ALGEBRA COMPUTACIONAL

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ALGEBRA COMPUTACIONAL

• INTEGRANTES
• ALVARO BUSTOS
• DAFNE IBAÑEZ
• RICARDO REYES

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DISEÑO Y MODELACION ASISTIDA POR COMPUTADOR

• Las utilidades de los sistemas de CAD/CAM como
  medio para aumentar la eficacia del proceso de
  diseño hoy en día no tienen competencia. Ventajas
  como
• - reducción de tiempo,
• - mejoras de calidad y
• - reducción de costos
• son a menudo citadas como los mayores beneficios
  del resultado de la introducción de software
  especializado para el CAD/CAM

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DISEÑO Y MODELACION ASISTIDA POR COMPUTADOR

• Desde un punto de vista matemático casi todos los
  problemas de DAC/MAC están relacionados con la
  manipulación de objetos geométricos.
• Estas entidades geométricas usualmente se
  presentan a través de polinomios implícitos o en
  forma paramétrica.

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DISEÑO Y MODELACION ASISTIDA POR COMPUTADOR

• Hay cuatro clases de problemas principales
  considerados donde el Algebra Computacional y el
  DGAC son ocupados en forma conjunta
• Preguntas de implicitación (o eliminación de
  variable).
• Intersección de curvas y superficies
  paramétricas.
• DGAC con la aritmética exacta.
• El guiado algebraico de trazas de curvas y
  superficies implícitamente definidas.

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INTERSECCION DE DOS CURVAS PLANAS

• La intersección de dos curvas planas sin
  componentes comunes dadas en forma paramétrica se
  puede determinar calculando la ecuación implícita
  de la primera curva y sustituyendo la
  parametrización en la segunda. Luego el problema
  queda reducido a la resolución de una ecuación
  polinomial de una variable.
• Cuando las dos curvas son dadas por sus
  ecuaciones implícitas f(x,y) y g(x,y) se puede
  determinar usando un argumento similar al
  anterior.

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INTERSECCION DE UNA SUPERFICIE RACIONAL Y UNA
CURVA RACIONAL

• Si la ecuación implícita de la superficie esta
  disponible, el problema se reduce al calculo de
  las raíces reales de un polinomio de una
  variable.
• Este polinomio es obtenido de la sustitución de
  la parametrización de la curva en la ecuación
  implícita de la superficie.
• Si la ecuación implícita de la superficie no está
  disponible, entonces igualando ambas
  parametrizaciones el problema se reduce a
  resolver un sistema polinomial de 3 ecuaciones y
  3 incógnitas.

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INTERSECCION DE UNA SUPERFICIE RACIONAL Y UNA
CURVA RACIONAL

• Al usar Algebra Computacional, la única técnica
  usada actualmente esta basada en resultados
  multivariante y principalmente en la formulación
  de Dixons para eliminar dos de las incógnitas
  del sistema.

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INTERSECCION DE DOS SUPERFICIES RACIONALES

• Esta se reduce al trazado de una curva algebraica
  plana implícitamente definida más un proceso de
  sustitución si la ecuación implícita de una de
  las superficies se encuentra disponible.
• Si ninguna ecuación implícita se encuentra
  disponible, entonces, se tiene que resolver un
  sistema polinomial de 3 ecuaciones y 4
  incógnitas.
• Si las dos superficies se presentan por su
  ecuación implícita, entonces el problema se
  reduce a resolver un sistema de 2 ecuaciones y 3
  incógnitas.

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DGAC CON LA ARITMETICA EXACTA

• Se asume que todos los objetos de entrada son
  conocidos exactamente y su representación
  involucra solo números racionales o números
  algebraicos exactos.
• En este caso todos los problemas se reducen a la
  resolución de un sistema polinomial de ecuaciones
  o a la eliminación de una o varias variables.
• Para este tipo de problemas se utilizan las bases
  de Grobner.

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PROGRAMACION CIENTIFICA

• Nuestro objetivo es ver la importancia de la
  tecnología con respecto a la matemática.
• Ver la importancia de ciertas calculadoras que
  nos facilita en un segundo . una solución del
  problema planteado.
• A continuación daremos una introducción al tema.

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INTRODUCCION

• Al pasar los años vemos que la tecnología avanza
  entregándonos nuevas cosas que a la vez son de
  gran utilidad.
• Mientras que las calculadoras introdujeron más
  el cálculo numérico en la aula, los sistema de
  álgebra computacional permite el uso de cálculo
  más simbólico.
• El uso de Álgebra computacional en la aulas
  aumentan en todo el mundo, lentamente esto pasos
  son Institualizados.

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INTRODUCCION

• Hay algo que esta claro, que las calculadoras
  Científicas portátiles han cambiado el plan de
  estudio de Matemática en la escuela secundaria y
  universitaria alrededor del mundo durante estos
  años.
• Muchos temas eran tratados con PAPEL LAPIZ que
  han sido suprimidas.

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INTRODUCCION

• Hoy en día, hay que notar que en menos tiempo es
  gastado, en ciertos temas. (Ejemplos)
• A continuación daremos algunos ejemplos en que
  ocuparemos la calculadora Científica.

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EJEMPLO 1 POLINOMIO

• Sea
• Un polinomio de grado 3.
• Uno puede intuir que puede tener 3 soluciones
  Reales ó puede pasar que tenga 1 solución real y
  las otras dos complejas.
• Entonces los posibles candidatos son

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EJEMPLO 1 POLINOMIO

• Uno podría decir x -1 es una raíz del
  polinomio?
• Yo a simple vista no puedo asegurar que aquel
  valor es el correcto.
• Para saber si estamos en lo correcto, no hay más
  que realizar la llamada División Sintética (Papel
  y lápiz).
• Para uno eso es algo tedioso.
• Hoy en día teniendo en cuenta la tecnología
  podemos utilizar ciertas calculadoras que nos
  facilita obtener la o las soluciones del problema
  planteado.
• Las raíces del polinomio obtenido por la
  calculadora científica son 1, 2, -3, lo cual
  satisfacen
• A continuación veremos la gráfica que nos
  quedaría con la calculadora científica.

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Ejemplo 1 Polinomio
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EJEMPLO 2 INTEGRAL DEFINIDA

• Hoy en día tenemos calculadoras avanzadas, el
  cual nos facilita tiempo para obtener soluciones
  y más aún una respuesta correcta.
• También se puede realizar el ejercicio con papel
  y lápiz, pero nadie nos garantiza que el
  ejercicio esté bueno en el caso que sea un
  experto en integrales.

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EJEMPLO 3 ECUACION DIFERENCIAL

• Cómo poder saber el conjunto solución de
• ?
• Las calculadoras nos facilitan en esto con gran
  ayuda pues graficar una ecuación diferencial
  (En general).
• También se puede hacer con papel y lápiz pero es
  complicado, más aún cuando la ecuación es media
  extraña.

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EJEMPLO 3, RESOLUCION

• En efecto, tenemos
• Tenemos
• Más aún,
• Por comodidad, donde

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Ejemplo 3

• Por comodidad

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LA EXPERIENCIA HOLANDESA
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LA EXPERIENCIA HOLANDESA

• El álgebra computacional ha sido un tema de
  discusión en Holanda desde hace algunos años
  hasta ahora.
• En la enseñanza secundaria superior (equivalente
  a nuestra enseñanza media) no existe plan de
  estudios alguno que determine cuánto se debe
  enseñar sobre este tema.

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LA EXPERIENCIA HOLANDESA

• El primer proyecto sobre álgebra computacional en
  la enseñanza secundaria comenzó en 1990 y duró 2
  años. La idea principal de este proyecto era
  desarrollar unidades cortas de instrucción para
  probarlas en escuelas piloto. Pero no dio los
  resultados esperados, gracias a la carencia de
  equipamiento de las escuelas y a la dificultad de
  los alumnos en el manejo del computador.
• Hacia el final de este proyecto, un grupo de
  profesores decidió seguir el trabajo. Se
  autodenominaron CAVO y existieron como grupo
  hasta 1998. Era una plataforma animada e
  importante para el desarrollo remoto y la
  discusión. Mientras este grupo trabajaba,
  irrumpió en la escena la calculadora gráfica,
  atrayendo enorme atención.

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LA EXPERIENCIA HOLANDESA

• La aparición de la calculadora gráfica gatilló la
  discusión sobre si la tecnología debía ser o no
  usada en la enseñanza secundaria. Se decidió que
  la puesta en práctica de la calculadora gráfica
  sería el primer paso.
• Las autoridades apoyaron un proyecto de
  investigación en 1992 sobre esta cuestión. Este
  proyecto fue realizado por el Freudenthal
  Institute y más tarde se convirtió en parte
  integrante de un proyecto más grande llamado
  Profi. Los resultados de éste incluyeron los
  textos de estudiantes que integraron el empleo de
  la calculadora gráfica, y los exámenes
  experimentales que requieren la disponibilidad de
  un dispositivo graficador hecho a mano.

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LA EXPERIENCIA HOLANDESA

• Algunos educadores y profesores, sin embargo, se
  opusieron a la puesta en práctica de la
  calculadora gráfica. Sus argumentos eran que el
  álgebra computacional es una herramienta
  matemática mucho más sofisticada, y que una
  calculadora gráfica es sólo un paso temporal
  hacia atrás comparado con las posibilidades que
  los PCs ofrecen. Sin embargo, en 1996 se reveló
  que los PCs casi nunca fueron usados en las
  clases de matemáticas, aunque ellos estuvieran
  disponibles en las escuelas.
• Esto sirvió para reforzar la idea de que la
  verdadera puesta en práctica de tecnología
  requiere que el estudiante tenga el acceso
  directo al dispositivo. El limitado poder
  matemático de la calculadora gráfica no es una
  desventaja importante esto permite a educadores
  e investigadores tener el tiempo suficiente para,
  con cuidado, integrar un instrumento gráfico y
  numérico sin necesidad enfrentarse con el álgebra
  de ordenador mientras tanto.

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LA EXPERIENCIA HOLANDESA

• La opción de la calculadora gráfica puede ser una
  preferencia temporal de verdad. Hoy, el álgebra
  computacional está también disponible en un
  formato hecho a mano. Un primer experimento
  piloto que usa la calculadora TI-92 reveló que
  los estudiantes apreciaron esta máquina como una
  calculadora algebraica, pero no tanto como una
  herramienta geométrica dinámica.
• Cuando la Asociación Holandesa de Profesores de
  Matemáticas se dio cuenta del impacto posible de
  las calculadoras simbólicas sobre la educación
  matemática secundaria, fue formado un Consejo
  Consultivo sobre el Álgebra de Ordenador y la
  Calculadora Simbólica

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LA EXPERIENCIA HOLANDESA

• En Mayo de 1998 este Consejo concluyó que
• El álgebra computacional debería ser puesta en
  práctica en la educación secundaria superior
• La investigación fue necesaria para encontrar
  respuestas a las preguntas pedagógicas y de
  curriculum que surjan por esto
• Como una plataforma de álgebra computacional, el
  PC sería preferido a la calculadora simbólica, al
  menos a largo plazo.

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LA EXPERIENCIA HOLANDESA

• En el otoño de 1998, el Freudenthal Institute
  condujo un estudio exploratorio de casos que usan
  la calculadora simbólica. Esta máquina resultó
  ser bastante útil en tareas de investigación. El
  empleo sofisticado de variables y parámetros, sin
  embargo, no siempre era claro para los
  estudiantes. Además, algunos estudiantes estaban
  poco dispuestos a usar el álgebra computacional
  para el uso de técnicas que ellos aún no habían
  dominado a mano.

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LA EXPERIENCIA HOLANDESA

• Actualmente, muchas preguntas de investigación
  acerca del papel del álgebra computacional en la
  enseñanza secundaria están todavía sin contestar.
  Ninguna decisión sobre su puesta en práctica en
  Holanda ha sido tomada hasta ahora.
• En los próximos años se espera que ocurran 3
  acontecimientos

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LA EXPERIENCIA HOLANDESA

• En primer lugar, los profesores, las juntas de
  examinación y los autores de libros de texto se
  acostumbrarán a la calculadora gráfica y
  aprovecharán las posibilidades pedagógicas que
  estos dispositivos ofrecen.
• En segundo lugar, la investigación será realizada
  sobre el papel del álgebra computacional en el
  estudio de las matemáticas y, más expresamente,
  en el estudio de conceptos algebraicos. Tal
  estudio fue comenzado recientemente por el
  Freudenthal Institute.

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LA EXPERIENCIA HOLANDESA

• En tercer lugar, la investigación será realizada
  sobre las posibilidades del álgebra computacional
  como una herramienta de tecnología de amplia
  gama. Un proyecto que se enfoca en el empleo de
  un ambiente de álgebra computacional en
  combinación con un editor de textos (para
  escribir informes matemáticos) y un Catálogo de
  Internet ha sido comenzado en Algemeen
  Pedagogisch Studiecentrum, un instituto para la
  mejora de la educación matemática.