Class p1c1:

1
EE7780 Array Signal Processing

• Class p1c1
• Introducción del curso.
• Entrega prontuarios, reglas de clase, proyectos y
  exámenes.
• Primera clase Introducción a ASP, definiciones y
  términos.
• Problemas para la primera semana.

1
2
Introducción

• Entrega prontuarios, reglas de clase, exámenes,
  asignaciones y proyectos.
• Clase p1c1
• Introducción a ASP, definiciones y términos.
• Problemas para la primera semana.

2
3

• Profesor Dr. Luis M. Vicente
• Oficina DSP Lab L 308B (dentro del laboratório
  de DSP)
• Horas de oficina 300 630 PM (lunes)
• Teléfono 787 622 8000 - ext 340 Fax 787 760
  7815
• Correo electrónico lvicente_at_pupr.edu
• Internet http//www.lmvicente.com
• Prerequisitos
• Hablar con el coordinador.
• Libros de Texto
• Dr. Vicente Thesis.
• H. L. Van Trees, Optimum Array Processing Part
  IV of Detection, Estimation and Modulation
  Theory. New York, NY Wiley, 2002.

3
4

• Referencias bibliográficas
• D. G. Manolakis, V. K. Ingle, and S. M. Kogon,
  Statistical and Adaptive Signal Processing.
  Boston, MA McGraw-Hill, 2000.
• J. Li and P. Stoica, Robust Adaptive Beamforming.
  Hoboken, NJ Wiley, 2006.
• B. Widrow and S. D. Stearns Adaptive signal
  processing, Englewood Cli?s, NJ Prentice-Hall,
  1985.

4
5

• Formato de examen Take home.
• Examen 1 25
• Examen 2 25
• Problemas semanales 50 (se darán varios
  problemas cada semana que de deben entregar el
  lunes de la siguiente semana).
• Asistencia virtual 10 (penalización). El
  estudiante deberá confirmar por e-mail cada
  semana que ha estudiado las notas y el vídeo
  antes del viernes para así poder completar los
  problemas semanales. Si no se recibe un e-mail
  del estudiante antes del jueves 1159pm se
  apuntará una falta de asisténcia. A las 2 faltas
  de asistencia el estudiante perderá un 10 de la
  nota final.

5
6

• Reglas del curso
• Para enviar notificaciones necesito un e-mail con
  una dirección que incluya de algún modo su nombre
  y apellido (por ejemplo nightrider_at_hotmail.com no
  es muy recomendable).
• Los mensajes deberán titularse (subject) EE7780
  nombre apellido (motivo del e-mail). Así
  evitaremos confusiones innecesarias.
• El estudiante debe estudiar las notas de clase y
  los videos de clase cada semana ántes del
  viernes, deberá enviar un e-mail al profesor
  confirmandolo para que el profesor le apunte la
  asistencia virtual.
• El estudiante debe hacer los problemas de la
  semana y entregarlos antes o el lunes de la
  siguiente semana. No se admitirán trabajos
  despues de las 1159pm los lunes.
• Las fechas oficiales serán expuestas en el
  calendario del curso de la página web y en
  Blackboard (BB).
• Los exámenes serán para hacer en casa. Sigan el
  código de honor.
• El estudiante es responsable de leer todos los
  anuncios expuestos en BB, por favor activen su
  cuenta en BB Enterprise.

6
7

• Objetivos Los estudiantes deben familiarizarse
  con los siguientes temas
• Descripción de un sistema general de Array
  Processing.
• Diseño de linear, planar, circular y arrays
  esféricos. Técnicas de beamformers
  determinísticos y estadísticos.
• Direction of arrival estimación (DOA).
• Programación de software con Matlab.
• Temas
• Propagación de señales en espacio y tiempo,
  campos cercanos y lejanos (near and far field).
• Geometría de arrays.
• Narrowband/Broadband beamforming.
• Element space and beamspace beamformers.
• Statistical beamformers.
• Partial adaptive beamforming.
• Robust beamforming y (DOA).

7
8
Introducción ASP

• Introducción a ASP, definiciones y términos.
• Problemas para la primera semana.
• Nomenclatura
• a número escalar.
• a vector de dimensiones (Kx1)
• A matriz de dimensiones (MxN)

8
9
Introducción ASP

• Coordenadas cartesianas y esféricas en 3-D.

9
10
Introducción ASP

• Coordenadas esféricas en 3-D. definiciones
• El ángulo sobre el plano x-y se llama ángulo de
  azimuth fp.
• El ángulo de altura, que es medido desde el eje
  z se llama ángulo polar, de elevación o de
  altura qp.
• Cualquier punto en el eje x-y tiene un ángulo
  polar de qp/2
• El eje x tiene como ángulos qp/2 y f0.

10
11
Introducción ASP

• Relación coordenadas cartesianas y esféricas en
  3-D.

11
12
Introducción ASP

• Ecuacion de onda y solución
• El campo medido en un punto p al instante t es
• Ecuación de onda que se transmite en un medio
  isotrópico a una velocidad c
• Solución a señal monocromática o narrow-band de
  frecuencia angular w

12
13
Introducción ASP

• Definiciones para comprender
• Wavenumber vector
• vector DOA o dirección de la onda
• A(t) es la amplitud compleja cuya variación es
  lenta con respecto a la frecuencia angular de la
  onda w. En unos casos es la amplitud de la señal
  interés (SOI) y en otros la amplitud de la
  interferencia que debemos eliminar. Esto depende
  de la dirección de procedencia de la onda a.

13
14
Introducción ASP

• Campos cercanos y lejanos (near y far field)
• Una onda medida no muy lejos de la fuente de
  energía se dice que se mide en campo cercano. En
  ese caso A(t) es diferente en cada sensor, debido
  a que se produce atenuación de la onda entre
  sensores.
• Una onda medida lejos de la fuente de energía se
  dice que se mide en campo lejano. A(t) es
  considerada constante en cada sensor, ya que la
  atenuación de la onda entre sensores es
  despreciable.
• En antenas campo lejano se produce a distancias
  mayores que 2l.
• Otra definicion indica que far field se produce a
  distancias mayores que 2D2/l. Donde D es la
  apertura (dimensión máxima) del array o antena.

14
15
Introducción ASP

• El campo medido en un sensor se puede escribir
  como
• En este caso kw/c es la magnitud del wavenumber.
• Los dos primeros factores son independientes de
  la posición del sensor.

15
16
Introducción ASP

• El campo medido en K sensores se puede agrupar en
  un vector de dimensiones (Kx1)
• El término A(t)ejwt se denomina s(t).
• El ultimo termino se agrupa en el steering
  vector

16
17
Introducción ASP

• El steering vector es uno de los conceptos más
  importantes en array processing. Cada señal que
  viene de diferente dirección tiene un steering
  vector diferente.
• En array processing habrá una señal de interés
  SOI con DOA a0 y con un steering vector s0. El
  campo medido en el array es

17
18
Introducción ASP

• En general puede haber l interferencias que
  provienen de las direcciones al y con steering
  vectors il. El campo debido a cada interferencia
  es

18
19
Introducción ASP

• Aparte de SOI e interferencias, hay siempre ruido
  uncorrelado o termal en cada sensor. El ruido en
  todos los sensores se agrupa en un vector de
  ruido n(t) donde para cada t las amplitudes de n
  son random variables.
• La señal que llega al array está compuesta de
  SOI, interferencias y ruido. La expresión general
  es
• Esta expresión es general. La geometría del array
  está implicita en las expresiones de los steering
  vectors. Cada array tiene diferentes expresiones
  de steering vectors.

19
20
Introducción ASP

• El objetivo de array signal processing es obtener
  la información de la SOI que está en s(t). Para
  ello se aplica un vector de pesos v a la señal de
  entrada, obteniendo la salida del beamformer.
• donde el vector de pesos es
• La expresión equivalente sin usar vectores es

20
21
Introducción ASP

• La salida del beamformer se puede descomponer en
  la salida de la SOI, las interferencias y el
  ruido
• zs(t)s(t)vHs0
• .
• zn(t)vH n(t)
• El objetivo es eliminar la interferencia y el
  ruido y obtener z(t)s(t)
• Para ello se deben satisfacer tres condiciones
• zs(t) s(t)vHs0s(t), o lo que es lo mismo
  vHs01.
• 0 zi(t)
• 0 zn(t)

21
22
Introducción ASP

• La primera condición es denominada Unity Gain SOI
  response. Se puede observar que hay infinitas
  posibilidades de valores de v que logran esta
  condición, ya que hay una ecuación y K incógnitas
  (los K valores de v).
• La segunda condición se satisface cuando los
  vectores v y il son ortogonales. Nótese que la
  operación vH il es un producto interno de
  vectores, y es cero cuando son ortogonales.
  Nótese que esta condición no depende de la
  amplitud de la interferencia, solamente de su
  steering vector.

22
23
Introducción ASP

• La tercera condición no se cumple en general, ya
  que n(t) es un vector de valores aleatorios en
  cada t por tanto para un determinado v puede que
  se cumpla en un instante t1 pero no al siguiente
  instante t2. Lo único que se puede hacer es
  encontrar la solución para v que minimize la
  varianza o potencia del ruido a la salida del
  beamformer.

23
24
Problema1 semana 1

• Implementar un programa de Matlab para generar
  una señal monocromática o narrow-band de
  frecuencia fbin3kHz. donde la amplitud es una
  señal senoidal de frecuencia fA(t)300Hz con un
  DC offset de 1V. La señal debe tener 50msec de
  duración.
• Debido a que en las computadoras no se pueden
  generar señales analógicas, vamos a generar una
  señal digital con periodo de muestreo/sampling de
  fs44.1kHz.
• Se adjunta un ejemplo con otros valores de
  frecuencias, etc. Usted debe modificar los
  valores en el código para satisfacer los
  requisitos del problema y añadir comentarios.
• Crear una función stfCreateNBSig(fs,Tlength,fAt
  ,fbin)

24
25
Problema 1 semana 1

• Código ejemplo

25
26
Problema 1 semana 1

• Código ejemplo (cont)

26
27
Geometría de Arrays

• Consideraciones de diseño para diseñar arrays,
  necesitamos seleccionar la geometría, la
  frecuencia de trabajo y la resolución espacial
  que queremos. Con estas condiciones obtendremos
  la longitud del array y el número de elementos.
• Geometría lineal, circular, esférica, etc. La
  geometría es seleccionada dependiendo de la
  aplicación. Por ejemplo, en aplicaciones de sonar
  para localizar submarinos, se ha usado el array
  lineal.
• Frecuencia de trabajo se necesita para
  determinar la distáncia máxima entre elementos.
  Se debe satisfacer el criterio spacial de Nyquist
  que dicta dl/2 donde l es la longitud de onda
  mínima igual a lc/f.

27
28
Geometría de Arrays

• La resolución espacial es inversamente
  proporcional a la separación mínima entre dos
  señales que el array puede diferenciar. Para
  obtener mayor resolución espacial (y poder
  resolver dos señales que estén cerca) el array
  deberá tener una apertura mayor. La apertura se
  define como la extensión del array.
• Es de tener en cuenta que a mayor apertura,
  debemos tener más elementos, ya que la distancia
  máxima entre elementos es dictada por el criterio
  de Nyquist. Por un lado queremos una apertura
  máxima, pero por otro lado queremos el mínimo
  número de elementos por rapidez y menor número de
  cálculos. Este compromiso debe ser tomado en
  cuenta al diseñar un array.

28
29
Linear Arrays

• Arrays lineales Los elementos están distribuidos
  en una línea. Si la distancia es constante se
  denomina ULA (Uniform Linear Array). Si la
  distancia es dl/2 se denomina SLA (Standard
  Linear Array).
• La posición de los elementos en un y-ULA
  construido sobre el eje y centrado en el origen
  tiene como ecuación
• Para un array de 3 elementos, las posiciones
  serían p10,-d,0T, p20,0,0T, p30, d,0T.
  Es decir, el primer elemento está d a la
  izquierda del origen ,el segundo elemento en el
  origen, y el tercero a la derecha del origen con
  distancia d.

29
30
Linear Arrays

• Geometría de un SLA

30
31
Linear Arrays

• Steering vector de un SLA usando la expresión
  general del steering vector
• Particularizando para
• Obtenemos

31
32
Linear Arrays

• Angulo de Cono y DOA ambiguity si definimos
• esto es llamado el ángulo de cono. La siguiente
  figura lo muestra
• Cualquier señal procedente cualquier parte del
  cono es tratada como si fuera la misma señal.
  Esto es debido a la simetría cilíndrica que
  presenta el LA.

32
33
Linear Arrays

• El cono de ambigüedad limita el array a una
  cubierta espacial (coverage) de 180o. Por tanto
  el LA es usado para 2-D beamforming siempre que
  las señales procedan de un rango inferior o igual
  a 180o. Para 3-D beamforming se usan los arrays
  circulares o esféricos.
• Debido a la estructura del ULA, el delay que
  sufre la señal en cada sensor es constante
  (Vandermonde structure), por tanto se puede usar
  la transformada discreta de Fourier (DTFT) para
  calcular el beampattern, donde el eje de
  frecuencias es cambiado por el eje de ángulo de
  cono.

33
34
Linear Arrays

• Esta propiedad de los ULA simplifica mucho el uso
  de algoritmos de beamforming, como el
  Dolph-Chebishev tapered beamforming y diversos
  algoritmos de estimación de DOA.
• Es por ello que a veces se intenta linearizar
  otros tipos de array como los circulares o
  esféricos. El proceso de linearizar otros tipos
  de array llama Virtual Array Processing.

34
35
Circular Arrays

• Arrays circulares Los elementos están
  distribuidos alrededor de un círculo de radio r.
  Si la distancia es constante se denomina UCA
  (Uniform Circular Array).
• La posición de los elementos tiene como ecuación
• Para un array de 4 elementos, las posiciones
  serían p1r,0,0T, p20, r,0T, p3-r, 0,0T
  y p40, -r,0T. Es decir, el primer elemento
  está en el eje positivo x a una distancia r del
  centro, el segundo en el eje positivo y a r del
  centro y sucesivamente.

35
36
Circular Arrays

• Geometría de un UCA

36
37
Circular Arrays

• Steering vector de un UCA usando la expresión
  general del steering vector
• Particularizando para
• Obtenemos

37
38
Circular Arrays

• DOA ambiguity Debido a la simetría del array
  circular, existen dos ángulos de elevación que
  producen el mismo steering vector, a saber qup y
  qdown p-qup Debido a este fenómeno, el CA se
  dice que tiene dos ángulos de ambigüedad.
• Si dos señales llegan al array, una por encima
  del array con un ángulo qup y otra por debajo del
  array con un ángulo polar qdown p-qup, el array
  no las distingue y piensa que es la misma señal.

38
39
Circular Arrays

• El array circular tiene una cobertura de 360o en
  azimuth y 180o en elevación (de p/2 a p/2). Por
  tanto el CA es usado para 2-D o 3-D beamforming
  siempre que en éste último caso las señales
  lleguen por arriba o por abajo solamente. Para
  eliminar totalmente la ambigüedad se usan los
  arrays esféricos.

39
40
Spherical Arrays

• Arrays esféricos Los elementos están
  distribuidos alrededor de una esfera de radio r.
  Existen varias maneras de colocar los elementos
  del array (equiangle, Gaussian sampling, etc).
• La posición de los elementos tiene como ecuación
• Para un array de 6 elementos, las posiciones
  equiangle serían p10,0, rT, p2r,0,0T ,
  p30, r,0T, p4-r, 0,0T , p50, -r,0T y
  p60,0, -rT. Es decir, el primer elemento está
  en el eje positivo z a una distancia r del
  centro, el segundo en el eje positivo x a r del
  centro y sucesivamente.

40
41
Spherical Arrays

• Geometría de un SA

41
42
Spherical Arrays

• Steering vector de un SA usando la expresión
  general del steering vector
• Particularizando para
• Obtenemos

42
43
Spherical Arrays

• DOA ambiguity El SA no tiene ningún ángulo de
  ambiguedad.

43
44
Spherical Arrays

• El array esférico tiene una cobertura de 360o
  tanto en azimuth como en elevacion. Por tanto el
  SA es usado para 3-D beamforming.

44
45
Problema 2 semana 1

• Implementar un programa de Matlab para construir
  un y-SLA de 11 elementos. La frecuencia de
  trabajo del array es fbin2kHz.
• Obtener la distancia entre elementos d.
• Obtener la posición de los elementos p.
• Modificar el código de manera que sea una función
  de Matlab con nombre p,dfSLA(K,fbin) donde K
  es el número de elementos del array y fbin la
  frecuencia de trabajo. Como parámetros de salida
  la función deberá generar p (coordenadas de los
  sensores en una matriz cuyas columnas sean las
  coordenadas xyz de cada sensor) y d (distancia
  entre sensores).

45
46
Problema 2 semana 1

• Código ejemplo

46
47
Problema 3 semana 1

• Implementar un programa de Matlab que use la
  función p,dfSLA(5,2e3) para obtener p.
• a) Obtener el steering vector para una señal que
  proceda del eje z. (calcule primero el vector de
  llegada a).
• b) Obtener el steering vector para una señal
  procedente del eje x. Comparar con el anterior.
  Que ha pasado?
• c) Obtener el steering vector para una señal con
  q p/2 y f p/3 .
• d) Obtener el steering vector si q p/2 y f
  2p/3. Comparar.
• e) Por que la fase del elemento central es
  siempre cero?
• f) Por que cuando la señal viene del eje y, el
  steering vector es 1, -1, 1, -1, 1T. Explíquelo
  con un dibujo.

47
48
Problema 3 semana 1

• Código ejemplo

48
49
Fin de la clase
49