d

1
début
Illustration dans le plan complexe du repliement
spectral lors de léchantillonnage dun
mouvement régulier de rotation dont on modifie la
fréquence
leroux_at_essi.fr
2
stroboscope
Le repliement spectral dû à léchantillonnage
est similaire à leffet stroboscopique
Illustration par le mouvement dune roue au
cinéma (24 images par seconde) à la
télévision (25 images par seconde)
3
fréquence faible
Fréquence de la rotation 24 fois plus petite
que la fréquence déchantillonnage
temps
fréquence
1
2
0
24 Hz
0
1 s
4
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5
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6
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7
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28
On suit très bien le mouvement
29
fréquence augmentée
Fréquence de la rotation 12 fois plus petite
que la fréquence déchantillonnage
temps
fréquence
1
2
0
24 Hz
0
1 s
30
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40
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41
On suit encore le mouvement
42
fréquence moitié
Fréquence de la rotation 4 fois plus petite que
la fréquence déchantillonnage
temps
fréquence
1
2
6
0
12
24 Hz
0
1 s
Le mouvement est moins bien suivi
43
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47
Le mouvement est moins bien suivi
48
fréquence moitié
Fréquence de la rotation 2 fois plus petite que
la fréquence déchantillonnage
temps
fréquence
1
2
0
24 Hz
12
0
1 s
Le sens de rotation napparaît plus
49
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50
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54
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55
Le sens de rotation napparaît plus
56
fréquences négatives
Augmentation de la fréquence de rotation au delà
de la moitié de la fréquence déchantillonnage
Une fréquence positive
apparaît comme
une fréquence négative
57
Mouvement à fréquence positive (convention du
sens des aiguilles)
58
Mouvement à fréquence positive (convention du
sens des aiguilles)
59
Mouvement à fréquence positive (convention du
sens des aiguilles)
60
Mouvement à fréquence positive (convention du
sens des aiguilles)
61
Mouvement à fréquence positive (convention du
sens des aiguilles)
62
Mouvement à fréquence positive (convention du
sens des aiguilles)
63
Mouvement à fréquence positive (convention du
sens des aiguilles)
64
changement de sens
Changement de signe fréquence négative
65
Changement de signe fréquence négative
66
Changement de signe fréquence négative
67
Changement de signe fréquence négative
68
Changement de signe fréquence négative
69
Changement de signe fréquence négative
70
Changement de signe fréquence négative
71
un peu en dessous de la fréquence
d échantillonnage
Fréquence de la rotation légèrement plus petite
que la fréquence déchantillonnage le
mouvement apparaît inversé
temps
0
1 s
fréquence
1
2
0
-1
23
24 Hz
72
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73
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96
Au lieu de la fréquence w,
on observe la fréquence w - wech qui est négative
w - wech 23-24 -1
97
un peu au dessus de la fréquence
d échantillonnage
Fréquence de la rotation égale à la fréquence
déchantillonnage la rotation ne se voit plus,
la roue paraît immobile
temps
0
1 s
fréquence
2
25
0
1
24
Hz
-1
w - wech 24-24 0
98
Fréquence de la rotation plus grande que la
fréquence déchantillonnage résultat identique
au premier cas, repliement spectral
un peu au dessus de la fréquence
d échantillonnage
temps
0
1 s
fréquence
w - wech 25-24 1
2
25
0
1
24
Hz
-1
99
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100
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110
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111
Au lieu de la fréquence w,
on observe la fréquence w - wech
Repliement spectral
112
condition de nyquist 1
Un mouvement sinusoïdal réel est
la somme de deux composantes complexes lune de
fréquence positive et lautre de fréquence
négative
2 cos wt e jwt e - jwt
2j sin wt e jwt - e - jwt
0
w
-w
fréquence
113
condition de nyquist 2
Pour ne pas perdre dinformation lors de
léchantillonnage dun mouvement réel, sa
fréquence doit être inférieure à la moitié de
la fréquence déchantillonnage.
-1/2wech
1/2wech
0
w
-w
fréquence
114
références
Effet stroboscopique Plateau, von Stampfer
(1830) Analyse du mouvement, Chronophotographie
Muybridge, Marey (1870) Cinématograp
he Edison, Lumière (1890) Théorie de
léchantillonnage pour les transmissions
Nyquist (1928), Shannon (1948)
Consultez les différents sites qui leur sont
consacrés !
Une illustration sonore du repliement
http//www.essi.fr/leroux/listen_to_aliasing