Presentaci

1
UN ENFOQUE ONTOLÓGICO-SEMIÓTICO DE LA COGNICIÓN E
INSTRUCCIÓN MATEMÁTICA
Teoría de las Configuraciones Didácticas
Juan D. GODINO
2
ENFOQUE ONTOSEMIÓTICO de la Cognición e
Instrucción Matemática
3
TCD Nociones y fuentes
4
ESQUEMA

• Posibilidades y límitaciones de la Teoría de
  Situaciones Didácticas (G. Brousseau Margolinas,
  ...)
• Modelización de la instrucción mediante procesos
  estocásticos
• Trayectorias epistémica, docente, discente,
  mediacional, cognitiva y emocional
• Interacciones didácticas
• Configuraciones didácticas
• Patrones de interacción
• Criterios de idoneidad

5
SÍNTESIS

• Se introducen nuevas nociones teóricas para
  analizar procesos de instrucción matemática
  basadas en el enfoque ontológico y semiótico de
  la cognición matemática.
• Estas nociones se apoyan en la modelización de la
  enseñanza y aprendizaje de un contenido
  matemático como un proceso estocástico
  multidimensional compuesto de seis subprocesos
  (epistémico, docente, discente, mediacional,
  cognitivo y emocional), con sus respectivas
  trayectorias y estados potenciales.

6

• Como unidad primaria de análisis didáctico se
  propone la configuración didáctica, constituida
  por las interacciones entre los distintos
  componentes de una trayectoria didáctica a
  propósito de una tarea matemática y usando
  recursos materiales específicos.
• Las nuevas herramientas teóricas se aplican al
  análisis de una sesión de clase de bachillerato
  en la que se estudian las reglas de derivación,
  permitiendo describir los significados
  implementados, los patrones de interacción
  didáctica,  e identificar conflictos semióticos
  manifestados en la interacción didáctica

7
MOTIVACIÓN INICIAL DEL Enfoque Onto-Semiótico

• Necesidad de progresar en el estudio de las
  relaciones entre las teorías,
• Situaciones Didácticas (TSD)
• Campos Conceptuales (TCC)
• Antropológica (TAD)
• Creación de una ontología de objetos matemáticos
  (que, en nuestra opinión, pueda generalizar y
  articular las TCC y TAD)

8
PROBLEMÁTICA AMPLIACIÓN DE LA TSS Y DE LA TFS

• Abordar el estudio de los procesos de enseñanza y
  aprendizaje matemático mediante el empleo de las
  herramientas conceptuales del EOS.
• Creación de una ontología de objetos didácticos
  (modelización estocástica, trayectorias,
  configuración e interacción didáctica) que pueden
  permitir clarificar y hacer operativos algunos
  aspectos de la Teoría de Situaciones.
• Instrucción matemática proceso organizado de
  generación y comunicación de los conocimientos
  matemáticos en el seno de una institución escolar
  .

9
Cuál es nuestro problema didáctico?

• Formulaciones ingenuas
• Cómo se debería enseñar las matemáticas?
• Cómo se puede lograr que los alumnos aprendan
  las matemáticas?
• La didáctica tiene que reformular estas
  cuestiones para hacerlas operativa e
  investigables.
• Previamente tiene que explicitar modelos sobre la
  naturaleza de propia matemática, y modelos sobre
  la enseñanza y el aprendizaje.
• LaS TSS y TFS son una modelización de los
  conocimientos institucionales y personales de los
  objetos matemáticos

10
Reformulación del problema

• De qué variables o factores depende la idoneidad
  de un proceso de instrucción matemática?
• Cuáles son los valores o categorías de tales
  variables?
• Qué unidad de análisis de los procesos de
  instrucción interesa adoptar para tener en cuenta
  las interacciones entre las distintas variables?
• Cómo secuenciar en el tiempo las tareas y
  funciones para optimizar el aprendizaje en unas
  circunstancias dadas?
• En qué medida es idóneo/ eficaz el proceso de
  instrucción observado? Cómo evaluar la idoneidad
  de un proceso de instrucción matemática?

11
EL ANÁLISIS Y EL DISEÑO DE LA INSTRUCCIÓN COMO
PROBLEMA

• Instrucción matemática proceso organizado de
  generación y comunicación de los conocimientos
  matemáticos en el seno de un sistema didáctico.
• Abordar el estudio de los procesos de enseñanza y
  aprendizaje matemático mediante el empleo de las
  herramientas conceptuales del EOS.
• Creación de una ontología de objetos didácticos
  (modelización estocástica, trayectorias y
  configuración didáctica, ...) que permiten
  generalizar la TSD.

12
POTENCIAL DE LA Teoría de Situaciones

• La TSD proporciona herramientas para analizar
  los procesos de instrucción matemática y valorar
  la idoneidad de tales procesos en términos de los
  aprendizajes matemáticos logrados.
• La asunción de la hipótesis del aprendizaje
  matemático en términos de adaptación a un medio
  adidáctico orienta de manera consistente en la
  construcción de situaciones didácticas mediante
  las cuales los alumnos construyan los
  conocimientos matemáticos de manera
  significativa.

13
LIMITACIONES DE LA TSD

• Pero en la práctica, no todos los objetivos de
  aprendizaje matemático se pueden lograr mediante
  procesos de adaptación en situaciones adidácticas
  
• La articulación entre las situaciones
  adidácticas y didácticas, no es obvia.
• La enseñanza directa del profesor puede jugar
  un papel esencial en una instrucción matemática
  significativa.
• (Vygotsky Ausubel ...)

14
AMPLIACIÓN DE LA TSS y TFS Configuraciones
Didácticas
15
MODELIZACIÓN DE LA INSTRUCCIÓN COMO PROCESO
ESTOCÁSTICO

• En cada uno de los componentes de un proceso de
  instrucción matemática podemos identificar un
  conjunto de elementos, funciones o tareas, los
  cuales se deben secuenciar en el tiempo.
• En cada realización de un proceso de instrucción
  matemática se pondrán en juego una muestra de
  elementos del significado del objeto, así como
  una muestra de las funciones docentes y
  discentes.
• También se seleccionarán unos recursos
  instruccionales específicos.
• Parece natural modelizar esta distribución
  temporal de funciones y componentes mediante
  procesos estocásticos, considerando tales
  funciones o componentes como los estados
  posibles.

16
TRAYECTORIAS MUESTRALES

• Trayectoria epistémica, distribución a lo largo
  del tiempo de enseñanza de los componentes del
  significado institucional implementado
  (problemas, acciones, definiciones, propiedades,
  argumentos)
• Trayectoria docente distribución de las
  funciones docentes a lo largo del proceso de
  instrucción.
• Trayectoria discente distribución de las
  funciones o roles desempeñados por los
  estudiantes.

17
TRAYECTORIAS MUESTRALES (Cont.)

• Trayectoria cognitiva cronogénesis de los
  significados personales de los estudiantes.
• Trayectoria emocional distribución temporal de
  los estados emocionales (afectos y sentimientos)
  de los alumnos en relación a los objetos
  matemáticos y al proceso de estudio.
• Trayectoria mediacional, distribución de los
  recursos tecnológicos utilizados (manipulativos,
  libros, apuntes, software, etc.).

18
TRAYECTORIA EPISTÉMICA

• Estados potenciales
• Situacional se aborda el planteamiento de un
  ejemplar del tipo de problemas.
• Actuativo se aborda el desarrollo o estudio de
  una manera de resolver los problemas.
• Lingüístico se introducen notaciones,
  representaciones gráficas, etc.
• Conceptual se formulan, interpretan o aplican
  definiciones de los objetos puestos en juego.
• Proposicional se enuncian, interpretan y aplican
  propiedades.
• Argumentativo se justifican las acciones
  adoptadas o las propiedades enunciadas.

19
CONFIGURACIÓN EPISTÉMICA

• Llamaremos "configuración epistémica" al sistema
  de objetos y funciones semióticas que se
  establecen entre ellos relativos a una
  situación-problema.
• El análisis epistémico será la caracterización de
  las configuraciones epistémicas, su secuenciación
  y articulación.
• La atención se fija en la cronogénesis del saber
  matemático escolar, y en la caracterización de su
  complejidad onto-semiótica.

20
EJEMPLO CÁLCULO DE DERIVADAS Calcular la
velocidad de un móvil en t 1 segundo, conocida
la relación entre el espacio y el tiempo que
viene dada por la función polinómica e(t)
3t2-t1 , t 1 seg.

• De acuerdo, entonces derivamos la función
  espacio y vamos a hallar la función velocidad
• e(t) 6t-1, en el instante 1 seg., sustituimos
  la t por 1 y sale 5, que serán metros por
  segundo, la velocidad.
• e(1) 6.1-15
• De acuerdo?
• Alumno Pero, D. José, al derivar la ecuación
  qué es lo que hemos hecho?
• Hemos aplicado la regla que hemos visto estos
  días.
• La derivada de una suma es la suma de las
  derivadas de cada uno de los sumandos
• El primer sumando es una constante por la
  derivada de una potencial,
• (3t2) 3. 2.t2-1 6t
• Va indicando en la pizarra el desarrollo de los
  cálculos
• La constante permanece, la derivada de t cuadrado
  2, por t elevado a dos menos uno, la constante
  permanece, tres por dos seis, igual a 6t.
• Eso seria el primer miembro.
• El segundo, la derivada de t 1, la derivada de
  una constante sumatoria 0.
• 2. 01
• Vas aplicando las reglas que hemos deducido estos
  días.

21
Trayectoria epistémica (ejemplo)
22
Trayectoria epistémica
23
TRAYECTORIA DOCENTE

• Trayectoria docente la secuencia de
  actividades que realiza el profesor durante el
  proceso de estudio de un contenido o tema
  matemático.
• Cuando tales actividades se circunscriben a una
  situación-problema (o tarea) específica
  hablaremos de 'configuración docente', la cual
  irá asociada a un configuración epistémica.
• Estas actividades o acciones del profesor son su
  respuesta o manera de afrontar las tareas o
  funciones docentes.

24
FUNCIONES DOCENTES

• Planificación diseño del proceso, selección de
  los contenidos y significados a estudiar
  (construcción del significado pretendido y de la
  trayectoria epistémica prevista).
• Motivación creación de un clima de afectividad,
  motivación y respeto.
• Asignación de tareas dirección y control del
  proceso de estudio, mediante la adaptación de
  tareas, orientación y estímulo de las funciones
  del estudiante

25
FUNCIONES DOCENTES

• Regulación fijación de reglas (definiciones,
  enunciados, jusfitificaciones), recuerdo e
  interpretación de conocimientos previos
  necesarios para la progresión del estudio.
• Evaluación observación y valoración del estado
  del aprendizaje logrado en momentos críticos
  (inicial, final y durante el proceso).
• Investigación reflexión y análisis del
  desarrollo del proceso para introducir cambios en
  futuras implementaciones del mismo, así como la
  articulación entre los distintos momentos y
  partes del proceso de estudio.

26
TRAYECTORIA DISCENTE

• Configuración discente sistema de funciones o
  roles que desempeña un alumno a propósito de una
  configuración epistémica
• Aceptación del compromiso educativo y adopción de
  una actitud positiva al estudio.
• Exploración, indagación, búsqueda de conjeturas y
  modos de responder a las cuestiones planteadas.
• Recuerdo, interpretación y seguimiento de reglas
  (conceptos y proposiciones) y del significado de
  los elementos lingüísticos en cada situación.
• Formulación/comunicación de soluciones a las
  situaciones o tareas propuestas.
• Argumentación y justificación de conjeturas.

27
TRAYECTORIA DISCENTE (Cont.)

• Recepción de información sobre modos de hacer,
  describir, nombrar, validar.
• Demanda de información al profesor o a otros
  compañeros (por ejemplo, cuando no entienden el
  significado del lenguaje utilizado o no recuerdan
  conocimientos previos necesarios).
• Ejercitación Realización de tareas rutinarias
  para dominar las técnicas específicas.
• Evaluación Estados en los cuales el alumno
  realiza pruebas de evaluación propuestas por el
  profesor, o de autoevaluación.

28
TRAYECTORIA MEDIACIONAL

• En el proceso instruccional se podrán utilizar
  diversos medios o recursos como dispositivos de
  ayuda al estudio.
• La noción de trayectoria mediacional pretende
  servir de herramienta para analizar los usos
  potenciales y efectivamente implementados de los
  medios instruccionales y sus consecuencias
  cognitivas.
• El uso de los recursos (tipo, modalidad,
  secuenciación, articulación con los restantes
  elementos del procesos, etc.) debe ser objeto de
  atención en la práctica y en la investigación
  didáctica.

29
TRAYECTORIA COGNITIVA

• Cronogénesis de los significados personales
• La interacción del profesor con los alumnos
  mientras resuelven las tareas en clase, le
  permite acceder parcialmente a la progresiva
  construcción de los conocimientos por parte de
  los alumnos, y tomar decisiones sobre la
  cronogénesis institucional (trayectoria
  epistémica)
• En nuestro ejemplo sólo tenemos indicios de esa
  cronogénesis por medio de las esporádicas
  intervenciones de los estudiantes, y muy limitada
  a aspectos puntuales.

30
TRAYECTORIA EMOCIONAL

• Otros factores condicionantes del proceso de
  instrucción que admiten distintos estados y
  cambian a lo largo del tiempo se aglutinan en
  torno a lo que designamos como estados
  emocionales (interés, compromiso personal,
  sentimientos de autoestima, aversión, etc.)
• El proceso de devolución en la TSD.

31
INTERACCIONES DIDÁCTICAS

• Configuración didáctica
• Secuencia interactiva de estados de las
  trayectorias docente y discente que tienen lugar
  a propósito de una tarea y que se realiza
  mediante el uso de unos recursos materiales
  determinados.
• El proceso de instrucción sobre un contenido o
  tema matemático se desarrolla en un tiempo dado
  mediante una secuencia de configuraciones
  didácticas (Trayectoria didáctica).

32
CONFIGURACIONES DIDÁCTICAS
33
CONFIGURACIONES DIDÁCTICAS TEÓRICAS
(REFERENCIALES)

• D C
• dialógica personal
• magistral a-didáctica
• A B

34
ANÁLISIS DE CONFIGURACIONES DIDÁCTICAS EMPÍRICAS

• CD 1 Corrección del ejercicio de cálculo de la
  velocidad
• CD 2 Corrección del ejercicio de cálculo de la
  derivada del producto de dos funciones
• CD 3 Resolución de ejercicios similares
• CD 4 Deducción de la regla de derivación de la
  función sen(x)

35
PATRONES DE INTERACCIÓN

• Cualquier regularidad que pueda identificarse en
  las trayectorias didácticas y las configuraciones
  que las componen.
• El desarrollo de las configuraciones y su
  secuenciación está apoyada en la implementación
  de una variedad de patrones de interacción.
• Se constituyen con frecuencia de manera
  inconsciente, reducen la incertidumbre y
  resuelven los conflictos semióticos.

36
CRITERIOS DE IDONEIDAD

• Idoneidad epistémica representatividad de los
  significados institucionales implementados
• Idoneidad cognitiva el desfase entre los
  significados institucionales implementados y los
  significados personales iniciales sea el máximo
  abordable teniendo en cuenta las restricciones
  cognitivas de los alumnos y los recursos humanos,
  materiales y temporales disponibles
• Idoneidad semiótica posibilidades para
  identificar conflictos semióticos potenciales y
  resolverlos.
• Idoneidad mediacional, grado de disponibilidad y
  adecuación de los recursos materiales y
  temporales necesarios.
• Idoneidad emocional, grado de implicación
  (interés, motivación) de los alumnos en el
  proceso de estudio.

37
IDONEIDAD DE LAS CONFIGURACIONES
38
TIPOS DE IDONEIDADES

• Idoneidad didáctica, criterio sistémico de
  pertinencia de un proceso de instrucción en base
  a su adecuación al proyecto de enseñanza.
• Su indicador empírico puede ser la adaptación
  entre los significados personales logrados por
  los estudiantes y los significados
  institucionales pretendidos.
• La idoneidad didáctica comprende a su vez tres
  idoneidades epistémica, cognitiva (incluye la
  emocional) e instruccional (incluye la semiótica
  y la mediacional),

39
Objetos e interacciones didácticas
40
IMPLICACIONES

• El análisis onto-semiótico se revela como un
  elemento crucial de los procesos de estudio de
  las matemáticas.
• Permitirá identificar puntos críticos en que se
  deben negociar los significados, aportar pautas
  para seleccionar las configuraciones didácticas y
  los patrones de interacción más apropiados y
  caracterizar los aprendizajes logrados.
• La dialéctica entre los distintos patrones de
  interacción deberá basarse en la negociación de
  los significados.

41
Ejemplo

• CRITERIOS DE IDONEIDAD DE UN
• PROCESO DE INSTRUCCIÓN MATEMÁTICA . Aplicación a
  una experiencia de enseñanza de la noción de
  función