Distance TerreLune Taille de la Lune

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Distance Terre-Lune Taille de la Lune

• Benoît Dasset
• Georges Comte
• Michel Ramponi
• Gérard Trouillot

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• Ce diaporama comporte deux parties
• Partie 1 Il sagit du descriptif de la
  méthode historique dAristarque de Samos ( III
  ème siècle avant J-C)
• Partie 2 La méthode actuelle par télémétrie
  Laser

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Problème Comment Aristarque de Samos ( III
ème siècle avant J-C) a-t-il mesuré le rayon de
la Lune et la distance Terre - Lune ?
Partie 1

• Pré requis
• Théorème de Thalès
• Conversion degré -radian

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Observation la Lune peut éclipser exactement le
soleil

• Représenter cet évènement
• Faites un schéma vu de profil illustrant ce fait.
• Sur ce schéma devront figurer dans lordre et de
  gauche à droite
• le soleil
• la Lune et son cône dombre
• la Terre

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Problème quelle est la longueur du cône
dombre de la Lune?
S
TERRE
O
LUNE
Réponse La longueur du cône dombre de la Lune
est égale à la distance Terre-Lune OS que lon
notera par la suite x. OS X
SOLEIL
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Explications le soleil est beaucoup plus
éloigné de la Terre que la Lune.Les rayons qui
proviennent du bord supérieur du soleil et qui
viennent frapper la Terre et la Lune sont donc
parallèles entre eux.Il en est de même des rayons
qui proviennent du bord inférieur.
Terre
Lune
K
O
C
S
On appelle r le rayon de la Lune et R le rayon de
la Terre. Question Exprimer la longueur du
cône dombre de la Terre L CK en fonction de x,
r et R?
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Réponse

• En posant

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Information la Lune progresse par rapport aux
étoiles dune fois son diamètre apparent en 1
heure.

• Ainsi, la Lune éclipsée demeure totalement
  immergée dans le cône dombre de la Terre pendant
  2 heures dans le cas des éclipses les plus
  longues.

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Question exprimer la section MN du cône dombre
de la Terre en fonction de r ?
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Réponse MN 6 r
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Question déterminer en fonction de L, x et R la
section MN du cône dombre de la Terre en
appliquant le théorème de Thalès
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Réponse
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• Raisonnement intermédiaire
• Égaler les 2 expressions de MN trouvées
  précédemment.
• En se rappelant que lon a posé a R / r et que
  L x.a (diapo 8) ,montrer que a vérifie la
  relation
• 2 ( a 1 ) 6

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• Résultats définitifs
• Connaissant le rayon de la Terre R 6400 km,
  trouver le rayon r de la Lune.
• La Lune est vue depuis la Terre sous un angle d
  un demi degré soit 1 /114 rad, calculer la
  distance Terre-Lune notée x.

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• Réponses
• r R / a 1600 km
• X 3200 .114 364000 km

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Partie 2
La télémétrie  Laser-Lune la méthode
actuelle de mesure à très grande précision
Observatoire de la Côte dAzur, Plateau de Calern
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Télémétrie du grec  télé 
loin mesure de la distance
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Rappel La trajectoire du centre de la
Lune autour de la Terre peut être considérée
comme circulaire en première approximation
Document Observatoire de la Côte dAzur
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Principe
LUNE
cible
Impulsions de lumière laser verte (10 tirs par
seconde)
télescope, laser, horloge
échos de retour le télescope capte une
très petite fraction de lénergie envoyée, qui
sest réfléchie sur la cible
TERRE
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LUNE
cible
départ de limpulsion laser lhorloge indique
une  date  t
Distance télescope-cible X X est compris
entre 360 000 et 406 000 km
TERRE
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LUNE
cible
limpulsion laser voyage vers la Lune à la
vitesse de la lumière, soit 299 792 km/s
TERRE
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LUNE
cible
limpulsion laser atteint le sol de la Lune, là
où se trouve le réflecteur
TERRE
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LUNE
cible
Une toute petite fraction de lénergie de
limpulsion est réfléchie dans la
direction initiale de lémission cest lécho
de retour
TERRE
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LUNE
cible
lécho de retour voyage vers la Terre à la
vitesse de la lumière
TERRE
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LUNE
cible
lécho de retour est capté par le
télescope. Lhorloge indique une  date de
capture  t 
TERRE
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pour t et t en secondes et X en km, en
première approximation, on a
LUNE
cible
t - t 2X / 299 792
Distance télescope-cible X X est compris
entre 360 000 et 406 000 km
TERRE
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Le film des événements lors dun tir laser
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Le réflecteur un élément fondamental de
lexpérience!
La Lune est très loin lénergie lumineuse émise
par le laser nest pas très grande. Il faut
impérativement que la petite fraction réfléchie
par la cible soit renvoyée dans la direction
exacte de lémetteur si on veut avoir la
possibilité de détecter lécho de retour. Ce
résultat est obtenu par des  rétro-réflecteurs
en coins de cube  , qui ont été déposés sur la
Lune par les sondes Lunokhod et les astronautes
des missions Apollo dans les années 70.
29
(No Transcript)
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2) Réflecteurs  coins de cubes  vus à 3
dimensions. Analogie lancer une balle contre
un mur dans langle dune pièce elle rebondit 3
fois et revient dans une direction parallèle à
celle du lancement.
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• Travaux pratiques
• construire un réflecteur  coin de cube  et
  vérifier le comportement des faisceaux réfléchis.
  
• Il faut
• 3 petits miroirs carrés (ou rectangulaires) à
  bords bien droits
• de la colle (Araldite rapide par exemple)
• une équerre pour monter les miroirs bien
  perpendiculaires lun par rapport à lautre.
• une petite diode laser (un pointeur pour écran
  de projection convient très bien)
• un support en bois ou en carton pour orienter le
  rétro-réflecteur après construction.

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3) Rétro-réflecteurs  coins de cube  de
lindustrie optique à gauche, 1 élément à
droite, matrice de 21 éléments
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4) Le panneau rétro-réflecteur déposé sur le sol
de la Lune par les astronautes de la mission
Apollo 11.
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(No Transcript)
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L1
L2

• Positions des réflecteurs
• Sur la Lune

A15
A11
A14
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Positions des panneaux rétro-réflecteurs
installés sur la Lune
37
(No Transcript)
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Les problèmes à résoudre

• La précision de la mesure du temps.
• La très faible énergie de lécho de retour.
• La lumière parasite

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1) la précision de la mesure du temps Pour
navoir quune erreur de mesure D X sur la
distance Terre Lune au plus égale à 1 mètre,
quelle erreur maximale D t peut-on tolérer sur la
mesure du temps de parcours de la lumière
? Même question pour D X 1 cm (précision
actuellement atteinte par linstrument installé
au Plateau de Calern)
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Réponses D t / t 2D X /
X Pour D X 1 mètre , D t 12 10 -9
seconde Pour D X 1 centimètre, D t 0.12
10 -9 seconde Ceci impose dutiliser des
 impulsions  laser (des flashes extrêmement
brefs de lumière, permettant un chronométrage
très précis grâce à une électronique très rapide.

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a) Le trajet  ALLER . Une grande partie de
lénergie émise par le laser natteint pas le
réflecteur la principale raison est dordre
géométrique, à cause de louverture du faisceau.
2) La très faible énergie de lécho de retour
Le faisceau laser  éclaire  une surface sur le
sol lunaire dair A. Le rapport entre lénergie
reçue par le réflecteur et lénergie émise par le
Laser peut se résumer au rapport des aires
A/a Rendement  Aller  rA A/a Évaluons A
afin de déterminer ce rendement
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• Pour évaluer A il faut calculer le rayon de la
  tache de diamètre D

On a tan a (D/2) / x
Doù D 2 x.tan a
AN avec une distance x voisine de 360 000 km et
a 2, on obtient D 2 x 360000 tan
(2/60/60) 7 km
Soit une tache daire A p x (D/2)² 3,14 .
(7/2)² 38,5 km²
Finalement le rendement  Aller  est évalué à
rA a/A 0,3 / 38,5 x 106
rA 8.10 -9 Cest extrêmement faible!
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2) La très faible énergie de lécho de retour

• b) Le trajet  RETOUR . A cause de la nature
  ondulatoire de la lumière, un phénomène appelé
   diffraction  distribue l énergie réfléchie
  par les  coins de cube  dans un faisceau plus
  large que le faisceau incident. Cette largeur
  retour, qui dépend uniquement de la dimension
  dun coin de cube élémentaire, est denviron 12
  secondes darc.
• En appliquant la même méthode que précédemment,
  évaluer le diamètre de la tache, sur le sol
  terrestre, au sein de laquelle se répartit
  lénergie de lécho de retour.
• Cet écho est observé avec un télescope de 1.5
  mètre de diamètre. En déduire lordre de grandeur
  du rapport
• rR énergie détectable / énergie émise
• aire télescope/aire tache

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• D le diamètre de la tache sur terre
• a louverture du faisceau retour,
• D 2.x.tan a
• AN D 2 x 360000 X tan (6/3600) D 21 km
• Doù une tache daire A p.(D/2)² 346 km²
• La pupille dentrée du télescope a une aire a
  p.(d/2)² 1,8 m²
• Soit un rendement retour rR aire télescope /
  aire tache
• rR 1,8 / 346 .106
• rA 5.10 -9
• Cest a nouveau extrêmement faible!

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• Au mieux, lénergie de retour détectable nest
  que 4 10-17 fois
• lénergie émise (et on na pas tenu compte de
  lextinction par latmosphère)
• Le laser (un laser de puissance à cristal YAG ,
  émettant une lumière verte de longueur donde 532
  nanomètres) émet des impulsions dune énergie de
  300 millijoules à la cadence de 10 impulsions par
  seconde.
• Calculer lénergie à détecter, dans le cas le
  plus favorable, pour un écho de retour.
• N.B. dautres problèmes sont à prendre en
  compte, qui affaiblissent encore davantage
  lécho poussière sur le réflecteur, défaut
  dorientation du réflecteur, absorption par
  latmosphère, etc
• Lexpérience montre quil nest possible de
  détecter la trace dun écho de retour quenviron
  une fois tous les 100 tirs en moyenne, soit
  toutes les 10 secondes.

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Les problèmes à résoudre 3) La lumière
parasite Le panneau réflecteur déposé sur le sol
lunaire est minuscule, (et dailleurs invisible!)
vu de la Terre, par rapport au diamètre apparent
(12 ) du faisceau de retour. Mais les 12 de
sol lunaire, tout autour, rayonnent de la
lumière, et envoient dans le télescope une bien
plus grande énergie que lécho ! On résout ce
problème en filtrant cette énergie parasite de
deux manières - filtrage spectral (la
lumière de lécho est de longueur donde
bien déterminée à 532 nanomètres, la lumière
ambiante de la Lune a un spectre continu). -
filtrage temporel on  attend  le signal dans
une fourchette de temps très précise, rien
avant, rien après.
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• Les deux causes derreur principales sur la
  mesure de la distance Terre Lune
• La durée et la forme de limpulsion laser
• Lorientation du plan du panneau réflecteur par
  rapport à la Terre
• La précision atteinte aujourdhui est de lordre
  de 7 millimètres. Elle permet par exemple
  dobserver que la Lune séloigne de la Terre de
  quelques centimètres par an

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Rétro-réflecteur à 360 000 km
Schéma simplifié du télémètre Laser-Lune de
lObservatoire de la Côte dAzur

Horloge
(document aimablement communiqué
par lObservatoire de la Côte dAzur)
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Station au Plateau de Calern
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La même méthode est appliquée à des satellites
artificiels réfléchissants la lumière, avec les
mêmes types dapplications. Cest la
 télémétrie laser-satellite 
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A quoi ça sert ?
Non, ce nest pas juste un jeu vidéo (très
coûteux) de plus ! La télémétrie laser-Lune
permet de vérifier et de compléter avec une
précision très élevée les calculs de lorbite de
la Lune autour de la Terre, détudier les
mouvements du système Terre-Lune-Soleil
(mécanique céleste), et danalyser les mouvements
propres du solide lunaire (oscillations de
 libration ) (sélénographie). On pense avoir
ainsi réussi à établir lexistence dun noyau
liquide central au centre de la Lune. Elle
permet de tester avec une très grande précision
des théories physiques fondamentales (principe
déquivalence, théorie de la Relativité Générale)
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La télémétrie laser-Lune permet aussi dobserver
et de mesurer directement, grâce à deux ou trois
stations en deux ou trois points très distants à
la surface de la Terre, lécartement des plaques
continentales (géophysique)
D1
En mesurant D1 et D2 régulièrement pendant des
années, en visant la même cible depuis les
stations 1 et 2, on peut établir la variation de
la distance d à la surface de la Terre. (quelques
mm par an)
D2
d
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• Autres applications des télémètres laser dans la
  vie de tous les jours
• Appareils de mesure rapide et précise des
  longueurs, peu encombrants, pour les maçons,
  menuisiers, etc
• Contrôle de la vitesse des voitures par les
  policiers munis de  lidars  infrarouges
  portatifs.