Complementos de Procesado de Seales y Comunicaciones

1
Complementos de Procesado de Señales y
Comunicaciones

• Curso de Doctorado del programa
• Tecnologías Multimedia

2
Organización del curso

• 3 partes
• Cuantización
• Ángel de la Torre (14 Enero Sem. 17-21h)
• Transformadas / Análisis multirresolución
• Antonio Rubio (21 Enero G-14 17-20h)
• Modulación
• Carmen Benítez (28 Enero G-14 17-20h)

3
Organización 1ª parte

• La cuantización en procesado de señales y
  comunicaciones. (Lunes)
• Cuantización escalar. (Lunes)
• Cuantización vectorial. (Martes)
• Presentación de trabajos. (Viernes)
• ( 1/2 hora y/o memoria)
• Transparencias en
• http//ceres.ugr.es/atv/Documents/documents.html
• E-mail atv_at_ugr.es

4
La cuantización en procesado de señales y
comunicaciones

• La cuantización para adquisición de señales
• Representación digital de señales
• Muestreo
• Cuantización
• Codificación
• Para procesamiento digital de señales
• Compresión de datos
• Transmisión de datos
• Reconocimiento de formas

5
Adquisición de señales

• Muestreo
• Discretizar el tiempo
• x(t) gt x(n)
• Cuantización
• Discretizar la variable
• x(n) gt x(n)
• Codificación

6
Circuitos para adquisición de señales

• Amplificación y Filtrado
• Muestreo
• Retención
• Cuantización
• Codificación

• Características circuitos de adquisición de
  señales
• Número de bits B bits gt 2B estados
• Rango de entrada Vref
• Tiempo de conversión (limita freq. muestreo)

7
Conversor de comparadores en paralelo

• Diseño simple
• Rápido
• Caro
• Para N bits, 2N comparadores
• Fácil determinar el nivel de referencia
• Fácil establecer valores de los cuantos

8
Conversor de contador

• Más barato
• Sólo 1 comparador
• Mucho más lento
• Requiere 2N pulsos de reloj para cuantizar

9
Diagrama de bloques de un sistema adquisición de
datos

x(t)
x(n)
x(n)
bits
Almacenamiento DSP Transm. Digital Etc.
m
Q
Codif.
Representación digital de la señal x(t)

• Muestreo discretización en el tiempo no hay
  pérdida de información (T. Muestreo)
• Cuantización discretización en amplitud (pérdida
  de información)

10
Representación digital de señales

• Precisión finita
• Concepto de ruido de cuantización.
• Velocidad de transmisión
• Fs B (bits por segundo) (bit-rate)
• Compromiso entre ruido de cuantización y bit-rate
• Precisión recursos DSP / canal

11
Cuantización escalar

• Señales muestreadas unidimensionales
• x(n) F(n,m) F1(n,m),F2(n,m),F3(n,m)
• Cuantización instantánea
• Uniforme
• Compresión instantánea
• Cuantización adaptable
• Hacia adelante
• Hacia atrás
• Cuantización diferencial

12
Cuantización uniforme

• Todos los cuantos son iguales D
• B bits gt 2B niveles en Xmax,Xmax
• Xmax 2B-1 D

100
011
010

x
001
D
000
x
13
Cuantizador de media huella
Cuantizador de media contrahuella


x
x
x
x
14
Ruido de cuantización
Relación señal ruido
Estimación de la SNR (señal / distribución)
15
Cálculo del ruido de cuantización (ejemplo)
Saturación
Relación señal ruido
16
Cálculo del ruido de cuantización (ejemplo)

• B 8 bits gt SNR 40.8 dB
• B 12 bits gt SNR 64.8 dB
• B 16 bits gt SNR 88.8 dB
• En procesamiento de audio
• 80 dB......... HiFi
• 60 dB......... Equipos música gama media
• 40 dB......... Ruido se aprecia
• 20 dB......... Teléfono
• lt10 dB....... Molesta / dificultades para
  entender voz

17
Cuantización vs. Saturación

• Si Xmax gtgt 4 sx
• Poco ruido de saturación
• Mucho ruido de cuantización
• Si Xmax ltlt 4 sx
• Mucho ruido de saturación
• Poco ruido de cuantización
• Ajuste de nivel de entrada crítico (ganancia de
  entrada)

p(x)
Xmax
-Xmax
p(x)
Xmax
-Xmax
18
Ejercicio 1

• a) En el ejemplo anterior, calcular SNR asociada
  al ruido de saturación.
• p(es)
• se2
• SNR
• b) Relación entre Xmax y sx para cuantización
  óptima.
• SNRsat SNRQ
• (depende de B)

19
Ejercicio 2

• A partir de una señal de voz muestreada,
  cuantizarla fijando varios valores de Xmax y B
• a) Estimar la SNRsat y la SNRQ para cada Xmax, B
• b) Buscar el valor óptimo Xmax para 6 bits
• c) Determinar el número de bits mínimo para una
  SNR de 12 dB.

20
Compresión instantánea

• Problema de Q-uniforme
• Hay que preocuparse del nivel de la señal
• Objetivo compresión instantánea
• SNR independiente de nivel de señal
• Cuantos D diferentes D /x ? cte

y
x
21
Compresión logarítmica




y
y
x
x
y
x
log
Q
log
Codif.
Decod.
sgn
sgn(x)
sgn(x)
22
Otras leyes de compresión ley m ley A




y
y
x
x
y
x
F
Q
F-1
Codif.
Decod.
sgn
sgn(x)
sgn(x)
23
(No Transcript)
24
(No Transcript)
25
Ejercicio 3

• Repetir el ejercicio 2 para compresión ley-m con
  m255.

Ejercicio 4

• Demostrar la expresión de la SNR para ley-m.

26
Cuantización adaptable

• Interesa D grande para evitar saturación
• Interesa D pequeña para reducir eq
• Señales no estacionaria
• sx2 varía con el tiempo

Solución Adaptar G ó D a la varianza de la
señal
27
Adaptación de D o de G

• Estimación local de sx2
• Mediante filtro pasa-baja aplicado sobre x2(n)

• Problemas
• Causalidad
• Retardo
• Tiempo de estabilización
• Como sx2 varía lentamente, se calcula y transmite
  únicamente cada N muestras

28
Adaptación hacia adelante

bits

x(n)
x(n)
x(n)
Q
Codificador
Decodif.
Adapt. D



x(n)
y(n)
bits
x(n)
y(n)
y(n)
Q
Codif.
Decodif.

Adapt. G
29
Adaptación hacia atrás

bits

x(n)
x(n)
x(n)
Q
Codificador
Decodif.
Adapt. D
Adapt. D



x(n)
y(n)
bits
x(n)
y(n)
y(n)
Q
Codif.
Decodif.

Adapt. G
Adapt. G
30
Cuantización adaptable limitaciones

• Útil si la varianza varía lentamente
• Adaptación hacia delante
• Requiere precisión en la transmisión del cuanto o
  de la ganancia
• Qué ocurre si la varianza cambia demasiado
  rápidamente?
• Adaptación hacia atrás
• Sensible a errores de transmisión (el resultado
  depende de toda la historia del sistema)

31
Ejercicio 5

• Repetir el ejercicio 2 para cuantización
  adaptable hacia adelante. Cambiar la ventana
  utilizada para la estimación de la varianza.
  Hacerlo con señales cuya varianza cambia poco y
  cuya varianza cambia mucho.

Ejercicio 6

• Repetir el ejercicio 2 para cuantización
  adaptable hacia atrás. Introducir errores en el
  código transmitido y determinar la SNR de la
  señal en función del porcentaje de bits cambiados.

32
Cuantización diferencial

• Si la señal varía lentamente, la varianza de
  x(n)-x(n-1) es mucho menor que la de x(n)
• Q diferencial
• Cuantizaión de x(n)-x(n-1)
• Q predictiva
• Predicción de x(n) p(x(n))
• Cuantización del error de predicción d(n)
• d(n)x(n)-p(x(n))

33
Cuantización diferencial



x(n)
d(n)
bits
x(n)
d(n)
d(n)
Q
Codif.
Decodif.

x(n)
predic.
predic.
p(x(n))
p(x(n))

• Ganancia de predicción

34
Predicción lineal (LPC)

• Predicción combinación lineal de p muestras
  anteriores
• Coeficientes se determinan para maximizar la
  ganancia de predicción (minimizar sd2)
• Sistema de p ecuaciones con p incógnitas

35
Predicción lineal de orden 1

• Sólo hay que calcular 1 coef. predicción lineal

• Si r(1) próximo a 1, mucha ganancia de predicción
• Si r(1) ltlt 1, poca ganancia de predicción
• Si r(1) lt 0 gt Gp lt 1

36
Dónde está el truco?

• Compresión
• reducir la cantidad de datos sin perder
  información
• Aprovechar redundancias
• Si se puede obtener una Gp muy alta es porque la
  fs es muy alta
• Bit rate para una determinada SNR

37
Ejercicio 7

• Repetir el ejercicio 2 para cuantización
  diferencial con predicción lineal de orden 1.
• Usar una señal con fmaxltfs/8
• Calcular el bit-rate para una SNR de 12 dB
• Sub-muestrear la señal dividiendo por 8 fs y
  volver a construir el cuantizador
• Recalcular el bit-rate para SNR de 12 dB

38
Cuantización de vectores

• Señales unidimensionales
• A(n) A(n,m)
• Señales vectoriales
• A1(n,m),A2(n,m),A3(n,m)
• Eficiencia cuantización aprovechar los estados
• Cuantización uniforme ajuste de nivel
• Compresión instantánea
• Cuantización adaptable
• Cuantización diferencial

39
Cuantización vectorial (VQ)

• Correlaciones temporales
• Cuantización diferencial (predicción)
• Correlaciones entre componentes de señal
  vectorial
• Cuantización vectorial (VQ)
• La cuantización vectorial permite aprovechar las
  correlaciones entre componentes

40
Cuantización escalar / vectorial
41
Cuantización escalar / vectorial
42
Cuantización escalar / vectorial
36 centroides
28 centroides
VQ reduce el error de cuantización
43
Diagrama VQ
bits
x(n)
VQ l
c
Codif.
Decod. l
c

• Cada vector se sustituye por el centroide más
  próximo
• Se transmite el código del centroide
• Diccionario VQ
• Error de cuantización

010
000
001
100
x1
x2
011
44
Proceso de cuantización

• El espacio vectorial se divide en K regiones
  disjuntas
• Un vector se sustituye por el vector
  característico asociado a su región (centroide)
• Se transmite el código que identifica al
  centroide
• El receptor sustituye el código por el centroide
• Regiones definidas por centroides y una DISTANCIA
  (usualmente la distancia euclídea)
• Diseño diccionario VQ decidir dónde se ponen los
  centroides de modo que se2 sea mínimo
• ENTRENAMIENTO DEL DICCIONARIO

45
Diseño diccionario VQ

• Algoritmo k-medias (k-means) o algoritmo LBG
  (Linde-Buzo-Gray 1980)
• An algorithm for Vector Quantizer Design
• Y. Linde, A. Buzo, R. Gray, IEEE Trans. on
  Communications, Vol 28, num. 1, Jan-1980 pp 84-95
• Algoritmo para 2B centroides
• Inicializacion centroide 1 media
• Bipartición con perturbación
• Clasificación y reestimación de centroides
  iterativa
• Cuando converge, si no tenemos los 2B centroides,

46
(No Transcript)
47
(No Transcript)
48
Ejercicio 8

• Construir un diccionario VQ para los valores RGB
  de una imagen, mediante algoritmo k-medias
• Escribir distorsión para cada iteración, para
  cada valor del número de centroides.
• Dibujar la imagen cuantizada con 4,8 y 16
  centroides.
• Determinar la SNR y el número de bits necesario
  para codificar la imagen

49
Capacidad de generalización
Vectores no de entrenamiento
Distorsión promedio
Vectores de entrenamiento
Núm vectores entrenamiento
50
Ejercicio 9

• Verificar para qué número de vectores de
  entrenamiento el algoritmo k-medias generaliza al
  cuantizar los valores RGB de una imagen
• Separar los pixels de la imagen en pixels para
  entrenamiento y pixels para test de forma
  aleatoria.
• Entrenar con parte de los pixels de entrenamiento
  y analizar la distorsión promedio de
  entrenamiento y de test.
• Repetir los calculos para cuantización con 4,8 y
  16 centroides.

51
Dimensionalidad en VQ

• 2 dimensiones hipercubo con 22 esquinas (4)
• 20 dimensiones hipercubo con 220 esquinas
  (1.048.576)
• Problemas
• La distancia entre cada vector y el más próximo
  es grande
• Es difícil la generalización
• Hacen falta muchos vectores de entrenamiento

52
Ejercicio 10

• Generar un conjunto de vectores aleatorios de
  dimensión N. Distribuirlos en dos particiones
  (entrenamiento y test)
• Calcular la relación entre la varianza y la
  distancia promedio al vecino más próximo, en
  función del número de dimensiones.
• Calcular la capacidad de generalizar en función
  del número de dimensiones (relación entre
  distorsión de entrenamiento y distorsión de test)

53
Entrenamiento adecuado

• Factores involucrados
• Número de dimensiones
• Número de vectores de entrenamiento
• Número de centroides
• Consecuencias de mal entrenamiento
• En codificación
• En compresión
• En reconocimiento de formas

54
La distancia

• Usualmente se usa distancia euclídea
• Sensible a transformaciones no ortonormales
• Compresión de un eje
• Transformaciones no lineales
• El algoritmo k-medias trata de minimizar la
  distancia entre vectores de entrenamiento y los
  centroides más próximos
• Importancia de esto en
• codificación
• reconocimiento

55
Ejercicio 11

• Cuantizar los niveles RGB de una imagen.
• Comprimir la componente R en la definición de la
  distancia y volver a cuantizar.
• Comparar ambos resultados

56
Aplicaciones VQ

• Compresión y codificación de voz
• Compresión de imágenes
• Reconocimiento de formas

57
VQ en Reconocimiento de formas
Reconocimiento de formas
ClasesObjetos representados por
vectoresConjunto de vectores de entrenamiento
Planteamiento
58
Marco estadístico
Clase reconocidaRegla de BayesDeterminación
clase reconocida
59
Probabilidad a priori de la clase
Densidad de probabilidad de que la clase genere
el vector
MODELO DE GENERACIÓN DE VECTORESVQ se utiliza
para construir el modelo
60
Construcción pdf
1.- Cálculo de centroides k-medias2.- Cada
centroide media, matriz de covarianza y Mk
vectores asociados3.- Construcción pdf para la
nube de vectores asociada a cada centroide
(usualmente una Gaussiana)
61
Construcción de la Gaussiana
62
Construcción pdf
4.- Probabilidad a priori de cada Gaussiana5.-
Probabilidad de que la clase genere el vector
observado
Aproximación
63
Reconocimiento patrones Resumen

• Para cada clase
• Probabilidad a priori de la clase
• Centroides con VQ
• Para cada centroide
• pdf asociada a cada centroide
• probabilidad a priori del centroide
• pdf de la clase
• Comparación entre clases

64
Ejercicio 12

• Leer una imagen con un paisaje.
• Con un trozo de cielo y un trozo de no-cielo
  entrenar modelos de cielo y de no cielo
  utilizando como vector de características los
  valores RGB.
• Clasificar los pixels de la imagen a partir de
  los modelos de cielo y no-cielo anteriores.

65
Clasificación y VQ

• Un clasificador separa el espacío de
  representación en tantas regiones como clases
• Superficies de separación más complejas que en
  VQ
• Clasificador definidas a partir de probabilidad
  máxima
• VQ definidas con criterio distancia mínima

66
Criterios de entrenamiento

• Maximum Likelihood (ML)
• La pdf de cada clase se construye de modo que
  represente de forma óptima los vectores de esta
  clase (mínima distorsión promedio)
• Minimum Classification Error (MCE)
• La pdf de cada clase se construye de modo que se
  minimice el error de clasificación de vectores de
  entrenamiento.
• Cuándo interesa ML ó MCE?

67
Entrenamiento discriminativo
Elementos a entrenarEstimación iterativa de los
elementos a entrenar para minimizar una función
de coste
Cuando se entrenan discriminativamente los
centroides de un clasificador, éstos se mueven,
de modo que las fronteras entre las clases se
desplazan hasta minimizar el error de
entrenamiento.
68
Formulación
Función de costeFunción de coste para cada
elementoMedida del errorFunción
discriminante
69
Formulación
70
Problemas del entrenamiento discriminativo

• Alcanza mínimos locales
• El algoritmo no garantiza una solución
  globalmente óptima
• (Combinación con algoritmos genéticos)
• Problema de sobreentrenamiento
• Excesivamente adaptado a datos de entrenamiento
  pierde capacidad de generalización