, B et A forment l'ascendance de L

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I - Introduction

• Terminologie
• Feuille nud qui n'a pas de fils (nud externe
  ou terminal)
• Longueur d'un chemin nombre de nuds sur le
  chemin
• Niveau d'un nud longueur du chemin de la
  racine à ce nud
• La racine est de niveau 1
• Le niveau d'un nud est 1 le niveau de son père
• Profondeur d'un arbre niveau maximum

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I - Introduction

• Réalisation avec des pointeurs
• type sommet article
• valélt
• sag,sadarbre
• fin article
• arbre ?sommet

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II Arbres binaires

• Définition récursive
• Soit E un ensemble fini déléments. Un arbre
  binaire sur E est
• soit larbre vide,
• soit un triplet a (r, sag, sad) ou r est un
  élément de E appelé racine de a et sag et sad
  sont des arbres binaires appelés respectivement
  sous-arbre gauche et sous-arbre droite de a.
• Opérations sur un arbre binaire
• créer un arbre vide
• tester si un arbre est vide
• prendre le sous-arbre gauche
• prendre le sous-arbre droit
• créer un sommet père de deux arbres donnés
• ...

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II Arbres binaires

• Définition
• Un arbre binaire est
• soit vide
• soit non vide et a
• une racine
• un sous-arbre gauche
• un sous-arbre droit

r
G
D
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II Arbres binaires

• Notation
• Arbre vide /\
• Arbre non vide /G,r,D\
• G arbre gauche
• D arbre droit
• r racine
• Exemple
• / / / / \ , D, / \ \ , B , / \ \ , A , / /
  \ , C , / \ \ \

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II Arbres binaires

• Exemple de fonction nombre de nuds dun arbre
• Spécification
• Nb un arbre binaire d'entiers ? un entier ? 0
• Nb(A) est le nombre de nuds de larbre A
• Par exemple Nb(/\)0, Nb(//\,2,/\\)1

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II Arbres binaires

• Exemple de fonction nombre de nuds dun arbre
• Spécification
• Nb un arbre binaire d'entiers ? un entier ? 0
• Nb(A) est le nombre de nuds de larbre A
• Par exemple Nb(/\)0, Nb(//\,2,/\\)1
• Définition récursive
• Nb(/ \) 0
• Nb(/G, r, D\) 1 Nb(G) Nb(D)

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II Arbres binaires

• Primitives
• Constructeur /\, /...,...,...\
• Sélecteurs Racine, Gauche, Droit
• Testeur EstVide

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II Arbres binaires

• Exemple nombre déléments positifs
• Spécification
• NbP un arbre binaire d'entiers ? un entier ? 0
• Équations de récurrence
• NbP(/\) 0
• NbP (/G, r, D\) (si r ? 0 alors 1 sinon 0)
  NbP(G) NbP(D)
• Réalisation récursive
• NbP (A)
• si EstVide?(A) alors 0
• sinon (si Racine(A) ? 0 alors 1 sinon 0)
• NbP (Gauche(A)) NbP (Droit(A))

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III Arbres binaires non vide

• Définition récursive
• Une racine
• Singleton
• Une racine et un sous-arbre gauche non vide
• Unaire gauche
• Une racine et un sous-arbre droit non vide
• Unaire droit
• Une racine et deux sous-arbres non vide
• Binaire

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III Arbres binaires non vide

• Notation abrégée
• Une racine
• //\, r, /\\ //r\\
• Une racine et un sous-arbre gauche non vide
• /G,r,/\\ //G,r\\
• Une racine et un sous-arbre droit non vide
• //\,r,D\ //r,D\\
• Une racine et deux sous-arbres non vide
• /G,r,D\ //G,r,D\\
• G et D non vides

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III Arbres binaires non vide

• Testeurs
• EstSingleton
• EstUnaireGauche
• EstUnaireDroit
• EstBinaire

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IV Modèles danalyses

• Modèles danalyse
• Modèle 1 arbre vide
• Équations de récurrence
• (1) F(/\) ...
• (2) F(/G, r, D\) ...
• Réalisation récursive
• si EstVide?(X) alors ...
• sinon
• G ? Gauche(X),
• r ? Racine(X),
• D ? Droit(X)
• ...

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IV Modèles danalyses

• Modèles danalyse
• Modèle 2 arbre non vide
• Équations de récurrence
• (1) F(// r \\) ...
• (2) F(//G, r \\) ...
• (3) F(//r, D \\) ...
• (4) F(//G, r, D \\) ...
• Réalisation récursive
• selon X
• EstSingleton(X) ...
• EstUnaireG?(X) ...
• EstUnaireD?(X) ...
• EstBinaire?(X) ...