Mod

1
Modèles Compartimentaux
G.Sallet Université de METZ
2
Un exemple Tuberculose 2 souches
Susceptibles Latents 1 Latents 2 Infectieux
1 Infectieux 2 Traités
3
Un exemple Tuberculose 2 souches
4
Le principe

• Compartiments
• Une quantité de matières cinétiquement homogène.
  En particulier toute quantité entrante est
  instantanément mélangée avec le reste
• Un compartiment peut-être abstrait
• Les matières d un compartiment ne se
  transforment pas.

5
Analyse compartimentale

• n compartiments
• qi quantité dans le compartiment i
• fij, fji, Ii Oi fonctions de q
• Quantités toutes 0
• L extérieur est noté compartiment 0

6
Équations
7
Équations

• Cela traduit qu il ne peut rien sortir si le
  compartiment est vide !

8
Un théorème bien utile

• Théorème
• Si une fonction f est telle que f(0)0
• Alors
• Où A(x) est la matrice

preuve
9
Équations
on définit
d où
10
Équations
on définit
Puis la matrice et le vecteur
On a alors
11
Propriétés
On notera la flèche qui apporte dans i
venant de j, la quantité de matières
12
Propriétés de la matrice

• 1
• 2
• 3

Un telle matrice s appellera matrice
compartimentale
13
Propriétés du système
Une matrice telle que
s appelle une matrice de
Metzler
Lemme 1 toute matrice de Metzler laisse
invariant l orthant
Lemme 2 toute matrice compartimentale laisse
invariant pour tout M le simplexe
14
Modèles MathématiquesenEpidémiologie
G.Sallet Université de METZ
15
Historique

• 1760 Daniel Bernoulli

• 1906 W.H. Hamer

• 1908 R. Ross

• 1927 W.O Kermack et A.G McKendrick

16
D. Bernoulli

• Méthode mathématique pour évaluer lefficacité
  des techniques de variolation

• D. Bernoulli Essai dune
  nouvelle analyse de la mortalité causée par la
  petite vérole et des avantages de linoculation
  pour la prévenir Mémoire mathématiques
  Académie royale des sciences
  Paris 1760

17
W.H. Hamer

• 1906 Hamer postule

• The course of an epidemics depends on the rate of
  contact between susceptibles and infectious
  individuals

• i.e. principe daction de masse

18
R. Ross

• 1911

• As a matter of fact all epidemiology,
  concerned as it is with variation of disease from
  time to time or from place to place, must be
  considered mathematically, however many variables
  are implicated, if it is to be considered at
  alland the mathematical method of treatment is
  really nothing but the application of careful
  reasoning to the problem at hand

19
R. Ross

• prix Nobel en 1902 pour avoir prouvé que les
  anophèles transmettent les parasites du paludisme

• 1908 modèle continu pour la transmission du
  paludisme, avec action de masse.
• Fondateur de lépidémiologie mathématique
• Dans sa quête pour établir quil nétait pas
  nécessaire déradiquer complètement les
  moustiques pour supprimer le paludisme
• Notion de seuil !

20
R. Ross

• Modèle de Ross (1911)

• Lotka-Volterra (1924)

21
W.O Kermack A.G. McKendrick

• 1927 Contribution à la théorie mathématique
  des épidémies

• Notion de threshold seuil

22
Maladies Infectieuses

• Microparasites

• virus
• Bacteries
• Protozoaires

• Macroparasites

• Nématodes Intestinales
• Schistosomiasis (Bilharziose)
• Filarioses
• Onchocercose

23
Microparasites

• Measles Rougeole
• Mumps Oreillons
• Whooping cough Coqueluche
• Rubella Rubéole
• Diphtheria Diphtérie
• Chicken pox Varicelle
• Gonorrhoea Gonorhée
• AIDS SIDA
• Malaria Paludisme
• Trypanosomiasis
• ...

• petite taille

• Reproduction dans lhôte

• durée de linfection courte relativement à la
  durée de vie de lhôte

• une certaine immunité

24
Cours dune maladie

• Infection microparasitique

25
Infections Microparisitiques

• modèles Compartimentaux

• population divisés en parties homogènes

• Susceptibles
• Infecté Latents
• Infectieux
• Recovered et immuns

26
Infections Microparisitiques

• on ne distingue pas le degré de linfection

• au contraire la densité parasitique est
  essentielle dans les infections macroparatiques

• Infectionpar les protozoaires sont entre les
  deux e.g Malaria, Trypanosomiasis

27
Modèles Compartimentaux

• Susceptibles

• capable de contracter la maladie et de devenir
  infectés

• Exposed

• individus latent qui ayany contracté la maladie
  ne la transmette pas encore

• Infectives

• transmette la maladie aux susceptibles

• Removed

• ne transmettent pas la maladie (
  guéris, morts, quarantaine)

28
Modèles Compartimentaux

• Modèle SIR

S
29
Modèles Compartimentaux

• SIRS avec dynamique vitale

30
Le modèle Kermack-McKendrick classique
31
Le modèle Kermack-McKendrick

• avec dynamique vitale

32
Le modèle Kermack-McKendrick

• SIRS dynamique vitale, immunité temporaire

33
Modélisation du contact

• Représentation mathématique du mécanisme de la
  transmission

• Quest ce que S(t), I(t), R(t) ?
• La taille de la population ?
• Une densité ?
  

34
Modélisation du contact

• S(t), I(t), R(t) ?
• Originellement Kermack-McKendrick S,I,R étaient
  une densité de population par unité de surface
  (Ile de Bombay)
  

• vraie loi d action de masse. Si b
• le nombre de contacts adéquats (contact
  suffisant pour la transmission)

35
Modélisation du contact

• S(t) nombre de susceptibles
• I(t) le nombre d infectieux
• N(t) la population totale

• b le nombre de contacts adéquats (contact
  suffisant pour la transmission) d une personne
  par unité de temps

le nombre de moyen de contacts par unité de
temps d un susceptible

• D où est le nombre de nouveaux cas
  par unité de temps dus à S susceptibles.

36
Modélisation du contact

• Si on utilise une forme d incidence du type

• pour 5 maladies, (rougeole, coqueluche,
  varicelle, diphtérie, scarlatine) avec des
  populations variant entre 1000 et 400 000 on
  trouve que

• La vraie action de masse est aussi plus réaliste
  pour les populations animales.

37
Modélisation du contact
vraie action de masse
pseudo action de masse
38
The reproduction number R0

• R0 est le nombre de cas secondaire quun seul
  cas engendre dans une période infectieuse.

• Introduite par Macdonald dans le contexte du
  paludisme. (1952)

• Diekmann, Dietz, Heesterbeek, Metz cadre
  rigoureux 1990-1991

39
R0 et la notion de seuil

• Modèle SIRS

40

• deux équilibres

41

• Comme NSIR est constant on peut réécrire le
  système

• avec

• équilibres

42

• Il y a un équilibre faisable dans le simplexe si
  

• with

43

• Il y a deux équilibres si

• if

44

• deux équilibres

• si

• léquilibre est stable

• Jacobien en

45
R0

• R0 est le nombre de cas secondaire quun seul
  cas engendre dans une période infectieuse.

• léquilibre endémique est stable

46
R0

• valeur moyenne de la durée infectieuse

• durant cette période une force dinfection
  sapplique sur la population des susceptibles N,

• le nombre de cas secondaires est donc

47

• Les infectieux quittent le compartiment à la
  vitesse

• doù

48
Résultats Classiques (SIRS)
49
Résultats Classiques (SIRS)
50
Résultats Classiques (SIRS)
51
Résultats Classiques (SIRS)

• Morts de la peste dans lîle de Bombay
  17.12.1905 to 21.061906

52
Exemples MSEIR
53
MSEIR
54
meir
La seule entrée du système peut s écrire
55
meir (stabilité de l équilibre non endémique)
56
meir

• 1 infectieux vie moyenne

• cela crée des latents à la vitesse

• soit (s1) latents

• multiplié par la durée de vie moyenne d un
  latent et la vitesse e

57
Preuve meir
L équilibre non endémique (0,0,0,0) est GAS ssi
58
Exemples SEIRS

• exemples

59
SEIRS
60

• Le modèle de Ross (1911)

61

• Le modèle de Ross (1911)

62
Modèle de Ross (1911)
nombre de piqûres par moustique par
unité de temps
proportion de piqûres infectieuses
qui donnent une infection
proportion de piqûres par les
moustiques sains sur un infecté qui donneront
une infection pour le moustique
densité anophélienne,
63
Paludisme Modèle de Ross (1911)
64
Paludisme Modèle de Ross (1911)

• Plus simplement

65
Modèle de Ross (1911)

• Plus simplement

66
Paludisme Modèle de Ross (1911)

• Ross 1911

• Lotka 1923

• Macdonald 1957

• Dietz 1975

67
modèle de Ross

• R0

• Equilibre

68

• Si R0 1 alors le DFE est GAS

• Si R0 gt 1 il existe alors un unique équilibre
  endémique

Remarque
69
Que montre ce modèle ?

• Si

• Le paludisme disparaît

• Si

• Le paludisme sinstalle de façon endémique

70
Que montre ce modèle ?

• Cétait lidée de Ross il nest pas nécessaire
  déliminer totalement la population anophélienne
  pour éradiquer le paludisme. Il suffit de réduire
  cette population en dessous dun certain seuil

nombre de piqûres par moustique par
unité de temps
proportion de piqûres infectieuses
qui donnent une infection
proportion de piqûres par les
moustiques sains sur un infecté qui donneront
une infection pour le moustique
71
Un modèle simple de la transmission de la Dengue

• Aedes Aegypti