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PLAN DE LA CHARLA Introducción al problema del
colapso de tensión Síntesis de la teoría básica
Características principales del programa
ESTTEN Síntesis de la teoría de la bifurcación
más cercana Características principales del
cálculo de la bifurcación más cercana en
ESTTEN Comparaciones con PSAT (Milano) Trabajos
pendientes
2
Ejemplo introductorio Línea radial,sin pérdidas
Carga con potencia independiente de la
tensión Suponiendo ?0 BLN 1/XLN
cos ?constante PR2 (k.PR VR2 .BLN )2
(ES .BLN)2.VR2
3
Comentario Si se agrega junto a la carga un
banco de condensadores de admitancia B PR2
(k.PR VR 2.(BLN -B))2 (ES .BLN )2 .VR2 El
banco de condensadores modifica el punto en que
se produce el colapso de tensión,pero no lo
evita.
4
Variación de la tensión para PR mayor que el
máximo
5
Definición de estabilidad de tensión Un sistema
de potencia está funcionando en un estado de
equilibrio estable desde el punto de vista de la
tensión cuando a)Las tensiones en todas las
barras están dentro de un rango aceptable b)Si
se produce una perturbación en el sistema,éste es
capaz de retornar en un tiempo aceptable a un
estado de equilibrio (igual o distinto al
anterior) en que las tensiones en todas las
barras están dentro de un rango
aceptable. Comentarios -observar la exigencia
de que la tensión esté dentro de un rango
aceptable luego de la perturbación (p.ej luego
de la falta se acepta que la tensión esté por
debajo de 0,8 p.u durante no más de 700
ms). -el colapso de tensión descrito
anteriormente es sólo una de las posibles formas
de inestabilidad de tensión (el funcionamiento
en la rama inferior de las curvas PV es otra
de las formas posibles)
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Clasificación de perturbaciones a
analizar a)Perturbaciones rápidas
(faltas,salida de generación,etc.) b)Perturbaci
ones lentas (variación de carga).
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• BASES MATEMATICAS DEL ANALISIS DE LA ESTABILIDAD
  DE TENSION
• (PERTURBACIONES LENTAS)
• Modelo general del sistema de potencia
• dx/dtf(x,y,?) (máquinas y sus sistemas de
  control,etc.)
• g(x,y,?)0 (red de trasmisión)
• xVariables de estado (ángulos y velocidades de
  los rotores de las máquinas
• respecto a una de referencia,variables de estado
  de los sistemas de control)
• yVariables de ligadura (módulos de tensiones ,
  ángulos de todas las barras
• reales (excluyendo barras internas de
  máquinas),variables de ligadura de
• los sistemas de control)
• ?Parámetro escalar (parámetro de variación de
  carga)
• ? no depende del tiempose supone de variación
  lenta (análisis cuasiestático)
• Comentario
• En los modelos clásicos de los sistemas de
  potencia las ecuaciones

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Si gy ?0 ? se puede despejar y de las
ecuaciones algebraicas (teorema de la función
implícita) y el sistema se reduce a
dx/dth(x,?) Bifurcaciones de sistemas
dinámicos A medida que ? varía (con continuidad)
van cambiando los puntos de equilibrio y las
trayectorias del sistema dx/dth(x,?) Un sistema
se dice que es localmente estructuralmente
estable para un valor del parámetro ? ,si para
variaciones pequeñas del parámetro las soluciones
del sistema se comportan en forma
cualitativamente parecida Se mantiene el
número de puntos de equilibrio,y los puntos de
equilibrio se comportan parecido desde el
punto de vista de la estabilidad local (estables
o inestables) Si para un valor del parámetro
el sistema no es estructuralmente estable en
torno a un punto de equilibrio,se dice que éste
es una bifurcación del sistema dinámico.
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Caso generalSistemas no lineales dx/dth(x,?)
??R ,h Rn x R ? Rn . Se prueba
(Teorema de Hartmann- Großman) que para que un
punto de equilibrio (x0 ,?0 ) sea de
bifurcación es necesario que sea no hiperbólico
para el jacobiano hx (x,?) calculado en (x0 ,?0 )
(hx (x,?) tiene autovalores de parte real
nula) Tipos de bifurcación Según que el
autovalor de parte real nula tenga o no también
su parte imaginaria nula,se distinguen los
siguientes dos tipos de bifurcaciones Bifurcació
n silla-nodoCuando el jacobiano tiene un
autovalor igual a cero Bifurcación de
HopfCuando el jacobiano tiene un autovalor no
nulo de parte real cero
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Bifurcaciones silla-nodo El modelo clásico de la
bifurcación silla-nodo es dx/dt -x2 -? , x,?
?R (Forma normal de la bifurcación
silla-nodo). -Los puntos de equilibrio describen
la parábola x2 -? ,en que la rama superior es
de puntos de equilibrio estables (según Lyapunov)
y la inferior de puntos de equilibrio inestables
(diagrama de bifurcación) -el origen es un
punto de bifurcación silla-nodo,y respecto a ese
punto el comportamiento del sistema es -con
2 puntos de equilibrio ,uno estable y el otro
inestable,si ?lt0 -sin puntos de equilibrio si
?gt0.(se puede verificar que, en este caso,la
solución x(t) de la ecuación diferencial es
decreciente.)
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(Observar la similitud del diagrama de
bifurcación con los diagramas V-P del sencillo
ejemplo de la línea radial.También la variación
de x(t) para ?gt0 es similar a la variación de
la tensión durante el colapso de tensión) Bajo
ciertas condiciones (condiciones de
genericidad,que se cumplen habitualmenteen los
sistemas reales) el comportamiento visto de la
forma normal es típico de los sistemas no
lineales dx/dtf (x, ?) multidimensionales (x?Rn
) que dependen de un parámetro (??R),y en que el
jacobiano se anula para un cierto (x0 ,?0 ) ,con
x0 de equilibrio dos puntos de equilibrio que se
funden en (x0 ,?0 ) y luego desaparecen.
(Teorema de Sotomayor)
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Relación entre el colapso de tensiones y la
bifurcación silla-nodo La moderna teoría de la
estabilidad de tensión asocia el fenómeno del
colapso de tensión a la aparición de una
bifurcación silla-nodo en el sistema de
ecuaciones diferenciales algebraicas que modela
un sistema de potencia con un parámetro de carga
variable. Esta asociación es puramente
heurística,y se basa en que los incidentes de
colapso de tensión se caracterizan por la
desaparición del punto de equilibrio , y una
declinación posterior monótona (a diferencia de
la bifurcación de Hopf,que se evidencia por
tener modos oscilatorios) e inicialmente lenta de
algunas de las tensiones de barra. Todas estas
propiedades son típicas de los sistemas que
sufren una bifurcación silla nodo Esta
asociación,por lo tanto,sugiere la necesidad de
calcular los puntos de anulación del jacobiano
del sistema a efectos de detectar el punto de
colapso.
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• METODOS DE ANALISIS DE LA ESTABILIDAD DE TENSION
• Tipos de métodos
• -Dinámicossimulación numérica del sistema de
  ecuaciones diferenciales
• y algebraicas
• -válidos tanto para perturbaciones rápidas como
  lentas
• -períodos de estudio más largos que los de
  Estabilidad Transitoria en
• el caso de las perturbaciones lentas
• modelos de dinámica lenta que no se necesitan en
  los estudios de estabilidad
• transitoria conmutadores bajo carga,variación de
  las cargas con las tensiones
• cuando las tensiones son muy bajas,etc.
• -métodos más precisos ( simulaciones
  post-mortem de incidentes reales)
• Estáticosresolución del sistema de ecuaciones
  algebraicas que modelan
• el sistema en régimen,a fin de encontrar la
  bifurcación silla-nodo.
• -válidos para analizar perturbaciones lentas

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Métodos estáticos Formulación general dx/dt
f(x,y,?) 0 g(x,y,?) con x?Rm ,y?Rn ,??R,
fRnm1 ?Rm , gRnm1 ?Rn Bajo la hipótesis de
gy no singular,eliminando las variables de
ligadura se obtiene la ecuación de estado
dx/dth(x,?),con hRm1 ?Rm El colapso de
tensión se identifica con el estado en que el
Jacobiano Hhx (x,?) de este sistema se hace
singular,por lo que los métodos estáticos
consisten en resolver det(H)0 para un (x,?) tal
que h(x,?)0.
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Una dificultad de aplicación práctica es realizar
la eliminación de las variables de
ligadura. Sea J(f,g)x,y(x,y,?) el jacobiano
del sistema de ecuaciones completo
original f(x,y,?)dx/dt g(x,y,?)0 Se puede
ver que det J0 ? det H0,por lo que no es
necesario realizar la eliminación de las
variables de ligadura y para encontrar las
bifurcaciones silla-nodobasta con buscar las
singularidades del jacobiano J del sistema
diferencial-algebraico completo
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Relación con la convergencia del flujo de
cargas Si se simplifican las ecuaciones de
oscilación de la máquina y de sus reguladores
(ganancia infinita de los reguladores de
tensión y velocidad,se desprecian las
amortiguaciones proporcionales a la velocidad
angular,etc), las barras de generación pasan a
ser,simplemente,nodos en que se inyecta al
sistema una potencia activa constante a tensión
constante (barras PV),y las ecuaciones de
equilibrio del sistema no son más que las
ecuaciones del flujo de cargas clásico. f(x,y,?)
0 ecuaciones de equilibrio de potencia activa en
las barras PV g(x,y,?)0ecuaciones de equilibrio
de potencia activa y reactiva en las barras PQ
xángulos de la tensión en las barras de
generación,referidos a la barra slack ymódulos
de tensiones en todas las barras y ángulos de la
tensión de barras de carga (barras PQ)
referidos a la barra slack. ?parámetro que
describe la variación de cargas Cuando el
sistema llega al colapso (al ir aumentando la
carga en las barras seleccionadas),el flujo de
cargas deja de tener solución (de acuerdo al
comportamiento de la bifurcación silla-nodo).
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Por lo tantoes posible calcular aproximadamente
el estado de colapso corriendo flujos de cargas
sucesivos al ir variando el parámetro, hasta que
el flujo deja de tener solución. La detección
del colapso de esta forma es computacionalmente
costosa y no muy precisa,dado que,precisamente,lo
s flujos de carga habitualmente necesitan que el
jacobiano del sistema sea invertible para poder
buscar la solución por Newton Raphson Por lo
tantolos programas de flujos de carga
comerciales dejan de converger un poco antes
del estado de colapso,a causa de que el
jacobiano del sistema se hace casi singular.
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Método del punto de colapso Consiste,simplemente,
en resolver el sistema de ecuaciones algebraicas
que definen la bifurcación silla-nodo f(x,y,?)
0 g(x,y,?)0 J(x,y,?)v0 , ??v ??1 (v es vector
propio de J en el punto de bifurcación) Este
sistema se puede resolver por métodos clásicos
(Newton-Raphson,p.ej) Desventaja de este método
no se puede tener en cuenta en forma sencilla los
límites a los que pueden llegar algunos
elementos del sistema (límites de generación de
reactiva de máquinas,límites de conmutadores bajo
carga que regulan tensión automáticamente,etc.)
al aumentar el parámetro ? (al llegar a uno de
esos límites el sistema de ecuaciones f0,g0
cambiasi se trata de un límite de generación de
reactiva,p.ej, la barra PV de la máquina cambia
por barra PQ )
19
(No Transcript)
20
Método de continuación (CPF) Se va resolviendo
paso a paso la ecuación de puntos de equilibrio
f0,g0 a medida que el parámetro ? va
aumentando en steps discretos (Puede verse
como un conjunto de flujos de carga sucesivos
al variar el parámetro de carga). En cada
paso,se verifica si no se han violado
límites,reformulando el sistema de ecuaciones de
ser necesario,a efectos de seguir avanzando (se
dice que se va recorriendo la curva P-V paso a
paso).
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METODO DE CONTINUACION
(z(x,y) en la gráfica)
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INDICES Y MARGENES DE ESTABILIDAD DE TENSION Se
desea tener una idea cuantitativa de qué tan
lejos está el sistema de sufrir un colapso de
tensión. Indices parámetros matemáticos sin una
clara interpretación física (p.ejel módulo de
un valor propio) Márgenes magnitud física
(p.ejcantidad de potencia activa) Comentario
la magnitud de la tensión en las barras del
sistema no es un buen indicador ( alta
alinealidad entre las tensiones y el aumento de
carga cerca del colapso)
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Margen derivado de las curvas P-V Aumento de
potencia total (activa,reactiva o aparente) en
todo el sistema a partir de un punto de
operación para llegar al colapsodistancia
horizontal entre el punto de operación y el de
bifurcación en la curva P-V. El margen depende
de la forma en que se carga el sistema
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Margen derivado de las curvas Q-V Se toman una
por una las barras de carga del sistema,y se va
aumentando progresivamente la reactiva
consumida en la barra . El aumento total de
reactiva en el punto de colapso es el margen de
reactiva de la barra. El menor margen de
reactiva entre todas las barras del sistema puede
tomarse como el margen al colapso de todo el
sistema Observaciones -El método de las curvas
Q-V puede verse como un caso particular del
trazado de las curvas P-V,en que el parámetro
de carga es la variación de reactiva en una
única barra del sistema. -Existen regulaciones
(en USA,p.ej) que especifican los márgenes al
colapso de tensión (5 ,p.ej) en función de
este método
25
Nota Las curvas Q-V se pueden obtener también
mediante el siguiente procedimiento clásico 1)Se
introduce en la barra PQ en la que se va a variar
la reactiva un generador ficticio,que genera o
consume exclusivamente reactiva (la barra PQ se
transforma en barra PV) 2)Haciendo variar la
consigna de tensión en esa barra P-V se obtienen
las correspondientes reactivas generadas Q
corriendo un flujo de cargas 3)La ordenada del
mínimo de la curva QV así obtenida (en valor
absoluto) es el margen de reactiva de la barra
26
PROGRAMA ESTTEN -Desarrollado por el Grupo
ECSEP desde el año 2001 -Aportes del proyecto
de fin de carrera Estabilidad de
Tension (2004-2005) -Desarrollado para MatLab
5.3 -Resuelve diversos aspectos del problema
del colapso de tensión para el caso de
perturbaciones lentas por aumento de carga
-Método estático ( curva PV) con modelos de
flujo de cargas
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CARACTERISTICAS PRINCIPALES DEL MODELADO DEL
SISTEMA EN EL PROGRAMA -Modelos típicos de un
flujo de cargas (barras Slack,PQ y PV,modelos de
régimen de líneas y transformadores) -Modelo
de variación de cargas con la tensión Pj P0j
P1j.Vj aj P2j.Vj bj Qj Q0j Q1j.Vj cj
Q2j.Vj dj -Variación de carga en cada barra
j ? .?Pj (activa) y ? .?Qj (reactiva)
? parámetro de carga El conjunto de los (?Pj,
?Qj) es la dirección de carga elegida.

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-Transformadores con control automático de taps
por consigna de tensión -Bancos de
condensadores con conexión automática por
consigna de tensión -Límites de generación
máxima de reactiva de las máquinas variables con
la activa generada -Repartición de aumentos
de carga entre generadores seleccionados,y en
proporción a su potencia activa nominal
29
CARACTERISTICAS PRINCIPALES DE LOS METODOS DE
RESOLUCION EN EL PROGRAMA -Cálculo del punto
inicial con un flujo de cargas N-R clásico.
-Resolución de la curva P-V mediante el método
de continuación (CPF) , con reparametrización y
paso de aumento de carga variable. -Cálculo de
curvas QV también mediante CPF -Dimensionado de
capacitores para mitigar el colapso haciendo uso
de una rutina standard del Optimization Toolbox
de Matlab. El programa sugiere cuáles son las
mejores barras de carga para instalar bancos
de condensadores,ordenándolas con un criterio
derivado del análisis modal en el punto de
colapso (Ordenamiento según factores de
participación,que son proporcionales a ?Vk/?Qk)
30

MITIGACION DEL COLAPSO DE TENSION MEDIANTE
BANCOS DE CONDENSADORES Distancia al punto de
colapso L ? . v (? P2 ? Q2 ) ?
parámetro de carga en el punto de colapso
Y1. ..Ynadmitancias de bancos de
condensadores a instalar en las barras
1n En aproximación lineal
?LLY1.Y1LY2.Y2.LYn.Yn es la
variación de la distancia al colapso al conectar
estos bancos de Condensadores.
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Suponiendo que los costos de los bancos de
condensadores son proporcionales a su tamaño,el
dimensionado se plantea como un problema de
optimización lineal Minimizar
(Y1Y2Yn) Sujeto a 1) ?LLY1 .Y1 LY2
.Y2.LYn .Yn (con ?L un valor-objetivo
dado) 2)Y1,Y2,Yn gt0 3)
YjltAdmitancia de carga neta de la barra j (La
última es una condición práctica para evitar
dimensionados inviables)
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TEORIA DE LA BIFURCACION MAS
CERCANA (RefComputation of closest
bifurcations in power systems, Alvarado,Dobson,Hu
,IEEE PWRS,May.1994) -El punto de colapso de
tensión depende de la forma específica en que se
carga el sistema (dirección de carga) -Se
pretende encontrar la dirección de carga peor
la que minimiza el margen al colapso Solución
(sólo para norma euclidiana) El problema tiene
solución local (en un entorno de una dirección de
carga dada),y se resuelve por un método
iterativo que busca la dirección de carga
colineal con la normal a la hipersuperficie de
puntos de bifurcación en el espacio de los ?.
33
REPRESENTACION EN EL ESPACIO DE LAS CARGAS
34
METODO DE PLANIFICACION EN BASE A LA BIFURCACION
MAS CERCANA -Se aumenta la carga en el sistema
según una dirección de carga razonabledesde el
punto de equilibrio inicial. -Poco antes de
llegar al colapso (por ejemplocuando aun
se tiene un margen del 5 de carga activa
total) se abandona la dirección de carga
inicial,y se pasa a buscar la bifurcación
más cercana. -El margen al colapso se calcula
respecto a la bifurcación más cercana así
calculada.
35
REPRESENTACION GRAFICA
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CARACTERISTICAS PRINCIPALES DE LOS METODOS DE
RESOLUCION DE LA BIFURCACION MAS CERCANA EN EL
PROGRAMA -Cálculo del punto inicial y de la
curva P-V según la dirección de carga inicial
como ya se ha descrito. -Selección de un punto
de arranque cerca de la nariz,con criterio de
de margen de potencia activa respecto al punto
de colapso. -Cálculo de la bifurcación más
cercana a partir del punto de arranque mediante
un método iterativo en la selección de la
dirección de carga
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-Opción de dimensionar capacitores para mitigar
el colapso mediante un método alternativo más
general,y distinto al usado en el caso de
dirección de carga elegida fija. (RefNew
methods por computing a closest saddle
node Bifurcation and worst case load power margin
for voltage collapse Dobson,Lu,IEEE PWRS,August
1993) El programa sugiere cuáles son las
mejores barras de carga para instalar bancos
de condensadores,ordenándolas en función del
aporte de reactiva de cada barra a la
dirección de la bifurcación más
cercana. -Opción de cálculo de márgenes QV de
las barras críticasa partir del punto de
arranque
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COMPARACIONES CON PSAT
(1.3.4) -Red uruguaya completa,con diversas
direcciones de carga -Sin barras con regulación
automática de tensión por bancos de condensadores
o transformadores (PSAT no acepta
estos Modelos) -Cargas de potencia constante
(PSAT acepta cargas ZIP.pero no es seguro como
las trata en el módulo CPF) Con límites de
reactiva abiertos en las máquinas 1)Variación
de carga reactiva en Melo Margen de reactiva
ESTTEN 32,2 MVar Margen de reactiva PSAT 31,2
Mvar 2)Variación de carga reactiva en Rivera
Margen de reactiva ESTTEN 26,6 MVar Margen de
reactiva PSAT 26,2 Mvar
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3)Variación de carga activa y reactiva en
Montevideo y Durazno Lambda máximo
ESTTEN6,77 Lambda máximo PSAT 6,92 Con
límites de reactiva en las máquinas Variación
de carga activa y reactiva en Montevideo y
Durazno Lambda máximo ESTTEN4,59 Lambda máximo
PSAT 4,51 Error máximo encontrado en las
pruebas3,2
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LIMITACIONES DEL PROGRAMA -No
se puede controlar tensión en barras remotas
!!! -No se pueden modelar reactores de línea (se
incorporan a las barras extremas) -Las barras PV
no pueden tener carga (hay que crear barras
ficticias) -No es posible ingresar ramas en
paralelo (es necesario calcular previamente el
equivalente) -En los cálculos CPF los taps y
números de condensadores se suponen variables
contínuas -No se ha incorporado un modelo de
bancos de reactores maniobrables por control de
tensión -Sólo puede haber un único conjunto de
bancos de condensadores maniobrables por control
de tensión en cada barra -Los reactores y
capacitores se suponen sin pérdidas
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TRABAJOS
FUTUROS Para proyecto PDT -Revisar conversión
PSS/E a ESTTEN -Comparación de resultados con
VSAT -Corridas sobre la red uruguaya 2010,en
régimen y contingencias Adicionalmente -Más
pruebas con los modelos de carga -Incorporar al
menú conversión ESTTEN a PSAT (Milano) -Incorpora
r métodos de filtrado de contingencias?? -Levanta
r la restricción de no poder regular tensión en
barras lejanas -Investigar método QSS y
aplicaciones de la función de energía