Structures Pyramidales

1
Structures Pyramidales

• Luc Brun
• L.E.R.I., Reims
• and
• Walter Kropatsch
• Vienna Univ. of Technology, Austria

2
Segmentation

• Segmentation Partition de limage en un ensemble
  de composantes connexes uniformes

S1
S2
S5
S3
S4
3
Segmentation

• Problèmes
• Quantité importante de données
• Lhomogénéité dépend de
• Résolution/Contexte
• Besoins
• Parallélisme
• Notion de Hiérarchie

4
Contenu du cours

• Structure de données Hiérarchiques
• Cartes Combinatoires
• Pyramides Combinatoires

5
Pyramides Régulières
6
Pyramides Matricielles(M-Pyramides)

• Pile dimage de résolution décroissante

2x2/4 Pyramide
Niveau 2
Niveau 3
Niveau 1
Niveau 0
7
Pyramides Arborescentes(T-Pyramides)
8
M-Pyramides

• M-Pyramide NxN/q (Ici 2x2/4)
• NxN Fenêtre de Réduction. Pixels utilisés pour
  calculer la valeur dun père (habituellement un
  filtre passe bas)
• q Factor de réduction. Rapport entre la taille
  de deux image consécutives
• Champ récepteurEnsemble des fils au niveau le
  plus bas

9
M-Pyramides

• NxN/q1 Pyramides non chevauchante sans trous
  (ex. 2x2/4)
• NxN/qlt1 Pyramide trouée.
• NxN/qgt1 Pyramide Chevauchante

10
M-Pyramides-T-Pyramides

• Comment coder une partition ?
• Sélection de racines a différents niveaux ?Quad
  tree

11
Quad tree

• Décomposition récursive de l image

12
Pyramide Non chevauchante

• 2x2/4 Pyramide Gaussiène

13
Pyramide chevauchante

• NxN/q gt1

Exemple 4x4/4
- Fils internes Plus proches de leurs pères
Fils externes
14
Pyramide Chevauchante

• NxN/qgt1 Chaque pixel contribue à la valeur de
  plusieurs pères gt Chaque pixel a plusieurs
  pères potentiels

15
Pyramides Chevauchantes

• Algorithme de Segmentation
• lien (père,fils)
• Père légitime le plus proche (plus fort lien)
• Racine Lien(P,Légitime(P))ltseuil)

16
Pyramides ChevauchantesPyramid linkingBHR 81
De Bas en haut -Calculer les valeurs -Positionne
r les liens De Haut en bas -Sélectionner les
racines -Lier les pixels non racine à leurs
pères légitime
17
Pyramide chevauchante
18
Pyramides Régulières

• Avantages (Bister)BCR90
• réduit l influence du bruit
• Rend les traitements indépendants de la
  résolution
• Converti des propriétés globales en propriétés
  locales
• Réduit les coûts de calcul
• Analyse d image a coût réduit en utilisant des
  images faible résolution.

19
Pyramides Régulières

• Inconvénients(Bister)
• Sensible aux Décalages - Zooms - Rotations
• La préservation de la connexité n est pas
  garantie.

20
Pyramides Régulières

• Inconvénients(Bister)
• Sensible aux Décalages - Zooms - Rotations
• La préservation de la connexité n est pas
  garantie.
• Nombre limité de régions à un certain niveau

21
Pyramides Régulières

• Inconvénients(Bister)
• Sensible aux Décalages - Zooms - Rotations
• La préservation de la connexité n est pas
  garantie.
• Nombre limité de régions à un certain niveau
• Difficile de coder les longues régions

22
Pyramides Irrégulières

• Piles de graphes progressivement réduits

23
Pyramides Irrégulières Mee89,MMR91,JM92

• Partant de G(V,E) construire G(V,E)
• Sélectionner un ensemble de nuds survivants?V
• Lien parent-enfant ? Partition de V
• Définition de E
• Sélection des racines

24
Pyramides Stochastiques

• V Maximum Independent Set
• maximum de
• Une variable aléatoire
• Mee89,MMR91
• Un critère d intérêt
• JM92

25
Pyramides Stochastiques

• Sélection des survivants Utilisation d une
  variable aléatoire (distribuée uniformément)

26
Pyramides Stochastiques

• Sélection des survivants Utilisation d une
  variable aléatoire (distribuée uniformément)

27
Pyramides Stochastiques

• Lien parent-enfant
• maximum de
• Une variable aléatoire
• Mee89,MMR91
• une mesure de similarité
• JM92

28
Pyramides Stochastiques

• Définition des arêtes E du graphe réduit
• Deux pères sont reliés par une arête s ils ont
  des enfants adjacents.

29
Pyramides Stochastiques

• Sélection des Racines
• Restriction du processus de décimation par une
  fonction de classe
• MMR91
• Faible Lien Parent -Enfant
• JM92

30
Pyramides Stochastiques MMR91

• Restriction du processus de décimation par une
  fonction de classe

31
Pyramides Stochastiques (Jolion-Montanvert)JM92

• Sélection des nuds survivants
• Critère d intérêt local (minimum local de la
  variance)
• Relation Parent-Enfant
• Parent le plus proche (différence de niveaux de
  gris)
• Extraction des racines
• Différence de niveaux de gris entre un père et
  son enfant gtseuil

32
Pyramides Stochastiques

• Avantages
• Processus purement localMee89
• Chaque racine correspond à une composante connexe
  du graphe initialMMR91
• Inconvénient
• Pauvre description des relations entre les
  régions.

33
DéfinitionsContraction d arêtes
34
Définition Graphes Duaux

• Deux graphes codant les relations entre les
  régions et les segments

35
Définition Graphes duaux

• Deux graphes codant les relations entre les
  régions et les segments

36
Graphes duaux

• Avantages (Kropatsch)Kro96
• Code les propriétés des nuds et des faces
• Inconvénients BK00
• Nécessite le stockage et la mise à jour de deux
  structures de données.
• Contraction in G ? Suppression dans G
• Suppression dans G ? Contraction dans G

37
Paramètre de Décimation

• Soit G(V,E), un Paramètre de Décimation (S,N)
  est défini par (Kropatsch)WK94
• un ensemble de nuds survivants S?V
• Un ensemble d arêtes non survivantes N?E
• Tout nud non survivant est connecté à un nud
  survivant de manière unique

38
Exemple de Décimation
S
N
39
Paramètre de Décimation

• Caractérisation des arêtes non relevantes(1/2)

df 2
40
Paramètre de Décimation

• Caractérisation des arêtes non relevantes(2/2)

df 1
41
Paramètre de Décimation

• Paramètre de Décimation dual
• Supprimer toutes les faces de degré inférieur à 3

42
Paramètre de Décimation

• Contraction d arêtes Paramètre de Décimation
  (S,N)
• Contractions dans G
• Suppressions dans G
• Nettoyage Paramètre de Décimation dual
• Contractions dans G
• Suppressions dans G

43
Paramètre de Décimation

• La caractérisation des arêtes non relevantes
  nécessite le graphe dual
• ?Graphes duaux (G,G)

44
Paramètre de Décimation

• Avantages
• Meilleure description de la partition
• Inconvénients
• Faible décimation

45
Noyaux de Contraction

• Soit G(V,E), un noyau de contraction (S,N) est
  défini par
• Un ensemble de nuds survivants S?V
• Un ensemble d arêtes non survivantes N?E
• Telles que
• (V,N) est une forêt de (V,E)
• Les nuds survivants S sont les racines des arbres

46
Noyaux de Contraction

• L application successive de plusieurs paramètres
  de décimation est équivalente à l application
  d un noyau de contraction.

47
Exemple de Noyaux de Contractions
,
,
S
N
48
Exemple de Noyaux de Contractions

• Suppression des arêtes non relevantes Noyau de
  contraction dual

49
Structures de données Hiérarchiques /Cartes
Combinatoires

• M-Pyramids
• Overlapping Pyramids
• Stochastic Pyramids
• Adaptive Pyramids
• Decimation parameter
• Contraction kernel

50
Cartes Combinatoires définitions

• Permutation ? bijection de D dans D
• Orbites images successive d un élément
• ?(1) 1,3,6
• ?(2)2,10,9,8,5
• ?(4)4, ?(7)7
• Cycles restriction of ? à une seule orbite

51
Cartes Combinatoires définitions

• G(V,E) ? G(D,?,?)
• décomposition de chaque arête en deux demis
  arêtes(brins)

D -6,,-1,1,,6
52
Cartes Combinatoires définitions

• G(D,?,? )
• ? code les nuds

-1
-2
-6
6
-4
-5
?(1)(1,
?(1)(1,3
?(1)(1,3,2)
4
5
-3
3
1
2
53
Cartes Combinatoires Propriétés

• Calcul du graphe dual
• G(D,?,?) ? G(D,? ???, ?)
• L ordre défini sur ? induit un ordre sur ?

1
-2
3
-1
-3
2
5
-5
-4
4
6
-6
?(-1)(-1,
?(-1)(-1,3
?(-1)(-1,3,4
?(-1)(-1,3,4,6)
54
Cartes CombinatoiresPropriétés

• Calcul du graphe dual
• G(D,?,?) ? G(D,? ???, ?)

-1
-2
-6
6
-4
-5
?(-1)(-1,
?(-1)(-1,3
?(-1)(-1,3,4
?(-1)(-1,3,4,6)
4
5
-3
3
1
2
55
Cartes Combinatoires Propriétés

• Résumé
• Les brins sont ordonnés autour des nuds et
  sommets
• Le contour de chaque face est ordonné ?
• L ensemble des régions qui en entoure une autre
  est ordonné
• Le graphe dual peut être codé implicitement
• Le formalisme des cartes combinatoires peut être
  étendu a n importe quelle dimension
  (Lienhardt)Lie89

56
Cartes Combinatoires /Pyramides Combinatoires

• Combinatorial Maps
• Computation of Dual Graphs
• Combinatorial Maps properties
• Discrete Maps

Bru99 http//www.univ-st-etienne.fr/iupvis/color
/Ecole-Ete/Brun.ppt
57
Suppression

• G(D,?,? )
• d?D tel que d ne définit pas un pont
• GG\ ?(d)(D, ?,? )

d
-d
58
Suppression

• Exemple

-1
-2
-6
6
-4
d5
4
-3
3
1
2
59
Contraction

• G(D,?,? )
• d?D tel que d ne définit pas une boucle
• GG/?(d)(D, ?,? )

d
-d
60
Contraction

• Préservation de l orientation

d
d
1
1
c
c
2
2
b
3
3
b
4
4
a
a
61
Opérations de base Propriété Importante

• Le graphe dual est implicitement mis à jour

-1
-2
-6
6
-5
-4
d5
4
suppression
5
-3
3
1
2
1
d5
contraction
62
Noyaux de Contraction

• Soit G(D,?,? ), K?D est un noyaux de contraction
  ssi
• K est une forêt de G
• Ensemble symétrique de brins (?(K)K)
• Chaque composante connexe est un arbre
• Au moins un brin doit survivre
• SDD-K??

63
Noyaux de Contraction

• Exemple

K
1
2
3
13
14
15
16
4
5
6
17
18
19
20
7
8
9
21
22
23
24
10
11
12
64
Noyaux de Contraction

• Exemple

K
65
Noyaux de Contraction

• Comment calculer la carte combinatoire contractée
  ?
• Quelle est la valeur de ?(-2) ?

66
Noyaux de Contraction

• Comment calculer la carte combinatoire contractée
  ?
• Quelle est la valeur de ?(-2) ?

1
2
-2
-1
13
14
15
-13
4
17
7
67
Noyaux de Contraction

• Chemins de connexion
• Soit G(D,?,? ) , K?D et SDD-K
• Si d? SD, CW(d) est la suite minimale de brins
  non survivants entre d et un autre brin
  survivant..
• Les chemins de connexion connectent les brins
  survivants.

68
Noyaux de Contraction

• Chemins de connexion

1
2
-2
-1
3
13
14
15
16
4
5
6
CW(-2)-2.
-1.
13.
17.
21.
10
17
18
19
20
7
8
9
21
22
23
24
10
11
12
69
Noyaux de Contraction

• CW(-2)-2,-1,13,17,21,10

-2
1
3
-1
2
-2
3
2
15
16
13
14
14
15
16
4
5
6
5
6
4
19
20
18
17
18
19
20
7
7
8
9
8
9
22
23
24
21
22
23
24
10
12
11
12
-11
11
-11
70
Noyaux de Contraction

• Construction de la carte combinatoire contractée.
• Pour chaque d in SD
• calculer d dernier brin de CW(-d)
• ?(-d)?(d)??(d)?(-d) ?(d)

71
Extensions(1/2)

• Noyaux de contraction dual
• Remplacer ? par ?
• Application de plusieurs noyaux de même type
• Concaténation des chemins de connexion

72
Extensions(2/2)

• Application de plusieurs noyaux de type
  différents
• Objet plus général des chemins de connexion aux
  suites de connexion
• Pyramides étiquetées
• Pour chaque brin coder
• Le plus haut degré où il est défini (durée de
  vie)
• La façon dont il disparaît (contracté ou
  supprimé)

73
Conclusion

• Les graphes codes efficacement les relations
  topologiques. Les cartes Combinatoires
• code l orientation
• Permettent un codage implicite du graphe dual
• Peuvent être généralisé à des dimensions plus
  élevées
• Les pyramides irrégulières résolvent les
  limitations de leurs ancêtres réguliers

? Pyramides Combinatoires