Winter 20089

1
Design and Analysis of Algorithms Recitation
12 VC ?p DHC ?p HC

• Winter 2008/9
• Alex Shraer
• Material partially based on
• 236343 - Computability Theory

2
??????

• ??? NP-??? (NPH) L ??? NP-??? ?? ??? L?NP, L
  ?p L
• ??? NP-???? (NPC) L ??? NP-???? ?? ??????
• L?NP
• L ??? NP-???
• ????
• L1?NP
• L2 ?NPC
• L2 ?p L1
• ?????
• L1?NP ????
• ?"? ??? ??? L?NP, L ?p L1

L1 ?NPC
L ?p L2
?p L1
L2 ?NPC
????
3
Vertex-Cover (VC) ?????

• ????? ?????? ?? ??? ?? ????? G(V, E) ???
  ??-????? W?V ?? ???? ??? (u,v)?E ?????? u?W ??
  v?W
• ????? ??????????? ????? ????? ??? ???? ????????
• ????? ????? ?????? ??? G ????? ??? ????? k, ???
  ???? ????? ??? ???? ??? ????? k ?
• VC ltG, kgt k ?? ????? ?????? ??? ???? ???
  ????? G ?-

4
HC and DHC

• Hamiltonian Cycle (HC)
• ??? ??? G
• ???? ??? ???? ?-G ???? ???????? ????? ?????
  ??? ???? ????? ??? ??? ????? ?????? ?????? ???.
• HC ltGgt G???? ???? ???????? ????
• Directed Hamiltonian Cycle (DHC)
• ??? ??? ????? G
• ???? ??? ???? ?-G ???? ???????? ????? ?????
  ????? ??? ???? ????? ??? ??? ????? ?????? ??????
  ???.
• DHC ltGgt G???? ???? ???????? ????? ????
  ??????

5
DHC ? NP

• ????? ??? ???? DHC
• SDHC (ltGgt,p) G ??? ???? ???????? ????? ?-p
• p?G ???? ???? ???? ?????????
• SDHC ???? ?????? (verification) ???? ????????
  ?????? ltGgt,p ?????? ????? ??? p ??? ???? ????????
  ????? ???? ?-G.
• SDHC???verification relation
• DHC ltGgt G???? ???? ???????? ????? ?-
• ltGgt ??p, G???? ???????? ????? ?- p
• ltGgt ??p, (ltGgt,p)?SDHC
• HC?NP ??????? ????? ????

6
DHC ??? ??? NP-????

• ????? ?-DHC?NP
• ???? ?-DHC ??? NP-??? ?"? ??????? ?-VC, ????? ?
  VC ?p DHC
• ???????? ?????? ??? ?? ????? G(V, E) ????? ????
  k, ???? ???? ????? ???? ???????? ?-V ??? ?????
  GD(VD, ED) ?? ??-GD ?? ???? ???????? ??"? ????
  ????? ?????? ????? k ?-G.

7
GD ?????

• ??? Vv1, v2, , vn. ?????
• VDa1, , ak?? v,e,0, v,e,1 v?V, e?E, v
  ????? ?-e
• ??? eij(vi, vj) (eji) ???? G ????? ?"? ?? ???
  ??? 4 ????? ?-GD
• () ????? ?? ???? ???????? ???? ??? ???? ??????
  ??? eij ????? A (??"?), ??? ???? ???? ???? ???
  ???? D, ???? ??? ????? ??? ???? C, ?? B ?? D ??
  ?????? ?????.
• ????? ?-A ?-D ?? ????? ?-A, B, C, D ?? ??? ?-A
  ?-D. ????? ???? ????? ????????? ???? ???? ?????
  ???? ????? ?-B ?-C.

8
- ???? GD ?????

• GD ????? ?-V ???????, ??? ??? ????. ?????? ??
  ???? v ????? ????? ABCD ???? ?? ?????? ???????
  ?-v, ???? ?????.
• ?????, ????? ??? ?- vi, eil, 1 ?- vi, eim, 0
  ?? ???? eim ?????? ???? ???? eil ?????? ?? vi
• ??? aj (???? 1?j?k)
• ???? ??? ?-aj ?????? vi, eil, 0 ???? eil ???
  ???? ??????? ?????? ?? vi
• ???? ??? ?????? vi, eil, 1 ?-aj ???? eil ???
  ???? ??????? ?????? ?? vi
• ?? ?????? ?????? ????? ?? ????? ?????? ED ?? ????
  GD
• ???????? ?????????
• ??? ?

9
- ????? GD ?????
v1, e12, 0
v2, e12, 0
v1, e12, 1
v2, e12, 1
v1, e13, 0
v3, e13, 0
v1, e13, 1
v3, e13, 1
v2, e23, 0
v3, e23, 0
v2, e23, 1
v3, e23, 1
10
?? ????? ????? ????

• ???? ??-G ???? ????? ?????? ????? k, ???? v1,
  v2, , vk ????? ???
• ???? ?- ?? ????? ??????
  ??????? ?-vi (???? 1?i?k)
• ?????? ????? ???, ??? ????? a1
• ???? ?? ???? ??? ?? ???? ?-ai, ???? ?? ????????
  ??????? ?????? v1,, vk ?? ???? ???? ???
  ??????? ??????? ?????? ????? ?????? ??.
• ??? ????? ?? ????? ?? ?????? ?? ????? ???
• ????? ??? ??? ????? ?- GD ?????? vj, e, 1 vj,
  e, 0, ?? ?-jgtk (????? vj ???? ??????), e ?????
  ?? ????? ??????, ????? ???? ????? vi ?? ?- 1?i?k
• ????? ?? ????
  ?????
• ?"? ??????
• ???? ?? ???? ??? ??? ??? ?? ???? VD ???? ????
  ???? ????????

11
?????
v2, e12, 0
v1, e12, 0
v1, e12, 1
v2, e12, 1
v1, e13, 0
v3, e13, 0
v3, e13, 1
v1, e13, 1
v2, e23, 0
v3, e23, 0
v2, e23, 1
v3, e23, 1
12
?? ????? ????? ????

• ???? ????? ???? ???????? ????? ?-GD
• ?????? ???? ???, ???? ????? ?-k ???????, ???? ??
  ????? ????? ????? ai ??????? ????? aj
• ?????? ?????? ????? ???
• ??? ????? ??? ???? ?????? ??? ??? ?? G (????? ),
  ???? ??????? ?-ai ?-aj ????? ??????? ?????? ????
• ????? ?????? ?-aj ?-aj ???? ?? ??? ??????
  ???????? ????? ??????? ????? v?V ?????? ????,
  ???? ???? ??????? ????, ??? ???? ??? ??????
  ???????? ????? ?????. ???, ??? ??? ?-k ????????
  ???? ????? ???? v?V (??? ??? ???? ??? ??????
  ??? ???? ????? ?????? ??? ???? ????? ????????)

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13
?? ???? ????

• ??? ???? ?-k ????? ??? ?? ????? ?-G
• ????? ????????? ???? ????? ?? ?? ?????? ?-GD,
  ????? ??? ???????
• ?????? ????? w,e,b ????? ????? ?????? ???? e.
  ???? ????? ??? ???? ?? ?? ??? ????? ?????? ????
  ?????? e ?-G
• ???, ??? ??? e?E, ????? ??? ???? ?????? ????
  ????? ??? k
  ?????? ??????
• ?????, ????? k ?????? ?????? ???? ?? ?? ??????
  ?-E
  ???? ???? ????? ????? k ???? G

14
HC ??? ??? NP-????

• ??? ????? ??????, ?? ?????? ?-NP ? HC
• ???? ?-HC ??? NP-??? ?"? ??????? ?-DHC
• ???????? ?????? ??? ????? G(V, E), ?? ?????
  ???? ???????? ?-V ??? ?? ?????G ?? ??-G ????
  ???? ???????? ??"? ?-G ???? ???? ???????? ?????
• ????? ?

15
???????? ?????? ?????

• G ??? ?-G ?? ????? ?? ???????
• ?? ?-G ?? ???? ????????, ?? ?? ?-G
• ??? ?-G ??? ???? ???????? ?
• ?-G ????? ???? ???? ????????

16
???????? ?????? ???

• ????? ?????
• ?? ???? ?-G ?????
  ?
• ????? ??? ??-G ???? ???? ???????? ??? ???? ???
  ???? e. ??????

?DHC
?HC
17
???????? ????? ????

• ???? G ???? V x 0,1,2
• ????? G ????
• ??? ???? v?G ???? ???
• ??? ???? v?G ???? ???
• ??? ??? u??v ?-G ????? ???
• ?????, ??????? ?? ???? ???? ?????? ?????? ?????
  ????? ???
• ?????????? ?????? ?? ???? ?????? ?? 3, ??????? 2
  ????? ??? ????. ???? ????? ??? ???? ????????.

????? ?
18
????? ??? ???? ????????
G
G
19
????? ?? ???? ????????
G
G
20
?? ????? ????? ????

• ???? ??-G ???? ???? ???????? ?????
• ??? ?-G
• ??? ???? ???????? ?? ?????

21
?? ????? ????? ????

• ???? ??-G ???? ???? ???????? ?? ?????
• ??? ???? ????? ????? ??????
• ???? ?? ???? ????? ?????
• ??? ?? ??? ????? ???? ????? ????? ??? ??????
• ?? ???? ????? ???? ?? ???
  ????, ?????? ???? ????? ???? ????
• ??? ????? ????????? ???? ????? ??????
• ?? ????? ?????? ?????
  ???? ?-G, ????? ?? ??? ??????
  ?????? ??? ?????? ?-G. ???
• ??? ???? ???????? ????? ?-G

22
???????????

• ???? ????? ?? ??? ????????? ?
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• ??????? ????? ?-VC ?-HC, ???? ????? ?
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• ??????? ?-3SAT ?-DHC, ???? ????? ?
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  Computation. Addison-Wesley, 1979.