INITIATION AU RAISONNEMENT ALGEBRIQUE AU DEBUT DU COLLEGE

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INITIATION AU RAISONNEMENT ALGEBRIQUE AU DEBUT DU
COLLEGE
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Citations de la commission Kahane

• Le passage du calcul numérique au calcul
  algébrique constitue une véritable révolution.
• Faire comprendre que le calcul algébrique nest
  pas aveugle, quon en possède des modes de
  contrôle.
• Contrôler ce calcul impose de comprendre les
  règles qui gouvernent la formation et le
  traitement des expressions algébriques, et se
  démarquer dune lecture de gauche à droite ...

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Citations de la commission Kahane

•  lorsquon demande à des enseignants quelles
  sont les fonctions de lalgèbre au collège, la
  fonction doutil de preuve nest généralement pas
  identifiée. 
• Faire percevoir la puissance que donne le
  calcul algébrique.
• (Résoudre, formuler, généraliser, prouver)
• Développer lintelligence de calcul.
• (Reconnaissance et choix de formes, calcul mental
  et réfléchi)

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Citations de la commission Kahane

• Pistes
• Ne pas banaliser complètement les tâches de
  calcul.
• Aider les élèves à réagir en fonction du sens
  des expressions (formes factorisées)
• Donner des tâches qui relèvent dune certaine
  complexité technique.

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La  révolution  en quelques points
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Différents statuts des lettres

• Pour désigner un objet.
• Pour désigner une variable.
• Pour désigner une inconnue.
• Pour désigner une indéterminée.

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Différents statuts du signe égal

• Annonce dun résultat, déclencheur dopérations.
  (EXE)
• Egalité sous conditions équations.
• Egalité toujours vraie identité.
• Un adressage, une affectation dans le cadre
  fonctionnel.

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Les autres signes opératoires

• En arithmétique, les signes opératoires indiquent
  les procédures.
• Les résultats sont numériques.
• En algèbre, les écritures indiquent la procédure
  et le résultat.
• Exemple

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Les principaux objectifs du calcul littéral

• Outil de généralisation et de preuve.
• Exemple
• Outil qui permet la justification ou
  lexplication des règles et des techniques de
  calcul.
• Exemple Application au calcul mental.

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Un apprentissage progressif

• En préambule, quelques réflexions à partir du
  texte
• Le calcul au collège
• Inspection Générale, Juin 2004
• Contenus et exemples pour les classes du collège.

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Préambule

• Un point sur les pratiques lors des activités
  numériques
• Passage dexemples au cas général.
• La place des techniques.
• La nature des justifications.

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Préambule

• Du calcul numérique
• Le calcul mental (réfléchi).
• La place des calculatrices.
• Le délicat équilibre
• Réflexion - Technique

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Préambule

• au calcul algébrique.
• Les différents statuts sont abordés
  successivement.
• Le sens de légalité est précisé dans chaque cas.
• Les techniques de calcul peuvent être justifiées.
  Exemple.

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En sixième

• La définition du quotient
• Liens ultérieurs
• Justification des règles de calcul avec les
  écritures fractionnaires.

15
En sixième

• Développer les sens de légalité.
• Exemple
• Initiation aux écritures littérales Tâches de
  substitution.
• Utilisation dune expression littérale.
• Formulaire aires et périmètre du cercle.
• Mise en jeu implicite de notions fonctionnelles.

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En sixième

• Initiation à la résolution déquations égalités
  à trous.
• Absence de lettre pour marquer linconnue.
• Procédures en référence au sens et à la
  définition des opérations.
• Procédure utilisant un schéma. Exemple

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En cinquième

• Travail sur les changements de cadre.
• Approche de la notion de fonction.

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En cinquième

• Introduction de la lettre comme indéterminée
  kx(ab) kxa kxb.
• Exemple
• Conventions décriture.

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En cinquième

• Suite de linitiation à la résolution déquations
  
• Lettre pour marquer linconnue.
• Tests dans des égalités, des inégalités.
• Résolution basée sur le sens des opérations.
• Introduction des nombres relatifs.

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En cinquième quelques exemples

• Voir le document word
• atelier B2_exemples en 5e

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Fin de la présentation
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Exemple dutilisation dun schéma.

• Trouver la longueur manquante dans chaque cas
• Longueur totale 9

?
7
10
2
?
3
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Exemple pour variable en 6éme

• Si 1,2 lt t lt 1,5 quel nombre peut-on mettre à
  la place de t ?
• Complète le tableau suivant

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Outil de justification.
Extrait du document de lInspection Générale, Le
calcul au collège.
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Exemples pour la lettre objet.

• La lettre désigne une unité 4 m pour 4 mètres.
• La lettre désigne une abréviation dun objet
  mathématique A L X l

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Formule de distributivité

• Dans le cadre géométrique ou numérique,
  travailler des égalité du type
• 3 x (x 5) 3 x x 3 x 5
• 5 x (x y) 5 x x 5 x y

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Sens de légalité en 6ème

• Par des activités numériques du type 23,52
  2x1035x 2x
• Donner une écriture de montrant
• que cest un nombre plus grand que 3
• que cest un nombre plus petit que 4
• que cest un nombre décimal

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Sens de légalité en 6ème

• Dans une formule, faire varier une grandeur en
  fonction dune autre, toute autre variable étant
  fixée.

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Les écritures en algèbre

• x 7 .
• Procédure (addition)
• et / ou résultat (somme)
• Cette difficulté est à lorigine de
  transformations non cohérentes en 7x ou en x
  7 0

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Outil de généralisation

• Le professeur a écrit au tableau lexercice
  suivant
• Calculer
• 23 X 7 7 23 X 8 7 23 X 9 7 23 X 10
  7
• 23 X 11 7 23 X 12 7 23 X 13 7 23 X
  14 7
• Un camarade est absent. Quelle consigne lui
  donner au téléphone, sans lui dicter tous les
  calculs.
• La consigne est bonne si le camarade sait
  exactement ce quil doit faire.
• (Manuel Triangle, édition Hatier)

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Outil de preuve

• Lorsquon additionne trois entiers consécutifs,
  peut-on affirmer que la somme est toujours un
  multiple de 3 ?
• Choisis deux nombres dont la somme est 300 et
  fais leur produit. Ajoute 7 à chacun deux. De
  combien augmente le produit ?