Mathmatiques en collge, liaison avec la seconde'

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Mathématiques en collège,liaison avec la seconde.

• Atelier C3
• Évolution des pratiques,
• Évolution de lévaluation

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• Énoncé 
• On considère un cercle de centre O et un point
  fixe A de ce cercle. On déplace un point M sur ce
  cercle.
• On se propose d'étudier le déplacement du milieu
  I de la corde AM.
• Étude expérimentale 
• 1. Construire la figure sur un logiciel de
  géométrie dynamique.
• Appeler le professeur pour valider cette
  construction
• 2. Faire déplacer le point M et, à laide du mode
  trace, faire apparaître le déplacement du point
  I.
• Appeler le professeur pour valider la conjecture
• Étude mathématique 
• 3. Démontrer la conjecture émise précédemment.
• Appeler le professeur pour lui indiquer
• les méthodes prévues pour la démonstration
• Productions demandées 
• construction sur le logiciel de géométrie
  dynamique
• Formulation orale de la conjecture
• Donner une réponse argumentée

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• Énoncé 
• On considère un cercle de diamètre AB et un
  point C de ce cercle.
• P est le symétrique de A par rapport à C. La
  droite perpendiculaire en P à la droite (AC)
  coupe la droite (AB) en H.
• On déplace le point C sur ce cercle.
• On se propose d'étudier le déplacement du point H
  et celui du point P.
• Étude expérimentale 
• 1. Construire la figure sur un logiciel de
  géométrie dynamique.
• Appeler le professeur pour valider cette
  construction
• Faire déplacer le point C. Que peut-on dire du
  point H ?
• Faire déplacer le point C et, à laide du mode
  trace, faire apparaître le déplacement du point
  P.
• Appeler le professeur pour valider les
  conjectures
• Étude mathématique 
• Démontrer les deux conjectures émises
  précédemment.
• Appeler le professeur pour lui indiquer les
  méthodes prévues pour la démonstration
• Productions demandées 
• construction sur le logiciel de géométrie
  dynamique
• Formulation orale des conjectures
• Donner une réponse argumentée

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Énoncé  C est un cercle de diamètre AB, de
centre O et de rayon 5 cm. C est un point du
cercle C tel que AC 6 cm. I est le milieu de
BC et D est lintersection de la droite (OI) et
du cercle C. Le but de lexercice est de
déterminer laire du triangle BCD. Étude
mathématique  Construire la figure Appeler le
professeur pour valider cette construction 2.
Faire un plan de la démonstration Appeler le
professeur pour valider ce plan et lui indiquer
les méthodes prévues pour la démonstration 3.
Résoudre le problème. Productions
demandées  construction papier-crayon Formulation
orale du plan Effectuer une démonstration
complète
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• Énoncé 
• Soient A, B et C trois points du plan.
• Tracer un triangle IJK de sorte que les points A,
  B et C soient respectivement les milieux des
  côtés IK, IJ et JK du triangle IJK.
• Étude expérimentale 
• 1. A laide dun logiciel de géométrie dynamique,
  chercher par essais successifs à faire apparaître
  la figure.
• Appeler le professeur pour valider cette
  expérimentation
• 2. Émettre une conjecture sur le programme de
  construction.
• Appeler le professeur pour valider la conjecture
• Étude mathématique 
• Justifier cette construction.
• Appeler le professeur pour lui indiquer
• les méthodes prévues pour la démonstration
• Écrire un programme de construction rigoureux,
  puis construire de nouveau la figure
• Productions demandées 
• Formulation orale de la conjecture
• Construction sur le logiciel
• Donner une réponse argumentée
• (Inspiré dun travail effectué dans lAcadémie de
  Strasbourg _ Site Educnet

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Une échelle, appuyée contre un mur vertical,
glisse sur le sol. Il s'agit de préciser sur
quelle figure se déplace le milieu de cette
échelle. Commentaires MIAM Analyser une
situation concrète, réinvestir à cette occasion
un théorème du cours et poursuivre ainsi
l'apprentissage du raisonnement
hypothético-déductif à travers une problématique
géométrique. L'apport informatique La
présentation dynamique du problème permet une
meilleure compréhension, une meilleure
appropriation et invalide naturellement les
conjectures incorrectes. http//www.maths.ac-aix
-marseille.fr/tic/classe/clg/docs/echelle/echelle.
htm
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ABC est un triangle rectangle en A. M est un
point quelconque de l'hypoténuse BC. La droite
perpendiculaire au côté AB passant par M coupe
AB en I. La droite perpendiculaire au côté
AC passant par M coupe AC en J. Déterminer
pour quelle(s) position(s) du point M sur le côté
BC la longueur IJ est la plus petite possible.
Commentaires MIAM Expérimentation rapide
permettant de mettre en évidence un minimum.
Invalidation immédiate des conjectures
incorrectes. Insuffisance de la détermination de
la position exacte du point M rendant nécessaire
le recours à la démonstration. Possibilité de
visualiser la validité du résultat après
démonstration. http//www.maths.ac-aix-marseille
.fr/tic/classe/clg/docs/distmin/DISTMINI.HTM
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Un programme de calcul  Choisir un nombre Lui
ajouter 4. Multiplier le résultat par 8. Ajouter
au résultat le double du nombre initial. Ôter 32
au résultat Lire le nombre obtenu. 1. Réaliser ce
programme plusieurs fois de suite. 2. Faire une
conjecture. Appeler le professeur pour valider la
conjecture 3. Démontrer votre conjecture. Appeler
le professeur pour valider la démonstration Produc
tions demandées  Formulation orale de la
conjecture Essai sur calculatrices ou tableur
Démonstration à laide du calcul littéral
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• a et b désignent deux nombres réels positifs.
• A laide dun tableur choisir des nombres a et b
  et calculer la valeur de
• 2. Peut-on trouver un choix de a et b qui rende
  le nombre le plus
• petit possible ? Quelle est alors la valeur de  
  ?
• Appeler le professeur pour valider la conjecture
• 3. Développer (a b) ² et démontrer que a² b²
  ? 2ab.
• 4. A laide de linégalité précédente, achever la
  démonstration de la conjecture.
• Appeler le professeur pour valider la
  démonstration
• 5. A laide dun logiciel de calcul formel
  développer
• 6. Peut-on utiliser cette nouvelle expression
  pour démontrer que si a et b
• désignent deux nombres réels positifs alors on
  a 
• Daprès Enseignement des mathématiques et
  logiciels de calcul formel (MEN)

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On considère tous les rectangles dont le
périmètre mesure 32 cm. Pour un tel rectangle, on
note L sa longueur et l sa largeur, A son aire en
cm2. Si un tel rectangle a une longueur de 15 cm,
quelle est son aire ? A laide dun logiciel
adapté, complétez le tableau suivant  Que
lle(s) conjecture(s) peut-on faire en examinant
le tableau précédent ? Appelez le professeur pour
valider le tableau et les conjectures Vérifier
cette (ces) conjecture(s) en utilisant un pas de
0,5. Appelez le professeur pour valider le
tableau et les conjectures Démontrez votre
conjecture. Appelez le professeur pour valider la
démonstration.
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Patron de cube Fiche élève Première partie A
laide dun logiciel de géométrie construire un
patron de cube. Le côté du cube doit pouvoir être
choisi de façon simple et pouvoir être modifié à
tout moment. Imprimer le patron dun cube de 5 cm
de côté. Vérifier quil permet bien de fabriquer
le cube. Seconde partie Pour faciliter
lassemblage, compléter le patron en dessinant
des  languettes  permettant de coller les faces
entre elles. (Attention au nombre de languettes
il faut éviter les languettes inutiles,
naturellement la taille des languettes doit
varier avec le côté du cube). Troisième
partie Peut-on imprimer le patron dun cube de 7
cm de côté sur une feuille A4 ?
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Patron de cube Fiche prof Situation
mathématique  Volontairement aucune précision
na été donnée sur le patron et le processus de
construction. Il existe énormément de variantes à
cette construction. Suivant le logiciel employé
certaines variantes sont plus ou moins simples à
mettre en uvre. Il peut être intéressant
dinviter les élèves à comparer, une fois le TP
terminé, les processus suivis par exemple
lutilisation ou non de symétrie axiale ou
centrale. Pour comparer ces processus on peut
sappuyer sur  texte de la figure  que les
divers logiciel permettent dafficher et/ou
dimprimer. Aucune précision nest donnée sur la
forme des languettes, les possibilités sont
multiples (secteur circulaire, triangle,
trapèze) lessentiel étant que ces languettes
soient  construites  en tenant compte du côté
du cube, et que chaque languette se colle bien
sur une face (et non sur une autre languette). La
troisième partie peut être abandonnée ou au
contraire développée (quel est le côté du plus
grand cube dont le patron est imprimable sur une
feuille A4). Suivant la forme des languettes la
réponse peut varier, une réponse complète à cette
question nest pas à la portée des élèves.
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II Table de sinus Fiche élève Aujourdhui pour
calculer le sinus dun angle on utilise la touche
 SIN  de la calculatrice. Avant larrivée des
calculatrices on utilisait des tables. Comment
les fabriquait-on ? Ce TP indique quelques idées
utilisées dans la fabrication de ces
tables. Première partie On admet quon obtient
une valeur approchée de Sin(q) (où q est la
mesure en degré dun angle compris entre 30 et
60) en utilisant la formule  S(q)  0,000000624
0 q3  0,0000228938 q2  0,0181926989
q  0,0083523954 A laide dun tableur (ou dune
calculatrice) donner la table de S et celle de
Sin pour q prenant toutes les valeurs entières
comprises entre 30 et 60. Quelle est la précision
obtenue lorsquon utilise S à la place de
Sin ? Seconde partie Le calcul de S nutilise que
des additions, des soustractions et des
multiplications qui peuvent donc être faites à la
main. Calculer à la main S(37). Penser à
organiser le calcul pour faire le moins
dopérations possible  combien dopérations ont
été nécessaires ? (On comptera dune part les
additions ou soustractions et dautre part les
multiplications). Pour calculer à la main toute
la table combien dopérations faudrait-il faire ?
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II Table de sinus Fiche élève (suite et fin) Une
propriété bien utile. A coté des valeurs de S(q),
faire apparaître sur le tableur les différences
dordre 1 c'est-à-dire les valeurs de D1(q) 
S(q1)  S(q). Faites ensuite apparaître dans la
colonne voisine les différences dordre 2,
c'est-à-dire les valeurs de D2(q) 
D1(q1)  D1(q), puis dans la colonne voisine les
différences dordre 3 c'est-à-dire les valeurs de
D3(q)  D2(q1)  D2(q). Que constate-t-on pour
ces différences dordre 3 ? (On admet que cette
propriété est vraie pour tous les polynômes de
degré 3, elle peut être démontrée par un calcul
algébrique). Troisième partie. En utilisant la
propriété précédente, et en supposant connues les
quatre premières valeurs de la table, montrer que
lon peut reconstruire toute la table en ne
faisant que des additions et des soustractions.
Mettre en uvre cette méthode sur le tableur.
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II Table de sinus Fiche prof Lobjectif est de
donner ici une première idée des méthodes qui ont
permis le calcul des tables. Le polynôme qui
apparaît ici est un polynôme dinterpolation
calculé par la méthode des moindres carrés à
partir des points (q, Sin(q)). Ce nest donc
probablement pas ce polynôme qui a été utilisé
historiquement. Limportant est de montrer
lintérêt de la propriété des différences
finies. Une fois cette propriété constatée, il
reste encore à bien voir comment elle peut être
exploitée  cest le but de la troisième
partie. Dans la mise en uvre, la fonction SIN
des tableurs attend un argument en radian, on
peut conseiller aux élèves de consulter laide
qui accompagne cette fonction. La comparaison
entre valeurs de S et de Sin peut être facilitée
par une représentation graphique et/ou le calcul
de la différence.