Modelando con E' D' O de 1 orden

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Modelando con E. D. O de 1 orden

• Construcción del modelo
• Traducir una situación física en un términos
  matemáticos.
• Indique claramente los principios físicos
  que gobiernan el proceso.
• La ecuación diferencial es un modelo
  matemático del proceso, una aproximación.
• Análisis del modelo Se realiza resolviendo la
  ecuación y realizando la comprensión cualitativa
  de la solución. Puede simplificar el modelo,
  mientras se preserve el esencial físico.
• Comparación con el experimento o la observación
  Verifica la solución o sugiere el refinamiento
  del modelo.

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Ejemplo 1 Buhos y ratones
Decaimiento exponencial
Separación de variables

• Suponga que una población de ratones se reproduce
  a una tasa proporcional a la población actual, de
  0.5 (si se supone ningún buho presente).
• Además, suponga que cuando una población de buhos
  está presente, ella come 15 ratones por día en
  promedio.
• La ecuación diferencial que describe la población
  del ratón en presencia de los buhos, si se
  supone, un mes de 30 días, es
• Usando métodos de cálculo,
• es posible resolver esta ecuación
• y se obtiene

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Ejemplo 2 Soluciones salinas
E.D.O. lineal

• En el tiempo t 0, un tanque contiene x0 gramos
  de la sal disuelto en 100 litros de agua. Suponga
  que entra al tanque una solución salina que tiene
  una concentración de 25 gramos de sal/100 litro
  con un flujo r litros/minuto y que sale del
  tanque a la misma tasa.

a) Fije un P. V. I. que describa este proceso
de flujo de solución salina b) Encontrar la
cantidad de sal x(t) en el tanque para cualquier
t. c) Encontrar la cantidad límite xL de sal
en el tanque después de un largo tiempo.

• Si r 3 y x0 2xL , encontrar el tiempo
  T para el cual la concentración es 2 superior
  a xL .
• Encontrar el flujo r requerido si T no debe
  exceder de 45 min.

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Soluciones salinas a)
Planteo del P.V.I.

• Suponga que en el tanque no se genera sal, ni
  desaparece y que la mezcla es uniforme
• Velocidad másica de entradaconcentración entrada
  flujo de entrada C0 r g/min
• Velocidad másica de salida Si hay x gr de sal
  en el tanque en el tiempo t, luego la
  concentración de la sal es x (t) g/ litros, y
  sale a un ritmo de
• x(t) r/100 g/min.
• Entonces el P. V. I. Es

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Soluciones salinas b) Encontrar la
solución x(t)

• Para encontrar la cantida de sal x(t) en el
  tanque en cualquiert tiempo t, necesitamos
  resolver el PVI
• Para resolver usaremos el método de factor
  integrante
• o

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Soluciones salinas c) Encontrar la
cantidad límite xL

• Para encontrar la cantidad límite de sal en un
  tiempo muy largo
• Este resultado tiene sentido, ya que todo el
  tiempo la corriente de entrada reemplaza a la
  solución original. Como la solución de entrada
  0.25 g de sal / l, y el tanque tiene 100 litros,
  entonces el tanque contiene 25 g de sal.
• El gráfico muestra las curvas integrales para
• r 3 y diferentes valores de x0.

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Soluciones salinas d) Encontrar el tiempo t
para el cual

• Suponga r 3 y x0 2xL . Para encontrar el
  tiempo T después del cual x(t) es 2 superior
  a xL , note que x0 2xL 50 g, entonces
• Luego, el 2 de 25 gramos es 0.5 gramos, entonces
  resolvemos

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Soluciones salinas e) Encontrar el r
requerido si Tlt45 min

• Para encontrar el flujo r requerido si T no debe
  exceder los 45 minutos, de la parte d) sabemos
  que x0 2xL 50 g, con
• y la curva solución disminuye desde 50 hasta
  25.5.
• Luego, resolviendo

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Soluciones salinas
Discusión

• Puesto que la situación es hipotética, el modelo
  es válido
• Mientras los flujos sean exactos, y la
  concentración de sal en el tanque sea uniforme,
  la ecuación diferencial describe exactamente el
  proceso de flujo.
• Los modelos de esta clase son de uso frecuente
  para contaminación en lagos, concentración droga
  en órganos, etc. Los flujos pueden ser más
  difíciles de determinar, o pueden ser variables,
  y la concentración puede no ser uniforme.
  También, los flujos de entrada y la salida no
  pueden ser iguales, así que la variación en la
  cantidad de líquido en el tanque debe ser
  considerada.

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Ejemplo 2 Contaminación de un pozo

• Considere un pozo que inicialmente contiene 10
  millones de litros de agua fresca. El agua está
  contaminada por una sustancia tóxica, contenida
  en efluentes que ingresan al pozo a una tasa de 5
  millones litros/año, y salen con igual ritmo. La
  concentración c(t) del contaminante tóxico en la
  corriente de entrada varía de acuerdo a
• c(t) 2 sen 2t g/litros
• Construir un modelo matemático para este proceso
  y determinar la masa de contaminante Q(t) en
  función del tiempo t.
• Dibujar la solución y describir con palabras el
  efecto de la variación de la concentración de
  entrada.

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a) Planteo del PVI y resolución

• El pozo inicialmente contiene 10 millones de
  litros de agua fresca. El contaminante tóxico
  entra al pozo a razón de 5 millones de
  litros/año, y sale a la misma velocidad. La
  concentración del tóxico en la corriente de
  entrada es
• c(t) 2
  sin 2t g/litro.
• Suponga que el contaminante tóxico no es creado
  ni destruido en el pozo, y que su distribución en
  el pozo es uniforme
• Luego
• Flujo másico de entrada (2 sen 2t g/l)(5 x
  106 l/año)
• Flujo másico de salida Si hay Q(t) g de
  contaminante en el pozo en el tiempo t, luego la
  concentración de sal Q(t) g/107 litros, y
  abandona el pozo con un flujo másico igual a
• 
  Q(t) g/107 l5 x 106 l/año

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• Sabiendo que
• Flujo másico de entrada (2 sen 2t g/l)(5 x
  106 l/año)
• Flujo másico de salida Q(t) g/107 l5 x 106
  l/año Q(t)/2 g/año.
• Luego, el problema de valor inicial es
• Cambiando variables (scalig) Sea q(t)
  Q(t)/106. Entonces

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• Para resolver el problema de valor inicial
• usaremos el método de factor integrante
• Luego, resolviendo la integral,

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(No Transcript)
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Análisis de la solución

• Finalmente, el PVI y su solución, vienen dados
  por
• La gráfica de la solución y el campo de
  direcciones, se muestran en la figura.
• Note que el término exponencial
• es importante para pequeños t,
• pero decae a medida que
• t crece. También, y 20
• sería la solución de equilibrio
• sino estuviera el término sen(2t).

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Análisis de las suposiciones

• La cantidad de agua en el pozo es controlada
  totalmente por los flujos de entrada y salida. No
  hay pérdidas por absorción en la tierra, ni
  evaporación tampoco ganancia por lluvias.
• La cantidad de contaminante en el pozo es
  controlada enteramente por los flujos, y no hay
  pérdidas por evaporación, dilución por lluvias,
  absorción por plantas, o desaparición por peces u
  otros organismos.
• La distribución del contaminante en el pozo es
  uniforme.

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Circuito eléctrico

• En la figura se representa un circuito eléctrico

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Circuito eléctrico

• El flujo de corriente eléctrica en un
  circuito eléctrico es modelado por una ecuación
  difererncial ordinaria de segundo orden con
  coeficientes constantes

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Circuito eléctrico
Si estamos interesado en un PVI de primer orden
los circuitos deberán tener la forma