Faut-il br

1
Faut-il brûler la logique classique?

• Les logiques modales

2
C. I. Lewis, 1918 les  paradoxes  de
limplication matérielle

• (1)
• (2)
• ad impossibile sequitur quodlibet
• Ex si  leau bout à 100  est vraie, alors il
  est vrai que  si Charlemagne fut empereur, alors
  leau bout à 100 
• Distinguer une  implication stricte  dune
  implication matérielle?

3
Implication stricte

• P implique strictement Q si et seulement sil est
  impossible que P soit vrai sans que Q le soit
• Fait intervenir la notion de modalité

4
une idée pas neuve

• Aristote, Premiers Analytiques
• cf. discussion sur laporie de Diodore Kronos (J.
  Vuillemin, 1984)

5
Intérêt des logiques modales

• Introduire
• le temps dans la logique (logique temporelle)
  sous laspect dopérateurs tels que P et F (passé
  et futur),
• les considérations de contingence et de nécessité
  (logique aléthique),
• celles de permission et dobligation (logique
  déontique)
• les notions de savoir et de croyance (logiques
  épistémiques et doxastiques).

6
opérateurs

• logique aléthique  le nécessaire est le dual du
  possible
• logique déontique  lobligatoire est le dual du
  permis
• logique de la prouvabilité le prouvable est le
  dual du  consistant avec 
• ?p ? ???p

7
Premières approches Lewis et Langford, 1932

• Présentation à la Hilbert

8
Lapproche syntaxique (2)

• Interprétation  naturelle 
• ?p  il est nécessaire que p 
• La logique modale (propositionnelle) est une
  extension du calcul propositionnel
• Toute logique modale doit contenir comme
  théorèmes au minimum toutes les tautologies du
  CP,
• Comme il existe une procédure pour les déterminer
  (décidabilité), on peut admettre que chaque
  tautologie du CP est prise comme axiome

9
Lapproche syntaxique (3)

• axiomes  propres , permettant de manipuler
   ? 
• Axiome 1 toute formule ayant la forme dune
  tautologie
• Axiome 2 ?(???) ? (??? ??)
• Règles modus ponens
• ?, ??? ?
• nécessitation ? ??

10
Lapproche syntaxique (4)

• Axiome 2 ?(???) ? (??? ??)
• si limplication de ? par ? est nécessaire,
  alors si ? est nécessaire, ? aussi (transfert de
  la nécessité)
• Règles nécessitation ? ??
• si on a pu démontrer ? alors cest que ? est
  nécessaire
• Le résultat logique modale minimale K

11
Lapproche syntaxique (5)

• Précaution dans les dérivations
• Lusage de la règle de nécessitation est interdit
  après lintroduction dune prémisse
• cf ? ?, où ? est un ensemble de prémisses.
  Sans restriction, si ? ? ?, on a ? ?, donc
  (nécessitation) ? ??, toute prémisse
  exprimerait une vérité nécessaire!
• En réalité, ne sont nécessaires par la règle de
  nécessitation que les propositions démontrées
  sans prémisse.

12
Lapproche syntaxique (6)

• Problèmes avec lapproche syntaxique
• il est  facile  dimaginer toutes sortes de
  systèmes daxiomes du genre
• ????, ??? ?? ?, ??? ? ?, etc.
• mais quel sens cela a-t-il véritablement?
• (insuffisance de notre intuition)
• ? Besoin dune approche sémantique

13
Sémantique de la logique modale

• Sémantique dite  de Kripke 
• Deux notions-clés
• Monde possible
• Relation daccessibilité

14
La théorie des mondes possibles
15
Semantic frame

• Un  frame  F est un couple (W, ?) où
• W un ensemble non vide (de  mondes
  possibles )
• ? une relation binaire sur W
• Un modèle (de Kripke) sur F est un couple (F, V)
  où
• F est un  frame 
• V est une application de p1, p2, , pn ? W dans
  0,1 (à chaque lettre propositionnelle et chaque
  monde possible une valeur de vérité) ou bien une
  application de p1, p2, , pn dans ?(W)

16
Sémantique (3)

• Si dans le modèle M, V(p, w) 1 (p une
  lettre propositionnelle, w un monde), on écrit
• VM,w(p) 1 ou
• M,w p ou encore w M p
• On étend V à toute formule au moyen de
• VM,w(???) 1 ssi VM,w(?) VM,w(?) 1
• VM,w(???) 0 ssi VM,w(?) VM,w(?) 0
• VM,w(??) 1 ssi VM,w(?) 0
• VM,w(?) 1 ssi pour tout w tel que w?w,
  VM,w(?) 1

17
Sémantique (4)

• Au lieu de V(p, w) 1
• w ?V(p)
• On étend V à toute formule au moyen de
• V(???) V(?) ? V(?)
• VM,w(???) V(?) ? V(?)
• V(??) W - V(?)
• w ? V(?) ssi pour tout w tel que w ? w, w ?
  V(?)
• Ou encore
• V(?) w pour tout w w ? w? w ? V(?)

18
complétude

• Logique complète par rapport à la sémantique des
  mondes possibles
• ? - ? si et seulement si
• pour toute valuation V sur un frame (W, R)
• V(?) ? V(?)

19
Liens entre propriétés de ? et formules vraies
dans une logique modale

• Supposons que nous prenions comme axiome
  supplémentaire, la formule
• ?? ? ?
• Quelle est sa signification en termes de
   frame  ou de  relation daccessibilité ?

20

• Si ? est vraie dans tout monde accessible au
  monde actuel w0, alors ? est vraie dans ce monde
  actuel
• Autrement dit w0 fait partie de ces mondes
  accessibles à partir de lui-même
• w0 ? w0
• Autrement dit ? est réflexive

21
?? ? ?
w0
??
22
?? ? ?
?
w2
?
w1
?
w3
w0
?
w7
?
w4
?
w6
w5
?
23
?? ? ?
?
w2
?
w1
?
w3
w0
??
?
w7
?
w4
?
w6
w5
?
24
?? ? ?
?
w2
?
w1
?
w3
w0
??
?
w7
?
w4
?
w6
w5
?
25
Propriétés de ? et formules vraies

• Idem pour
• ?? ? ???
• Si ? est vraie dans tout monde accessible au
  monde actuel w0, alors cest le cas également de
  ??
• Pour que ?? soit vraie dans tout monde w
  accessible à w0, il faut que ? soit vraie dans
  tout monde accessible à tout monde w accessible à
  w0.
• Donc la formule exprime le fait que si ? est
  vraie dans tout monde accessible à w0, alors elle
  est encore vraie dans tout monde accessible à
  tout monde accessible à w0.

26

• ceci est assuré si
• ? est transitive

27
?? ? ???
w0
??
28
?? ? ???
?
w2
?
w1
?
w3
w0
?
w7
?
w4
?
w6
w5
?
29
?? ? ???
?? ? ?
w0
?
w6
w5
?
30
?? ? ???
??? ?
w0
??
w6
w5
??
31
?? ? ???
??? ?
w0
?
?
w6
?
w5
?
?
?
32
?? ? ???
??? ?
w0
?
?
?
w6
?
w5
?
?
?
?
33

• Quen est-il de
• ??? ? ? ?

34

• Sil existe un monde possible accessible au monde
  actuel où ?? est vraie, alors ? est vraie dans le
  monde actuel
• Soit w1 ce monde, dire que ?? est vraie dans w1,
  cest dire que ? est vraie dans tout monde
  possible accessible à w1
• Si on veut que toujours en ce cas, ? soit vraie
  dans w0, il suffit que w0 soit toujours
  accessible à w1
• Et ce, quel que soit le monde w1 accessible à w0
• Donc que ? soit symétrique

35
Caractérisation dun frame

• ? caractérise une propriété de ? si et seulement
  si tout frame ltW, ?gt ayant cette propriété admet
  ? comme formule vraie
• une relation ? est dite euclidienne si et
  seulement si
• ?x?y?z x ? y ? x ? z ? y ? z

36
Caractérisation (2)

• ?? ?? (axiome T) caractérise les frames réflexifs
• ?? ? ??? (axiome 4) caractérise les frames
  transitifs
• ??? ? ? (axiome B) caractérise les frames
  symétriques
• ?? ? ??? (axiome 5) caractérise les frames
  euclidiens

37
Différentes logiques

• On a vu K (pas de propriété particulière de ?)
  (logique modale minimale)
• K ?? ? ? logique T
• T ?? ? ??? logique S4
• S4 ?? ? ??? logique S5
• si on ajoute ? ? ?? collapsus (retour à CP)

38
discussion (1)

• ?? ? ?
• modalités ontiques
• sil est nécessaire que ?, alors ?
• modalités épistémiques
• sil est su que ?, alors ?
• mais
• sil est cru que ?, alors ?
• modalités déontiques
• sil est obligatoire que ?, alors ?
• mais
• sil est obligatoire que ?, alors il est permis
  que ?!

39
discussion (2)

• ?? ? ???
• modalités ontiques
• la nécessité de la nécessité la nécessité
  (clôture)
• modalités épistémiques
• sil est su que ?, alors il est su quil est su
  que ? ? (conscience du savoir)
• si je crois que ?, alors je crois que je le
  crois?
• plutôt je sais que je le crois
• modalités déontiques
• sil est obligatoire que ?, alors il est
  obligatoire que cela soit obligatoire

40
discussion (3)

• ?? ? ???
• modalités ontiques
• la possibilité est toujours nécessaire
• modalités épistémiques
• si jignore que non- ?,alors je sais que je
  lignore
• modalités déontiques
• sil est permis que ?, alors il est obligatoire
  que cela soit permis

41
Logique épistémique

• ? ??
• toute vérité (logique) est connue!
• (omniscience)
• Axiome 2 si x sait que A ? B et quil sait A,
  alors il sait B ( distribution )
• Nécessitation ? x sait que ?
• Connaissance x sait que ? ? ?
• Modus ponens

42
Problème (McCarthy, 1978)

• Un roi désirant savoir lequel de ses trois
  conseillers est le plus sagace peint un point
  blanc sur le front de chacun deux. Le roi leur
  dit quil a peint un point blanc ou un point noir
  sur le front de chacun et quau moins un des
  points est blanc il demande ensuite à chaque
  conseiller de deviner la couleur de son propre
  point. Après un temps de réflexion le premier
  répond quil ne sait pas entendant cela le
  second dit quil ne sait pas non plus. Après
  avoir entendu la réponse des deux premiers, le
  troisième déclare que son point est blanc.

43
le raisonnement du 3ème conseiller

• Admettons que mon point soit noir. Alors le
  second dentre nous devrait savoir que son point
  est blanc parce quil sait que sil était noir
  alors le premier conseiller aurait vu deux points
  noirs et en aurait conclu que le sien était
  blanc. Comme aucun des deux premiers na pu
  deviner la couleur de son point, il faut que le
  mien soit blanc.

44
Version courte

• Seulement deux conseillers
• A et B savent que chacun peut voir le point se
  trouvant sur le front de lautre, et donc
• Si A na pas de point blanc, B sait que A na pas
  de point blanc
• ?blanc(A) ? KB(?blanc(A))
• A le sait!
• donc KA(?blanc(A) ? KB(?blanc(A)))
• A et B savent chacun quau moins un des deux a un
  point blanc et chacun deux sait que lautre le
  sait,
• donc KA(KB(?blanc(A) ? blanc(B)))
• B dit quil ne sait pas sil a un point blanc,
  donc A sait que B ne sait pas sil a un point
  blanc,
• donc KA(?KB (blanc(B)))

45
Le raisonnement

• (1) ?blanc(A) ? KB(?blanc(A))
• (2) KA(KB(?blanc(A) ? blanc(B)))
• (3) KA(?KB (blanc(B)))
• (4) KB(?blanc(A) ? blanc(B))

46
Le raisonnement

1. ?blanc(A) ? KB(?blanc(A)) (1)
2. KB(?blanc(A) ? blanc(B)) (4)
3. KB(?blanc(A)) ? KB(blanc(B)) - distribution
   -
4. ? blanc(A) ? KB(blanc(B)) - syll. 1, 3 -
5. ?KB(blanc(B)) ? blanc(A) - transpo, 4
   -
6. KA(?KB(blanc(B)) ? blanc(A)) - connaissance
   -
7. KA(?KB(blanc(B))) ? KA(blanc(A)) -distrib -
8. KA(?KB(blanc(B))) (3)
9. KA(blanc(A)) - modus ponens, -

47
Les tableaux

• Chaque monde est représenté par un tableau à deux
  colonnes
• Dans lune on met ce qui est vrai en ce monde
• Dans lautre on met ce qui est faux en ce monde
• Dès quune proposition vient sinscrire dans les
  deux colonnes dun même tableau on a une
  contradiction

48
S4 ?(p ? q) ? ?(?p ? ?q)

• Supposons que cela soit faux
• Alors il existe un monde w où elle est fausse,
  cest-à-dire où ?(p ? q) est vrai mais ?(?p ? ?q)
  faux,
• Si ?(?p ? ?q) est faux dans w, alors il existe un
  monde w accessible à w où ?p ? ?q est faux,
  cest-à-dire où ?p est vrai mais ?q faux,
• Si ?q est faux dans w alors il existe un monde
  w accessible à w où q est faux,
• Comme laccessibilité est transitive, w est
  accessible à w, donc p ? q y est vrai, de même
  que p puisque w est accessible à w, doù q
  devrait y être vrai, or il est faux

49
tableau
w
?w
V
F
V
F
(1) ?(p ? q) ? ?(? p ? ?q)
V
F
(8) q
50
à propos du temps branchant

• On peut combiner des modalités
• Par exemple ?, ? et G, H (il sera toujours le cas
  que, il a été toujours le cas que, avec leurs
  duales F - il sera au moins une fois que - et P
  il a été au moins une fois que -)
• Admettons que les mondes possibles aient un axe
  temporel commun
• VM,w,t(??) 1 ssi pour tout w tel que wRw
  VM,w,t(?) 1
• VM,w,t(G?) 1 ssi pour tout t tel que tltt
  VM,w,t(?) 1
• Mais laccessibilité entre les mondes change avec
  le temps! Doù plutôt
• VM,w,t(??) 1 ssi pour tout w tel que wRtw
  VM,w,t(?) 1

51
Temps branchant

• Idée wRtw ssi w et w ont eu la même
   histoire  jusquà t
• t0 t1 t2 t3 t4

52
Formalisation des contrefactuels

• Si Pierre était venu, il aurait rencontré Marie
• p Pierre vient
• q Pierre rencontre Marie
• P(?p??(p ? Fq))
• Il a été une fois dans le passé un monde où p
  était faux et où dans tous les mondes alternatifs
  possibles à ce monde, où p était vrai, il allait
  être le cas au moins une fois dans le futur que q

53
Pas si simple

• P(?p??(p ? Fq))
• P(?p??((p ? r) ? Fq))
• Alors sil est vrai que
• Si Pierre était venu il aurait rencontré Marie
• est-il vrai que
• Si Pierre était venu et en venant sétait tué
  sur la route, il aurait rencontré Marie ?

54
Pas si simple

• Si Pierre était venu, toutes choses étant égales
  par ailleurs, il aurait rencontré Marie
• ?(p ? q) ?  q est vrai dans tous les mondes
  alternatifs où p est vrai ,
• ?(p ? q)  q est vrai dans tous les mondes
  alternatifs où p est vrai, tout autre état de
  choses demeurant constant 
• --gt introduction dune relation de similarité
  entre les mondes