Bab 7 : Taburan Normal

1
Bab 7 Taburan Normal

• 7.1 Pengenalan
• 7.2 Taburan Normal Piawai
• 7.2.1 Mendapatkan kebarangkalian apabila
  diberi skor z
• 7.2.2 Mendapatkan skor z apabila diberi
  kebarangkalian
• 7.3 Mendapatkan kebarangkalian bagi taburan
  normal
• 7.4 Mendapatkan nilai bagi taburan normal
• 7.5 Taburan normal sebagai penganggaran kepada
  taburan binomial

2
7.1 Pengenalan

• Definisi
• Jika satu pembolehubah rawak selanjar mempunyai
  taburan di mana graf adalah simetri dan berbentuk
  loceng, kita katakan ia tertabur normal atau
  mempunyai taburan normal.

Min ?
3
7.1 Pengenalan

• Parameter bagi lengkung normal gtgt min, ? dan
  sisihan piawai, ?
• Lengkung normal simetri sekitar min
• Serakan taburan normal bergantung kepada sisihan
  piawai
• Semakin besar gtgt lengkung menjadi semakin
  mendatar

4
7.1 Pengenalan
Rajah 2
5
7.1 Pengenalan

• Satu lengkung normal akan mempunyai ciri-ciri
  berikut
• Berbentuk loceng
• Simetri sekitar min
• Menghampiri paksi melintang tetapi tidak akan
  menyentuh apabila di luar julat ?-3? hingga ?3?

6
7.1 Pengenalan
Rajah 3
7
7.2 Taburan normal piawai
Taburan normal piawai adalah taburan
kebarangkalian normal yang mempunyai min, ? 0
dan sisihan piawai, ? 1
8
7.2 Taburan normal piawai
Rajah 4
Dengan ? 0 dan ? 1, mudahkan utk mengira
kawasan di bawah lengkung. ? Luas kawasan di
bawah lengkung 1
9
7.2.1 Mendapatkan kebarangkalian apabila diberi
skor z

• Daripada rajah 4, kawasan di bawah lengkung
  adalah 0.3413
• Untuk mengetahui kawasan tersebut (juga dirujuk
  sebagai kebarangkalian), rujuk kepada jadual
  taburan normal piawai.

10
7.2.1 Mendapatkan kebarangkalian apabila diberi
skor z

• Panduan jadual taburan normal piawai
• Jadual ini hanya boleh digunakan untuk taburan
  normal piawai yang mempunyai ? 0 dan ? 1.
• Nilai2 yg terdapat dalam jadual menunjuk kpd
  kawasan di bawah lengkung. Ada bny jenis jadual.
• Skor z jarak pada skala melintang bagi taburan
  normal piawai rujuk di sebelah kiri dan atas
  jadual.
• Kawasan luas dibawah lengkung nilai di dalam
  ruang tengah jadual.

11
7.2.1 Mendapatkan kebarangkalian apabila diberi
skor z
12
Contoh 1

• Sykt Precision Scientific Instrument mengeluarkan
  termometer yg memberi bacaan 0?C pada tahap beku
  air. Ujian yg dijlankan ke atas satu sampel
  termometer tersebut mendapati sesetengah
  termometer memberi bacaan di bawah 0?C pada tahap
  beku air manakala sebahagian memberi bacaan di
  atas 0?C. Andaikan min bacaan adalah 0?C dan
  sisihan piawai adalah 1.00?C serta bacaan suhu
  adalah bertaburan normal. Jika satu termometer
  dipilih secara rawak, dapatkan kebarangkalian
  bahawa pada tahap beku air bacaan adalah 0?C dan
  1.58?C.

13
Contoh 1 Penyelesaian

• Dapatkan kawasan di antara 0 dan z. z 1.58

14
Contoh 2

• Guna contoh yg sama, dapatkan kebarangkalian bagi
  satu termometer yg dipilih secara rawak memberi
  bacaan di antara 2.43?C dan 0?C pada tahap beku
  air.

15
Contoh 3

• Guna contoh yg sama, dapatkan kebarangkalian bagi
  satu termometer yg dipilih secara rawak memberi
  bacaan lebih daripada 1.27?C pada tahap beku air.

16
Contoh 4

• Guna contoh yg sama, dapatkan kebarangkalian bagi
  satu termometer yg dipilih secara rawak memberi
  bacaan di antara 1.27?C dan 2.30?C pada tahap
  beku air.

17
7.2.1 Mendapatkan kebarangkalian apabila diberi
skor z

• Kebarangkalian juga boleh menggunakan
  notasi-notasi seperti berikut
• P(a lt z lt b) Kb bagi skor z berada di antara
  a dan b
• P(z gt a) Kb bagi skor z lebih besar daripada
  a
• P(z lt a) Kb bagi skor z lebih kecil daripada
  a
• Bagi cth 4, dgn menggunakan notasi
• P(1.27lt z lt2.30) 0.0913

18
7.2.1 Mendapatkan kebarangkalian apabila diberi
skor z

• Bagi taburan kebarangkalian selanjar seperti
  taburan normal, kebarangkalian untuk mendpat
  nilai yg tepat adalah 0, iaitu P(z a) 0.
• Misalnya, kebarangkalian mendpt seseorg secara
  rawak yg mempunyai ketinggian tepat 165.79 cm
  adalah 0.

19
7.2.1 Mendapatkan kebarangkalian apabila diberi
skor z
Lebih daripada x Besar daripada x Tidak kurang
daripada x Sekurang-kurangnya x
20
7.2.1 Mendapatkan kebarangkalian apabila diberi
skor z
Kurang daripada x Tidak lebih daripada x
21
7.2.1 Mendapatkan kebarangkalian apabila diberi
skor z
Di antara x1 dan x2
22
7.2.2 Mendapatkan skor z apabila diberi
kebarangkalian

• Contoh 5
• Guna cth yg sama, dapatkan suhu yang berkaitan
  dengan P95, persentil ke 95.

Dari itu z 1.645
23
Contoh 6

• Guna contoh yg sama, dapatkan P10, persentil ke-10

Dari itu z -1.28
24
7.3 Mendapatkan kebarangkalian bagi taburan normal
Satu pembolehubah yg tertabur normal dengan min,
? 0 dan sisihan piawai, ? 1 dikatakan
mempunyai taburan normal piawai.
Dari segi praktikal tidak dapat min, ? 0 dan
sisihan piawai, ? 1, tapi perolehi taburan
normal am.
25
7.3 Mendapatkan kebarangkalian bagi taburan normal
Tukar taburan normal am kepada taburan normal
piawai menggunakan rumus
z x - ? ?
26
7.3 Mendapatkan kebarangkalian bagi taburan normal
Apabila diberi taburan normal, anda boleh
menggunakan jadual taburan normal piawai untuk
mendapatkan kebarangkalian atau skor z seperti
sub topik sebelum ini dengan syarat nilai ditukar
kpd skor z dahulu.
27
7.3 Mendapatkan kebarangkalian bagi taburan normal

• Berikut merupakan prosidur utk mendapatkan
• kebarangkalian bagi pembolehubah rawak dengan
• taburan normal.
• Lakarkan lengkung normal, labelkan min dan nilai
  x.
• Lorekkan kawasan yg dikehendaki.
• Utk nilai x iaitu sempadan kawasan yg berlorek
• gunakan formula z x - ?
• ?
• utk menukarkan nilai kpd skor z.
• 4. Rujuk jadual utk mendptkan kebarangkalian

28
Contoh 7

• Dlm merekabentuk semula tempat duduk jet utk
  disesuaikan dgn juruterbang wanita, didapati
  berat wanita adalah bertaburan normal dgn min 143
  lb dan sisihan piawai 29 lb. Jika seorg wanita
  dipilih secara rawak, apakah kebarangkalian dia
  mempunyai berat di antara 143 lb dan 201 lb.

Lakar lengkung normal dan lorek kawasan yg
dikehendaki.
29
Contoh 7 (Samb)
Katakan X berat N(143, 292) Tukarkan nilai
kepada skor z, ZN(0,1)
Dari itu P(143 lt x lt201) P(0 ltz lt 2.00) 0.4772
30
Contoh 8

• Katakan rekabentuk tempat duduk jet yg asal boleh
  menampung berat lelaki di antara 140 lb dan 211
  lb. Berapa peratuskah wanita yg mempunyai berat
  yg sama seperti selang tersebut?

31
Contoh 8

• Kawasan yang dikehendaki adalah A B

Dari itu P(140 lt x lt211) P(-0.10 lt z lt 2.34)
0.5302
32
Fikir dan buat 1

• Ketinggian ketika duduk di dalam kereta merupakan
  kriteria penting dalam merekabentuk model kereta
  yang baru. Golongan lelaki mempunyai ketinggian
  ketika duduk yang bertaburan normal dengan min 36
  inci dan sisihan piawai 1.4 inci.
  Jurutera-jurutera di sebuah kilang pemasangan
  kereta telah mengemukakan perancangan pembuatan
  yang boleh memberikan ketinggian ketika duduk
  sehingga 38.8 inci. Walau bagaimanapun ia tidak
  dapat memberikan keselesaan kepada lelaki yang
  mempunyai ketinggian lebih daripada itu. Jika
  seorang lelaki dipilih secara rawak, dapatkan
  kebarangkalian dia mempunyai ketinggian ketika
  duduk yang kurang daripada 38.8 inci. Berdasarkan
  keputusan tersebut, adakah rekabentuk yang baru
  ini sesuai?

33
7.4 Mendapatkan nilai bagi taburan normal

• Berikut merupakan prosidur utk mendapatkan
• nilai.
• 1. Lakarkan lengkung normal.
• 2. Lorekkan kawasan yg dikehendaki melalui
• kebarangkalian atau peratusan yg diberi.
• Guna jadual utk dapatkan skor z yg berkaitan dgn
• kawasan yg dikehendaki disempadani oleh nilai x.
• a) drp jadual, dapatkan nilai yg hampir
• b) tentukan skor z.
• Masukkan ke dalam formula, utk dapatkan x.
• x ? (z ?)

34
Contoh 9

• Dengan menggunakan peristiwa berat wanita yg
  bertaburan normal dgn min 143 lb dan sisihan
  piawai 29 lb. Dapatkan nilai P10.

35
Contoh 9

• Dengan itu,
• z -1.28 ? 143 ? 29

36
Contoh 10

• Andaikan suhu badan bagi org dewasa yg sihat
  adalah bertaburan normal dgn min 98.20F dan
  sisihan piawai 0.62F. Jika seorg penyelidik
  ingin membuat kajian ke atas org dewasa 2.5 di
  bawah dan org dewasa 2.5 di atas, dptkan suhu yg
  dimaksudkan.

37
Contoh 10

• Dengan itu,
• z 1.96 ? 98.2 ? 0.62

dan, z -1.96 ? 98.2 ? 0.62
38
Fikir dan buat 2

• Pada lazimnya purata jangkamasa ujian pencapaian
  ialah 70 minit, dengan sisihan piawai 12 minit.
  Berapakah jangkamasa yang harus diberikan agar
  90 daripada pelajar akan dapat siap peperiksaan
  tersebut.

39
Fikir dan buat 3

• XN(0,1). Dapatkan kuartil ke-3 dan pertama bagi
  taburan X.

40
7.5 Taburan normal sebagai penganggaran kepada
taburan binomial
Kaedah ini digunakan untuk mendapatkan kebarangkal
ian binomial.
Kaedah penghampiran normal dalam menyelesaikan
masalah kebarangkalian binomial selalunya
digunakan setelah prosidur lain tidak boleh
digunakan atau memakan masa yang lama. Lazimnya
digunakan apabila n bagi taburan binomial
terlalu besar. Apabila n terlalu besar sukar
buat pengiraan.
41
7.5 Taburan normal sebagai penganggaran kepada
taburan binomial
Misalnya satu soal selidik dijalankan ke atas
500 pelajar sekolah menengah untuk mengetahui
samada mereka berminat di dalam matapelajaran
matematik. Tiap-tiap pelajar dikehendaki menjawab
ya atau tidak. Katakan kb seseorang meminati
matematik ialah 0.5.
Ini ujikaji binomial, Xb(x500,0.5) Katakan kita
hendak P(X?280) f(0)f(1)f(280) Maka
pengiraan menjadi rumit, apabila n besar. ATAU n
tiada dlm jadual, p terlalu kecil.
42
7.5 Taburan normal sebagai penganggaran kepada
taburan binomial
Jika np ? 5 dan nq ? 5, maka pembolehubah rawak
binomial adalah hampir tertabur dengan min dan
sisihan piawai seperti berikut
43
Langkah-langkah utk melakukan penghampiran
Mula

• Selesaikan masalah kebarangkalian
• binomial menggunakan
• Formula
• Jadual

Adakah np ? 5 dan nq ? 5 adalah benar
Lakarkan lengkung normal dan kawasan yg
dikehendaki. Buat pembetulan keselanjaran.
Kira z x - ? ?
Rujuk jadual
44
Prosidur menggunakan taburan normal sebagai
penghampiran kepada taburan normal

• Semak samada np ? 5 dan nq ? 5. Jika tidak jangan
  lakukan penghampiran.
• Dapatkan nilai bagi parameter ? dan ? menggunakan
  formula dan
• Kenalpasti nilai diskrit x. Tukarkan nilai
  diskrit tersebut kpd nilai selang drp x - 0.5
  atau x 0.5. Lakarkan lengkung normal dan
  masukkan nilai.
• Dapatkan kawasan yg dikehendaki.

45
Pembetulan keselanjaran
Oleh kerana taburan binomial adalah berbentuk
diskrit dan taburan normal berbentuk selanjar,
apabila menggunakan penghampiran normal, kita
perlu tukar nombor diskrit kepada nombor
selanjar iaitu selang 0.5 di bawah nombor
diskrit dan 0.5 di atas nombor diskrit.
46
Prosidur membuat pembetulan keselanjaran.

• Apabila menggunakan taburan normal sebagai
  penghampiran kpd taburan binomial, hendaklah
  sentiasa buat pembetulan keselanjaran.
• Kenalpasti nombor diskrit x. drp cth 11, nombor
  diskrit x adalah x 520.
• Lakarkan taburan normal dan tandakan x. tandakan
  disebelah kiri x sebagai x 0.5 dan di sebelah
  kanan x sebagai x 0.5
• Kemudian kenalpasti apa yg dikehendaki oleh
  masalah sekurang-kurangnya x atau lebih drp x
  atau kurang drp x atau tepat x. Kemudian lorek
  kawasan yg dikehendaki.

47
Contoh 11

• Pengetua disebuah kolej mendapati calon-calon yg
  ingin memasuki kolej telah dibahagi sama rata di
  antara lelaki dan perempuan. Beliau membuat
  kesimpulan pelajar yg berjaya adalah 50 lelaki
  dan 50 perempuan. Beliau menyemak data
  kemasukkan tahun lepas dan mendapati drp 1000 org
  pelajar, 520 org adalah pelajar lelaki. Dapatkan
  kebarangkalian memilih sekurang-kurangnya 520 org
  lelaki secara rawak. Berdasarkan kebarangkalian
  tersebut, adakah diskriminasi berlaku?

48
Contoh 11

• Maklumat
• Bilangan ujikaji, n 1000
• 2 kategori (lelaki, perempuan) adalah kesudahan
  dgn kebarangkalin 0.5.
• Kalau guna jadual, n sampai 30 shj
• Dari itu guna penghampiran normal.
• Semak np ? 5 dan nq ? 5. (ya)
• Nilai diskrit x 520. Tukarkan nilai diskrit
  tersebut kpd nilai selang ? 519.5 dan 520.5
• Dapatkan kawasan yg dikehendaki.

49
Contoh 11

• Tukarkan nilai kepada skor z

Dari itu kawasan 0.1093
50
Contoh rujuk contoh 11
51
1
3
2
5
4
52
Contoh 12

• Menurut satu kajian yg lepas, kira-kira 4.4
  kemalangan kereta adalah disebabkan tayar tidak
  sempurna. Jika satu kajian membuat pemilihan
  secara rawak terhadap 750 kes kemalangan,
  dapatkan kebarangkalian tepat 35 kemalangan
  disebabkan tayar tidak sempurna.

53
Contoh 12

• Taburan binomial, n 750 p 0.044 q 0.956
  x 35
• Xb(x750, 0,044)
• Semak np ? 5 dan nq ? 5. (ya)
• XN(33, 31.55)

54
Contoh 12

• 3.

4.
55
Fikir dan buat 4

• Di dalam sebuah kotak yang akan dihantar ke
  sebuah kedai komputer terdapat 100 unit tetikus.
  Dengan penghampiran Normal, hitung kebarangkalian
  bahawa,
• i.   tidak lebih daripada 5 unit tetikus
  mengalami kerosakan.
• ii.  4 hingga 7 unit tetikus mengalami kerosakan.
• iii. Di dapati 20 daripada tetikus yang dihantar
  lebih daripada k unit mengalami kerosakan. Cari
  nilai k.

56
Fikir dan buat 5

• A survey conducted by the Association of
  Executive Search Consultants
• revealed that 75 of all chief executive officers
  believe that corporations
• should have fast-track training programs
  installed to help develop
• especially talented employees. At the same time,
  the study found that only
• 47 of the companies actually have such programs
  operating at their
• companies. Average annual sales of the companies
  in the sample were
• 2.3 billion (Fortune, How to Tame the Fiercest
  Headhunter, July 20,
• 1998). Suppose you randomly selected 50 of the
  questionnaires returned
• by the collection of CEOs. Use the normal
  approximation to the binomial
• distribution to find the probability that from
  within your collection
• i. More than 35 of the CEOs think that
  corporations should have a
• fast-track program installed.
• ii. Fewer that 25 of the companies have a
  fast-track program in
• operation.
• iii.Between 30 to 40 of the CEOs think
  that corporations should have
• a fast-track program installed.
• iv.Between 20 to 30 of the companies have
  a fast-track program in
• operation.

57
Fikir dan buat 6

• Berdasarkan pengalaman lepas 5 daripada tempahan
  tiket
• kapalterbang yang dibuat melalui telefon tidak
  dituntut. 20
• tempahan tiket kapalterbang dipilih secara rawak.
  Hitungkan
• kebarangkalian bahawa
• 5 orang penumpang tidak menuntut tiket yang
  ditempahnya.
• Kurang daripada 4 orang penumpang tidak menuntut
  tiket yang ditempahnya.
• Tidak kurang daripada 3 orang penumpang tidak
  menuntut tiket yang ditempahnya.
• Sekiranya sebuah agensi pelancongan menerima 300
  tempahan,
• dengan menggunakan penghampiran normal, berapakah
  
• kebarangkalian bahawa
• Sekurang-kurangnya 5 orang penumpang tidak
  menuntut tiket yang ditempahnya.
• 3 hingga 8 orang penumpang tidak menuntut tiket
  yang ditempahnya.