Chapter 3 Measurement errors and uncertainty

1
Chapter 3Measurement errors and uncertainty
2
contents

• definitions statistic properties (review)
• histograms
• probability densities
• uncertainty evaluation
• worked example

3
characterization of errors
Multiplicative errors Additive errors
4
definitions

• x "true value" of measurand
• z measurement result
• e error

5
example rain gauge
6
Rain measurement system
Numerical display
Read-out unit
Pressure sensor
7
system model
8
histograms
narrower bins ? more trials
histogram ? density function
9
probability densities (of errors)
10
expectation, variance and standard deviation
measures for uncertainy
11
normal distribution
12
uniform distribution
13
Poisson distribution
14
standard uncertainty ?e

• uncertaintycharacterization of the range of
  values of the error
• standard uncertainty standard deviation used as
  a measure for uncertainty

15
review

• Error types systematic and random
• Histogram
• Error probability density
• Normal
• Uniform
• Poisson
• Characteristics
• Expectation (mean)
• Variance
• Standard deviation
• Standard uncertainty standard deviation

16
Oefenvraagstuk 1

• Rijkswaterstaat wil op een bepaald weggedeelte de
  gemiddelde verkeersintensiteit weten onder een
  gedefinieerde omstandigheid. De omstandigheid
  wordt ondermeer gedefinieerd door de volgende
  aspecten
• tijdstip van de dag (bijv. ochtendspits)
• dag in de week (bijv. maandag)
• weersomstandigheid (bijv. regenachtig)
• maand in het jaar (bijv. november)
• type voertuig (bijv. vrachtwagens)
• De gemiddelde verkeersintensiteit wordt
  uitgedrukt in 'aantal voertuigen per minuut'.

17
Oefenvraagstuk 1 (vervolg)

• Op een zekere dag meet men gedurende vijf minuten
  de verkeersintensiteit. De uitkomst hiervan is
  dat men 25 passerende vrachtwagens heeft geteld.
  Men concludeert dat de gemiddelde
  verkeersdichtheid voor de betreffende
  omstandigheid '5 vrachtwagens per minuut' is. Wat
  is de standaard onzekerheid in deze meting?
• 0,5 vrachtwagen per minuut
• 0,8 vrachtwagen per minuut
• 1,0 vrachtwagen per minuut
• 1,2 vrachtwagen per minuut

18
Oefenvraagstuk 1 - oplossing

• We hebben hier te maken met een Poissonverdeling
  (aantal gebeurtenissen per tijdseenheid). Voor
  een Poissonverdeling geldt
• Variantie verwachtingswaarde.
• Het gemiddeld aantal getelde vrachtwagens
  bedraagt naar schatting 25. De standaard deviatie
  in de uitkomst van de telling is dus 5
  vrachtwagens, oftewel 20. De standaard
  onzekerheid in de meting is dus 1 vrachtwagen per
  minuut.

19
estimation of the mean and the variance(of the
error)
20
accuracy of the average
21
experiment

• meet de omtrek van een sjoelschijf

22
how to assess the uncertainty?

• type A evaluation statistical inference
• type B evaluation various information sources
• combined uncertainty
• error propagation
• error budget

23
type A evaluation statistical inference

• Given repeated measurements with
• x true value
• zn result of the n-th trial
• en zn- x errors
• Find estimates for the expectation and variance
  of the error
• What is the accuracy of these estimates ?

24
type B evaluation

• use and combine various information sources
• manufacturers specification of a device
• handbooks
• certifications of a product
• general knowledge about the physical processes
  involved

25
example

• Rain gauge

26
uncertainty of a rain gauge

• N 100 drops
• Poisson distribution
• ? 100
• ?n ?? 10
• ?e 2 mm

• Level after 15 minutes x 20 mm
• Upper area A 500 mm2
• Drop volume V 100 mm3

27
manufacturers specifications
OPERATING CHARACTERISTICS APX2910
28
error 2 AD-converter
ADC round off error (Quantization error) Uniform
distribution ?e ?x/?12 ?x 1 mm (instrument
reading) ?e ?x/?12 1/?12 mm ? 0,3 mm
29
error 3 manufacturers specification
OPERATING CHARACTERISTICS APX2910
30
combined uncertainty - sensitivity (repeated)
31
combined uncertainty model plus errors
32
error propagation (linear case)

• rule for error propagation in the linear case

1 provided that e1 and e2 are uncorrelated (e.g.
statistically independent)
33
the error budget
34
Oefenvraagstuk 2

• We beschouwen een meetinstrument bestaande uit
  een sensor/versterker-combinatie en een
  AD-omzetter. Het signaal aan de uitgang van de
  versterker is behept met ruis. De standaard
  deviatie van de ruis is gelijk aan 1 mV. De
  AD-omzetter heeft een kwantisatiestap van 1 mV.
  De AD-omzetter rondt af naar het dichtstbijzijnde
  kwantisatieniveau. Wat is de standaard
  onzekerheid in het meetresultaat
• 2 mV
• 1,041 mV
• 1,41 mV
• 2,82 mV

35
Oefenvraagstuk 2 - oplossing

• Een AD omzetter maakt een fout die uniform
  verdeeld is. Hierbij behoort een onzekerheid van

• De twee fouten kunnen opgevat worden als een
  optelling. Ze zijn onafhankelijk. Dus, voor de
  totale onzekerheid moeten de afzonderlijke
  onzekerheden kwadratisch opgeteld worden

36
characterization of errors
37
repeated measurements
38
error budget 10 repeated measurements
39
error budget 10 repeated measurements
40
error budget 10 repeated measurements
41
Oefenvraagstuk 3

• We beschouwen een meetinstrument bestaande uit
  een sensor/versterker-combinatie en een
  AD-omzetter. De sensor/versterker heeft een
  systematische fout met een standaard onzekerheid
  van 0,01 mV. Bovendien is er fluctuerende ruis
  met een standaard deviatie van 0,01 mV. De
  AD-omzetter heeft een kwantisatiestap van 1 mV.
  De AD-omzetter rondt af naar het dichtstbijzijnde
  kwantisatieniveau.
• De meting wordt 100 keer herhaald en de
  resultaten worden gemiddeld.
• Welke van de volgende beweringen is JUIST

42
Oefenvraagstuk 3 (vervolg)

• De resterende fout na middeling is bij
  benadering uniform verdeeld en het uiteindelijke
  resultaat heeft een standaard onzekerheid van
  0,03 mV.
• De resterende fout na middeling is bij
  benadering uniform verdeeld en het uiteindelijke
  resultaat heeft een standaard onzekerheid van 0,3
  mV.
• Er zijn onvoldoende gegevens om bij benadering de
  verdeling van de resterende fout te bepalen
  alsmede de onzekerheid.
• De resterende fout na middeling is bij
  benadering normaal verdeeld en het uiteindelijke
  resultaat heeft een standaard onzekerheid van
  0,03 mV.

43
Oefenvraagstuk 3 - oplossing

• De onzekerheid t.g.v. de kwantisatie is

• Dit is vele malen groter dan de onzekerheid van
  de versterker (toevallige fout en systematische
  fout). Derhalve is de kwantisatiefout
  overheersend. Dit is een systematische fout.
  Middelen heeft dus geen zin. De onzekerheid
  blijft dus 0,3 mV.

44
error 4 gain error
OPERATING CHARACTERISTICS APX2910
multiplicatieve fouten!
45
combined uncertainty sensitivity error
?S1 0.01 Pa/mm
?S2 0. 1 ?V/Pa
46
error propagation non linear case

• rule for error propagation in the nonlinear case

1 provided that e1 and e2 are uncorrelated (e.g.
statistically independent)
47
example nonlinear case calibration error
Example for x 20 mm ?e 0.8mm
48
Oefenvraagstuk 4

• Men wil de inhoud meten van een blokvormig
  postpakket. Men meet daartoe de drie ribben van
  het pakketje met een liniaal. De relatieve
  onzekerheid in deze lengtemeting is 2. Wat is de
  relatieve onzekerheid van de inhoud die afgeleid
  wordt uit de drie gemeten lengten?
• 3
• 6
• 4
• 3,5

49
Oefenvraagstuk - oplossing

• Men meet de inhoud dmv
• V lengte x breedte x hoogte . Er geldt dan
  (zie 3.37)

De relatieve onzekerheid is dus
50
End of Chapter 3