Constraints and Logic Programming

1
Constraints and Logic Programming

• All problems involving finite domains (including
  booleans, and sets) may be solved, in principle,
  with logic programming (LP) alone.
• (after all, finite domains are a subset of the
  Herbrand Universe constants).
• Why should one move towards Constraint
  Programming (CP), rather than staying within LP?
• Greater Efficiency
• Most combinatorial problems are more easily
  solved by constraint propagation than simple
  generate and test implememted in LP.
• Greater Expressiveness
• Specific constraints are harder to express in LP
  (e.g. conditional constraints, global
  constraints).

2
Constraints and Logic Programming

• If propagation of constraints is so important for
  solving constraint (satisfaction / optimisation)
  problems why not to abandon LP altogether and
  move towards Constraint Logic Programming (CLP).
• Modelling - Declarativeness
• LP features such as unification (allowing
  flexible input/output parameters) and
  backtracking provide a declarative style of
  programming where constraints can be very easily
  expressed.
• Natural extension
• The semantics of LP already assume a special type
  of constraint processing equality of Herbrand
  terms.
• All that CLP requires is an extension of this
  constraint solving capabilities to other useful
  domains.

3
Operational Semantics of CLP

• The operational semantics of CLP (LP is a special
  case) can be described as a transition system on
  states.
• The state of a constraint solving system can be
  abstracted by a tuple
• ltG, C, S gt
• where
• G is a set of constraints (goals) to solve
• C is the set of active constraints
• S is a set of passive constraints
• Sets C, S are considered the Constraint Store.
• A derivation is just a sequence of transitions.
• A state that cannot be rewritten is a final
  state.
• An executor of CLP (LP) aims at finding
  successful final states of derivations starting
  with a query.

4
Operational Semantics of CLP

• A derivation is failed if it is finite and its
  final state is fail.
• A derivation is successful if it is finite and
  processes all the constraints, i.e. it ends in a
  state with form
• ltØ, C, S gt
• The state transitions are the following
• S(elect) Select a goal (constraint)
• It is assumed that
• A computation rule selects some goal g, among
  those still to be considered.
• This goal requires some constraint c to be solved
  and/or further goals, G, to be considered

5
Operational Semantics of CLP

• The other transition rules require the existence
  of two functions, infer(C,S) and consistent(C),
  adequate to the domains that are considered.
• I(nfer) Process a constraint, inferring its
  consequences
• C(heck) Check teh consistency of the Store

6
Operational Semantics of CLP

• In Logic Programming
• Handling a goal g is simply checking whether
  there is a clause h ? B whose head h matches the
  goal. In this case, the equality constraint
  between Herbrand terms gh is added to the
  passive store.
• Function infer(C,S) performs unification of the
  terms included in g and h, after applying all
  substitutions included in C
• function infer(C, gh)
• if unify(g?C,h?C, C) then infer(success, C)
• else infer (fail,_)
• end function
• Checking consistency is simply checking whether
  the previous unification has returned success or
  failure (in practice the two functions are of
  course merged).

7
Operational Semantics of CLP

• For example, assuming that
• C X / f(Z), Y / g(Z,W) a solved form
• G includes goal p(Z,W)
• there is a clause p(a,b) - B.
• then the following transitions take place, when
  goal p(Z,W) is called
• lt G , X/f(Z), Y/g(Z,W), gt
• ?s goal selection
• lt G\g?B, X/f(Z), Y/g(Z,W), p(Z,W)
  p(a,b) gt
• ?i,c unification
• lt G\g?B, X/f(a), Y/g(a,b), Z/a, W/b, gt

8
Operational Semantics of CLP

• In Constraint Logic Programming
• Handling a goal g is as before. Handling a
  constraint in a certain domain, usually built-in,
  simply places the constraint in set S.
• .
• Function infer(C,S) propagates the constraint to
  the active store, by methods that depend on the
  constraint system used. Tipically,
• It attempts to reduce the values in the domains
  of the variables or
• obtain a new solved form (like in unification)
• Checking consistency also depends on the
  constraint system.
• It checks whether a domain has become empty or
• It was not possible to obtain a solved form.

9
Operational Semantics of CLP

• A positive example
• Assuming that variables A and B can take values
  in 1..3, then the constraint store may be
  represented as
• C,S A in 1..3, B in 1..3,
• Rule S If the constraint selected by rule S is A
  gt B, then the store becomes
• C,S A in 1..3, B in 1..3, A gt B
• Rule I The Infer rule propagates this constraint
  to the active store, which becomes
• C,S A in 2..3, B in 1..2, A gt B,
• Rule C The system does not find any inconsitency
  in the active store, so the system does not
  change..

10
Operational Semantics of CLP

• A negative example
• Assuming that variables A and B can take,
  respectively values in the sets 1,3,5 and
  2,4,6. The constraint store may be represented
  as
• C,S A in 1,3,5 B in 2,4,6,
• Rule S If the constraint selected by rule S is A
  B, the store becomes
• C,S A in 1,3,5 B in 2,4,6 , A B
• Rule I The rule propagates this constraint to
  the active store. Since no values are common to A
  and B, their domains become empty
• C,S A in , B in ,
• Rule C This rule finds the empty domains and
  makes the transition to fail (signaling the
  system to backtrack in order to find alternative
  successful derivations).

11
(C)LP solutions

• In LP and CLP, solutions are obtained, by
  inspecting the constraint store of the final
  state of a successful derivation.
• In systems that maintain a solved form, (like LP,
  but also constraint systems CLP(B) for booleans,
  and CLP(Q), for rationals), solutions are
  obtained by projection of the store to the
  relevant variables.
• For example if the initial goal was p(X,Y) and
  the final store is
• X/f(Z,a), Y/g(a,b), W/c
• then the solution is the projection to variables
  X and Y
• X/f(Z,a), Y/g(a,b), W/c
• In systems where a solved form is not
  maintained, solutions require some form of
  enumeration. For example, from
• C X in 2..3, Y in 1..2, X gt Y,
• the solutions ltX2Y1gt, ltX3Y1gt and
  ltX3Y1gt, are obtained by enumeration.

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Restrições Booleanas

• O domínio dos Booleanos (ou variáveis 0/1) tem
  especial aplicação em aplicações
• Envolvendo circuitos digitais
• Exemplo Circuito semi-somador
• Em problemas envolvendo escolhas binárias
• Exemplo Rainhas
• Em problemas que envolvam conjuntos

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Restrições Booleanas

• Nas restrições booleanas (de igualdade) podem ser
  utilizadas os habituais operadores (not, and,
  or, nand, nor, xor, ...).
• Modelo do semi-somador
• C and(A,B)
• S xor(A,B)

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Restrições Booleanas

• As restrições (correspondentes às variáveis
  Booleanas) podem ser igualmente expressas com
  esses operadores
• Modelo das 4-rainhas
• or(Q1, Q2, Q3, Q4) Linha 1
• and(Q1,Q2) 0 Linha 1
• ....
• and(Q1, Q6) 0 Diagonal

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Restrições Booleanas

• A satisfação de restrições booleanas pode ser
  abordada de várias formas diferentes
• Simbolicamente
• Unificação booleana
• SAT
• Colocação de todas as restrições na forma clausal
• Resolução construtiva (retrocesso) ou reparativa
  (pesquisa local)
• Domínios finitos
• O domínio 0/1 é um domínio finito com 2 valores
• Resolução comum aos domínios finitos

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Restrições Booleanas

• Para verificar a satisfação de restrições
  booleanas de uma forma simbólica é conveniente
  converter todas as restrições de forma a usar
  apenas,
• os operadores
• (ou-exclusivo) e (conjunção),
• constantes booleanas
• 0 e 1 ( e outras constantes, dependentes do
  domínio)
• variáveis
• denotadas por letras maiúsculas
• Isto é sempre possível, já que o conjunto 0, 1,
  , é completo.

17
Restrições Booleanas

• Com efeito, dados os termos arbitrários a e b,
  todos os operadores e constantes podem ser
  expressos através destes operadores
• a ? b a b
• a ? b a b a b
• ? a 1 a
• a ? b 1 a a b
• a ? b 1 a b
• Termos arbitrários serão denotados por minúsculas

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Restrições Booleanas

• Mais formalmente, o tuplo lt A, 0, 1, , gt, em
  que A é um qualquer domínio (contendo os
  elementos 0 e 1), constitui um anel booleano se
  se verificarem as seguintes propriedades
• Associatividade
• a(bc) (ab)c a(bc) (ab)c
• Comutatividade
• a b b a ab ba
• Distribuição
• a(bc) (ab)(ac) a(bc) abac
• Elemento Neutro
• a0 a a1 a
• Exclusividade e Idempotência
• aa 0 aa a
• Elemento Absorvente
• a0 0

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Restrições Booleanas

• As restrições booleanas que consideraremos
  resumem-se à igualdade, já que todas as outras se
  podem exprimir em função da igualdade.
• Por exemplo, dada a equivalência
• a ? b ? a ? b a ? a ? b b
• a restrição de inclusão de conjuntos acima pode
  ser reescrita em termos de igualdade como
• a b ab b
• ? a b b ab b b
• ? a ab 0
• ? ab a

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Restrições Booleanas

• Conjuntos
• A constante 1 corresponde ao conjunto U
  (Universal)
• A constante 0 corresponde ao conjunto Ø (Vazio)
• O operador corresponde à União Exclusiva
• O operador corresponde à Intersecção
• De notar que no caso de conjuntos, uma vez
  definido os elementos que contém o conjunto
  universal, para além das constantes 0 e 1, o
  domínio A contém todos os subconjuntos de U.

21
Restrições Booleanas

• Circuitos digitais
• A constante 1 corresponde ao H
• A constante 0 corresponde ao L
• O operador corresponde ao XOR
• O operador corresponde ao AND

• E A B AB
• F 1 BC
• G CD
• H 1 EF
• I 1 FG

22
Unificação Booleana

• A implementação de CLP(B) mantem as restrições
  numa forma resolvida, obtida através da
  unificação booleana.
• Uma restrição booleana tem a forma t1 t2 (em
  que os dois termos Booleanos, t1 e t2 são
  formados exclusivamente a partir dos operadores
  e .
• A restrição booleana t1 t2 pode ser satisfeita
  sse existir um unificador booleano para os dois
  termos t1 e t2.
• Um unificador booleano é uma substituição de
  variáveis por termos booleanos que garante que os
  dois termos tomam o mesmo valor booleano.
• Os unificadores booleanos serão designados
  através de letras gregas.

23
Unificação Booleana

•  
• Exemplo Os termos t11A e t2 AB podem ser
  unificados com o unificador
• ? A/1, B/0
• Com efeito, denotando por t?? (ou simplesmente
  t?) a aplicação da substituição ? ao termo t,
  temos
• t1?? (1A)?A/1, B/0 1 1 0
• t2?? (AB)?A/1, B/0 1 0 0
• o que garante a satisfação da restrição de
  igualdade t1 t2.

24
Unificação Booleana

• Em geral, dados dois termos Booleanos, t1 e t2,
  pode haver mais do que um unificador mais geral.
• Exemplo A unificação dos termos t1 1 AB e
  t2 C D pode ser obtida por qualquer um dos
  seguintes unificadores mais gerais
• ?1 C / 1 AB D
• ?2 D / 1 AB C
• ?3 A / 1 C D, B / 1
• ?4 A / 1, B / 1 C D
• Com efeito,
• t1? ?1 (1AB)?C/1ABD 1AB
• t2? ?1 (CD)?C/1ABD(1ABD)D 1AB
• e
• t1? ?2 (1AB)?D/1ABC 1AB
• t2? ?2 (CD)?D/1ABC C(1ABC) 1AB

25
Unificação Booleana

• Existem outros unificadores (menos gerais) que
  podem ser obtidos através de instâncias dos
  anteriores, isto é, da composição de unificadores
  mais gerais com outras substituições.
• Por exemplo, a substituição ? obtida pela
  composição de ?1 com a substituição A/0
• ? C/1ABD o A / 0
• C/1D, A/0
• ainda é um unificador dos termos t11AB e
  t2CD
• t1 ? ? (1AB) ? C/1D, A/0 10B 1
• t2 ? ? (CD) ? C/1D, A/0 (1DD) 1

26
Algoritmo de Unificação Booleana

• Tendo em atenção que a restrição t1 t2 é
  equivalente a t1t20, a unificação dos termos t1
  e t2 equivale a anular o termo t1t2.
• As condições em que um termo t se pode anular,
  podem ser analisadas através dos pontos
  seguintes.
• O anulamento de um termo constante t é
  trivialmente verificável
• se t 0 o termo já é nulo
• se t 1 o termo não é anulável.
• Dada a propriedade distributiva, um termo t, não
  constante, pode sempre ser reescrito na forma
  aUb (em que U é uma qualquer das variáveis que
  ocorrem em t) pondo U em evidência.

27
Algoritmo de Unificação Booleana

• 3. Um termo t aU b só se pode anular, se
  tivermos ou a 1 ou b 0 (na situação
  contrária, em que fosse a 0 e b 1, teríamos
  t 1 ? 0, independentemente do valor de U).
• 4. Essa condição (a 1 ou b 0) é garantida se
  e só se anular o termo (1 a)b.
• 5. Uma vez garantida esta condição, constata-se
  que
• se a 0 (e b 0), então a variável U pode tomar
  um valor arbitrário (pois 0 0U 0)
• se a 1, então a variável U tem de tomar o valor
  b (pois neste caso temos 0 1U b)

28
Algoritmo de Unificação Booleana

• A atribuição de valores a U nestes termos pode
  ser implementada com o recurso a uma nova
  variável booleana, (isto é, que não ocorra em t).
  Chamando _U a essa variável a condição anterior é
  equivalente à substituição
• U (1a)_U b
• Com efeito,
• se a 0 (e b 0 ) temos U _U, ou seja U pode
  tomar um valor arbitrário, já que a variável _U,
  sendo uma variável nova, não está associada a
  quaisquer restrições
• Se a 1 temos U (11)_U b, ou seja U b,
  como pretendido.

29
Algoritmo de Unificação Booleana

• Estas considerações podem ser materializadas no
  predicado unif_bool, especificado abaixo.
• O predicado recebe os termos t1 e t2 a unificar,
  e sucede se o predicado anula suceder, retornando
  a substituição ? retornada por este predicado.
• predicado unif_bool(in t1, t2 out ?)
• t ? t1 t2
• unif_bool ? anula(t,?)
• fim predicado.
• Passemos agora à implementação do predicado anula.

30
Algoritmo de Unificação Booleana

• predicado anula (in t out ?)
• caso t 0 anula Verdade, ?
• caso t 1 anula Falso
• caso contrário
• Au B ? t
• s ? (1A)B
• se anula(s,s) então
• anula ? Verdade
• ? ? U/(1A)_UB o s
• senão
• anula Falso
• fim se
• fim caso
• fim predicado.

31
Algoritmo de Unificação Booleana

• ? ? U/(1A)_UB o s
• De notar que a substituição ? retornada pelo
  predicado anula é obtida pela composição das
  substituições U/(1A)UB e s obtida na chamada
  recursiva do predicado (se este suceder).
• Exemplo Satisfazer a restrição X XZ YZ 1
•  
• Unifica XXZ e YZ1
• anula XXZYZ1
• (1Z)XYZ1 AxXBx
• anula (1(1Z))(YZ1) (1Ax)Bx
• Z(YZ1)
• ZYZ AyXBy
• anula (1Z)Z (1Ay)By
• 0

32
Algoritmo de Unificação Booleana

• Unifica XXZ e YZ1
• anula XXZYZ1 (1Z)XYZ1
• anula (1(1Z))(YZ1)ZYZ (1Ax)Bx
• anula (1Z)Z 0 (1Ay)By
• sz
• sy Y/(1Ay)_YBy o sz
• Y/(1Z) _YZ o
• Y/(1Z) _YZ
• sx X/(1Ax)_YBx o sy
• X/(11Z)_X YZ1 o Y/(1Z)_YZ
• X/ Z_X YZ1 o Y/(1Z)_YZ
• X/ Z_X ((1Z)_YZ)Z1, Y/(1Z)_YZ
• X/ Z_X Z1, Y/(1Z)_YZ
• ? X/ Z_X Z1, Y/(1Z)_YZ

33
Restrições Booleanas

• Desta forma a restrição XXZ YZ1 é
  satisfazível, já que a unificação dos termos
  XXZ e YZ1 sucede retornando o unificador
  booleano mais geral
• ? X/Z_X Z1, Y/(1Z)_YZ
• Podemos confirmar este resultado, verificando que
  
• (XXZ)? ? (Z_XZ1)(Z_XZ1)Z
• (Z_XZ1)Z_X
• Z1
• e que
• (YZ1)? ? ((1Z)_YZ)Z1)
• Z1

34
Restrições Booleanas

• ? X/Z_X Z1, Y/(1Z)_YZ
• Podemos pois concluir que a restrição X XZ
  YZ 1 pode ser satisfeita independentemente do
  valor da variável Z, dado que o unificador mais
  geral ? não a menciona)
• Numa análise mais pormenorizada
• se Z0 então X 1 e Y _Y (i.e. Y pode tomar
  qualquer valor)
• se Z1 então X _X e Y 1 (i.e. X pode tomar
  qualquer valor)
• O unificador ? tem pois como instâncias fechadas
  (ground), os unificadores
• X/1, Y/0, Z/0,
• X/1, Y/1, Z/0,
• X/0, Y/1, Z/1,
• X/1, Y/1, Z/1,

35
Aplicações

• Um domínio de eleição para a utilização de
  restrições booleanas é o domínio dos circuitos
  digitais.
• Exemplo
• Modelar o circuito abaixo através de um conjunto
  de restrições booleanas
• Verificar em que condições a saída toma o valor
  1.

R1 C 1 AB R2 D 1 AC R3 E 1
BC R4 F 1 DE
36
Aplicações

• 1. Restrições que modelam o circuito
• R1 C 1 AB R2 D 1 AC
• R3 E 1 BC R4 F 1 DE
• Resolução das Restrições
• R1 Resolvendo R1 obtemos a substituição ?1
• C 1 AB ?1 C / 1 AB
• R2 Aplicando ?1 temos
• R2 R2 ? ?1 D (1AC)?C/1AB
• D (1A(1AB))
• D 1 A AB
• Resolvendo esta restrição obtemos a substituição
  
• ?2 D / 1 A AB

37
Aplicações

• Compondo ?2 com ?1 obtemos
• ?2 ?1 o ?2
• C/1AB o D/1AAB
• C/1AB, D/1AAB
• R3 Aplicando ?2 temos
• R3 R3 ? ?2 E (1BC)? D/1AAB,
  C/1AB
• E 1B(1AB)
• E 1B(1AB)
• Resolvendo R3 obtemos a substituição
• ?3 E/1BAB
• Compondo ?3 com ?2 obtemos
• ?3 ?2 o ?3
• E/1BAB o D/1AAB o C/1AB
• E/1BAB, D/1AAB, C/1AB

38
Aplicações

• R4 Aplicando ?3 temos
• R4 R4? ?3
• F (1DE)? E/1BAB, D/1AAB,
  C/1AB
• F 1(1AAB)(1BAB)
• F 11BABAABABABABAB
• F A B
• Resolvendo R4 obtemos a substituição
• ?4 F/AB
• Combinando ?4 com ?3 obtemos
• ?4 ?3 o ?4
• E/1BAB, D/1AAB, C/1ABoF/AB
• E/1BAB, D/1AAB, C/1AB, F/AB
• Interpretando ?4 concluímos que o circuito com 4
  portas nand implementa um ou-exclusivo, já que F
  / A B.

39
Aplicações

• 2. Que entradas impõe a saída igual a 1
• Para representar esta situação acrescenta-se a
  restrição R5 F 1.
• R5 Aplicando ?4 temos
• R5 R5 ? ?4
• (F 1)? E/1BAB, D/1AAB, C/1AB,
  F/AB
• AB 1
• Resolvendo R5 obtem-se a substituição ?5
  A/1B. Compondo esta substituição ?5 com ?4
  obtem-se
• ?5 ?4 o ?5
• E/1BAB, D/1AAB, C/1AB,
  F/ABoA/1B
• E/1B, D/B, C/1, F/1, A/1B
• De ?5, e em particular do par A/1B, conclui-se
  que para o circuito ter uma saída 1, as suas
  entradas devem ser complementares, i.e. ou A0 e
  B1 ou A0 e B1

40
Restrições Booleanas no SICStus Prolog

• Uma vez carregado o SICStus Prolog o módulo de
  Restrições Booleanas, através da directiva
•  - use_module(library(clpb)).
• As restrições Booleanas podem ser verificadas
  através do predicado sat(E) , em que a igualdade
  é representada por e os operadores e
  através de e , respectivamente.
•  Exemplos
•  1. ?- sat(ABF).
• sat(ABF)?
• A restrição ABF é satisfazível, com a
  substituição A/BF

41
Restrições Booleanas no SICStus Prolog

• 2. ?- sat(AB1CD).
  sat(A\CDB)?  
• A restrição AB1CD é satisfazível, com
  substituição A/1CDB
• 3. ?- sat(AB1CD), sat(CDB).
• sat(BCD),
• sat(A\CDCD) ?
• As restrições AB1CD e BCD são satisfeitas
  com a substituição A/1CDCD, B/CD 
•  
• Nota Atenção à notação das respostas.
• A Exp corresponde a A / Exp
• A\ Exp corresponde a A / 1 Exp

42
Restrições Booleanas no SICStus Prolog

• Um exemplo mais completo, relativo ao circuito
  anterior
• - use_module(library(clpb)).
• nand_gate(X,Y,Z)-
• sat(XY 1Z).
• circuit(A,B,C,D,E,F)-
• nand_gate(A,B,C),
• nand_gate(A,C,D),
• nand_gate(B,C,E),
• nand_gate(D,E,F).

43
Restrições Booleanas no SICStus Prolog

• Alguma interacção com o sistema
• ?- circuit(A,B,C,D,E,1).
• C 1,
• E A,
• sat(B\A),
• sat(D\A) ?
• Comparando-se esta resposta com ?5 anterior
• ?5 E/1B, D/B, C/1, F/1, A/1B
• constata-se que são ambas variantes do
  unificador mais geral.

44
Restrições Booleanas no SICStus Prolog

• Outra interacção
• ?- circuit(A,B,C,D,E,F).
• sat(C_AFF_A),
• sat(A\_AF_BFF_A),
• sat(B\_AF_BF_A),
• sat(D\_BF),
• sat(E\_BFF) ?
• A comparação com ?4 anterior é um pouco menos
  óbvia ...
• ?4 E/1BAB, D/1AAB, C/1AB, F/AB
• 1AB 1 (1_AF_BFF_A) (1_AF_BF_A)
• 1((1_AF_BF_A)F)(1_AF_BF_A)
• 1(1_AF_BF_A)(1_AF_BF_A)F
• 1 1_AF_BF_A F_AF_BF_AF
• F_A_AF
• C

45
Restrições Booleanas no SICStus Prolog

• Padrões de Teste de Avarias (Stuck-at-0/1) num
  semi-somador
• Objectivo Obter uma saída diferente entre
• o circuito correcto e
• o circuito com falhas
• Definir um predicado tp/2 que dado um conjunto de
  falhas F indique as entradas que detectam essas
  falhas
• tp(F, I1, I2)

46
Restrições Booleanas no SICStus Prolog

• Primeiro, convem definir o comportamento de cada
  gate (sem falhas) por intermédio das
  correspondentes restrições booleanas.
• Uma gate sem falhas é representada por 3
  argumentos
• 1. Tipo da gate Número de identificação da gate
  no circuito
• 2. Lista de
• 3. Saída
• gate(or, I1,I2,Z)-
• sat(I1I2 Z).
• gate(nor, I1,I2,Z)-
• sat(I1I2 \ Z).
• gate(xor, I1,I2,Z)-
• sat(I1I2 Z).
• gate(and, I1,I2,Z)-
• sat(I1I2 Z).
• gate(nand,I1,I2,Z)-
• sat(I1I2 \ Z).
• gate(not,I1,Z)-
• sat(I1 \ Z).

47
Restrições Booleanas no SICStus Prolog

• Em segundo lugar, é necessário especificar o
  comportamento de uma gate, incluindo o caso em
  que ela esteja avariada. Uma gate é representada
  por 5 argumentos
• 1. Número de identificação da gate no circuito
• 2. Lista de falhas no circuito. Cada falha é
  representada por um par N/B em que N é o
  identificador da gate e B o tipo de falha
  (stuck-at-0 ou stuck-at-1).
• 3. Tipo da gate
• 4. Lista de entradas da gate
• 5. Saída da gate
• gate(N,F,_,_,0)- a saída é 0, se
• member(N/0, F), !. a gate está stuck-at-0
  
• gate(N,F,_,_,1)- a saída é 1,
  se
• member(N/1, F), !. a gate está stuck-at-1
  
• gate(_,_,T,I,S)- caso contrário, a gate
• gate(T,I,S). tem comportamento
  normal

48
Restrições Booleanas no SICStus Prolog

• Em terceiro lugar, há que definir o que é um
  circuito Semi-somador em termos das suas
  componentes, que podem naturalmente estar
  avariadas.
• semi_somador(F, I1,I2,S,C)- F é o
  conjunto
• gate(1, F, and, I1,I2, C), de falhas
• gate(2, F, xor, I1,I2, S).
• O predicado member/2 é o habitual.
• member(H,H_).
• member(H,_T)-
• member(H,T).

49
Restrições Booleanas no SICStus Prolog

• Finalmente, há que comparar um circuito com
  falhas F e um circuito sem falhas, de forma a que
  uma das saídas, pelo menos, seja diferente.
• tp(F, I1, I2)-
• semi_somador(,I1, I2, S1,C1),
• semi_somador(F, I1, I2, S2,C2),
• gate(xor, S1, S2, S),
• gate(xor, C1, C2, C),
• gate(or,S,C,1).

50
Restrições Booleanas no SICStus Prolog

• Alguma interacção com o sistema
• ?- tp(1/0,I1,I2).
• I1 1,I2 1 ? no
• A avaria G1 (and) stuck-at-0, é detectada se
  ambas as entradas forem 1
• ?- tp(1/1,I1,I2).
• sat(I1_AI2_A) ? no
• A avaria G1 (and) stuck-at-1, é detectada se
  uma das entradas for 0.
• . (I2 1 ? I1 0).
• ?- tp(2/0,I1,I2).
• sat(I1\I2) ? no
• A avaria G2 (xor) stuck-at-0, é detectada se as
  entradas forem diferentes.
• ?- tp(2/1,I1,I2).
• I2 I1 ? no
• A avaria G2 (xor) stuck-at-1, é detectada se as
  entradas forem iguais.

51
Restrições Booleanas no SICStus Prolog

• N Rainhas
• Para modelar o problemas das rainhas há que
  garantir que
• Em todas as linhas há exactamente uma rainha
• Em todas as linhas há uma ou mais rainhas
• Em todas as linhas há uma ou menos rainhas
• Em todas as colunas há exactamente uma rainha
• Em todas as colunas há uma ou mais rainhas
• Em todas as colunas há uma ou menos rainhas
• Em todas as diagonais há uma ou menos rainhas

52
Restrições Booleanas no SICStus Prolog

• Eis uma possível solução
• rainhas_3(Q1, Q2, Q3,
• Q4, Q5, Q6,
• Q7, Q8, Q9)-
• um_ou_mais( Q1, Q2, Q3), linha 1
• um_ou_menos(Q1, Q2, Q3),
• ...
• um_ou_mais( Q1, Q4, Q7), coluna 1
• um_ou_menos(Q1, Q4, Q7),
• ...
• um_ou_menos(Q2,Q6),
• um_ou_menos(Q1, Q5, Q9), diagonais \
• um_ou_menos(Q4,Q8),
• um_ou_menos(Q2,Q4),
• um_ou_menos(Q3, Q5, Q7), diagonais /
• um_ou_menos(Q6,Q8).

53
Restrições Booleanas no SICStus Prolog

• Uma ou mais rainhas
• um_ou_mais(L)- L A,B,C,...,Z
• or_exp(L, Exp), Exp ABC...Z
• sat(Exp 1). ABC...Z 1
• or_exp(H, H).
• or_exp(HT, H T_exp)-
• or_exp(T, T_exp).
• Uma ou menos rainhas
• um_ou_menos(_).
• um_ou_menos(H1,H2T)-
• sat(H1 H2 0), A1A2 0
• um_ou_menos(H1T), idem para outros pares
  com A1
• um_ou_menos(H2T). idem para outros pares
  sem A1