3' Modelos matemticos de los sistemas

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3. Modelos matemáticos de los sistemas
3.1 Introducción Un sistema puede ser
representado de varias maneras diferentes, y por
lo tanto puede tener varios modelos matemáticos.
Por ejemplo ecuaciones diferenciales, función
de transferencia, espacio de estado, etc.
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El modelo matemático de un sistema dinámico es un
conjunto de ecuaciones que representan las
características dinámicas del sistema. En
general, la dinámica de los sistemas se describe
en términos de ecuaciones diferenciales, las
cuales se obtienen aplicando leyes físicas. Por
ejemplo, 2a ley de Newton para sistemas
mecánicos, leyes de Kirchhoff para circuitos
eléctricos, etc.
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3.2 Función de transferencia
La función de transferencia se usa en teoría de
control para caracterizar las relaciones
entrada-salida de sistemas lineales invariantes
en el tiempo. La función de transferencia se
define como la transformada de Laplace de la
salida entre la transformada de Laplace de la
entrada, bajo la suposición de que todas las
condiciones iniciales son cero.
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Considere un sistema lineal invariante en el
tiempo, descrito por la siguiente ecuación
diferencial donde y(t) es la salida del sistema
y u(t) es la entrada del sistema. Para obtener la
función de transferencia del sistema, se toma la
transformada de Laplace de ambos miembros de la
ecuación anterior, considerando que las
condiciones iniciales son iguales a cero
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Entonces, la función de transferencia está dada
por Se definen los ceros de G(s) como las
raíces del numerador de G(s) y los polos de G(s)
como las raíces del denominador.
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• Propiedades de la función de transferencia
• La función de transferencia de un sistema
• Se usa extensivamente en el análisis y diseño de
  sistemas lineales invariantes en el tiempo.
• Es un modelo matemático del sistema, en el
  sentido de que expresa la ecuación diferencial
  que relaciona la variable de salida con respecto
  a la variable de entrada.
• Es una propiedad del sistema, completamente
  independiente de la señal de entrada.

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• Relaciona las variables de entrada y de salida,
  pero no proporciona información sobre la
  estructura física del sistema.
• Puede definirse también como la transformada de
  Laplace de la respuesta al impulso del sistema.
• Si la función de transferencia de un sistema es
  conocida, puede estudiarse el comportamiento del
  sistema para diferentes funciones de entrada.

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3.3 Diagramas de bloques
Un diagrama de bloques de un sistema es una
representación gráfica de las funciones
realizadas por cada componente del sistema y
consta de bloques operacionales que representan
la función de transferencia de las variables de
interés.
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• Características de los diagramas de bloques
• Se puede obtener la representación del sistema
  completo, conectando los bloques.
• La operación del sistema puede apreciarse más
  fácilmente examinando el diagrama de bloques, que
  examinando las ecuaciones del sistema.
• El diagrama de bloques contiene información
  respecto al comportamiento dinámico del sistema,
  pero no proporciona información sobre las
  propiedades físicas del mismo.

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3.4 Modelos de sistemas físicos
Modelos de sistemas mecánicos y circuitos
eléctricos.