Circuitos acoplados magn

1
Circuitos acoplados magnéticamente

• Circuitos Eléctricos 2

2
Inductancia mutua
Autoinductancia
M
M
i2
i1
L1
L2
v2
L1
L2
v1
La corriente i1 en L1 produce el voltaje de
circuito abierto v2 en L2.
La corriente i2 en L2 produce el voltaje de
circuito abierto v1 en L1.
La inductancia mutua se presenta cuando dos
bobinas están lo suficientemente cerca como para
que el flujo magnético de una influya sobre la
otra.
3
Convención de los puntos
Una corriente que entra por la terminal punteada
de una bobina produce un voltaje de circuito
abierto entre las terminales de la segunda
bobina, cuyo sentido es el de la dirección
indicada por una referencia de voltaje positiva
en la terminal punteada en esta segunda bobina.
M
M
i1
i1


L1
L2
L1
L2
_
_
M
M
i1
i1


L1
L2
L1
L2
_
_
4
Voltaje mutuo
Para frecuencia compleja V1 sL1I1 sMI2 V2
sL2I2 sMI1 Para estado senoidal V1 jwL1I1
jwMI2 V2 jwL2I2 jwMI1
M
i1
i2


L1
L2
v2
v1
_
_
M
i1
i2
_

L1
L2
v2
v1
_

5
Estructura de bobinas acopladas
Flujos magnéticos aditivos
Flujos magnéticos sustractivos
i1
i1
i2
i2
6
Ejemplo
M 9 H
1 W

V1 10/_0 w 10 rad/s
V2

I1
I2
_
400 W
1 H
100 H
_
I1(1 j10) j90I2 10 I2(400 j1000) j90I1
0
7
Gráfico de respuesta en frecuencia
8
Ejemplo
1 F
5 W

I1
I3
V1
I2
_
3 W
7 H
6 H
M 2 H
(5 7s)I1 9sI2 2sI3 V1 9sI1 (17s
1/s) I2 8sI3 0 2sI1 8sI2 (3 6s) I3 0
9
Consideraciones de energía
M
i1
i2
Poniendo en circuito abierto las terminales de la
derecha y haciendo crecer la corriente i1 desde 0
hasta I1 en t t1.


L1
L2
v2
v1
_
_
La energía almacenada es.
La energía total es.
Ahora haciendo crecer la corriente i2 desde 0
hasta I2 de t t1 a t t2. manteniendo i1
constante
Haciendo el proceso inverso, se tiene
La energía entregada del lado derecho es.
Sin embargo se entrega energía a la red del lado
izquierdo.
Por tanto
10
Consideraciones de energía (cont)
El límite superior para el valor de M es
El Coeficiente de acoplamiento se define como
11
Ejemplo
Sea L1 0.4 H. L2 2.5 H, k 0.6 e i1 4i2
20 cos(500t 20) mA. Evalue las siguientes
cantidades en t 0 a) i2, b) v1, y c) la
energía total almacenada en el sistema.
a) i2(0) 20 cos(500(0) 20) mA 4.698 mA
M
i1
i2
b) Para v1 hay que evaluar


L1
L2
v2
v1
M k?L1L2 0.6 H
_
_
v1(0) 0.410 sen(20) 0.62.5sen(20)
1.881 V
c) La energía es w(t) ½L1i1(t)2
½L2i2(t)2 Mi1(t) i2(t) w(0)
0.4/218.792 2.5/24.6982 0.6i1(0)
i2(0) w(0) 151.2 mJ
12
El transformador lineal
En un transformador lineal el coeficiente de
acoplamiento es de algunas décimas. Transformador
lineal con una fuente en el primario y carga en
el secundario
M
R1
R2


I1
VL
I2
Vs
ZL
_
L1
L2
Vs I1Z11 I2sM 0 I1sM I2Z22
0 donde Z11 R1 sL1 Z22 R2 sL2 ZL
_
La reactancia reflejada tiene el signo contrario
al de reactancia X22
Impedancia reflejada
13
ejemplo
Los valores de los elementos de cierto
transformador lineal son R1 3W, R2 6W, L1
2mH, L2 10mH, M 4mH, si w 5,000 rad/s,
determine Zent para ZL igual a a) 10W, b) j20W,
c) 10 j20W, d) -j20W. a) Similarmente b)
3.4862 4.3274i c) 4.2413 4.5694i d) 5.5641
- 2.8205i
Z11 R1 sL1 3 j(5000)(0.002) 3 j10 Z22
R2 sL2 ZL 6 j(5000)(0.010) 10 16
j50
3 j10 (5000)2(0.004)2/(16 j50) 5.3222
2.7431i
14
Red equivalente T
M
i1
i2
Ecuaciones de malla para el transformador lineal


L1
L2
v2
v1
_
_
Pueden rescribirse como
i1
i2
L1 M
L2 M


v2
M
v1
_
_
Las cuales corresponden a la red
15
Ejemplo
Determine el equivalente T del transformador de
la figura
40 mH
i1
i2
L1 M 10 mH L2 M 20 mH
30 mH
60 mH
i1
-10 mH
20 mH
40 mH
16
Red equivalente P
A partir de la ecs. de malla
Se puede despejar i1 e i2, obteniendo
Estas ecs. representan ecs. de nodos de la red de
la figura donde
i1
i2
LB


i2(0)u(t)
i1(0)u(t)
v2
LC
LA
v1
_
_
17
ejemplo
Determine el equivalente T del transformador de
la figura
40 mH
i1
i2
2x104/40x103 5mH
2x104/20x103 10mH
30 mH
60 mH
2x104/(10x103) -20mH
i1
i2
5 mH
10 mH
20 mH
18
El transformador Ideal
Es una aproximación de un transformador
fuertemente acoplado. Las reactancias inductivas
del primario y del secundario son muy grandes
comparadas con las impedancias de la terminación.
19
Relación de vueltas
1 a


V1 jwL1I1 jwMI2 0 jwMI1 (ZL wL2) I2
I1
V2
V1
ZL
I2
L1
L2
_
_
Despejando V1
k 1
Se cumple la siguiente relación
a razón del número de vuelas del secundario al
primario N2 / N1
20
Relación de vueltas (continuación)
Dado que L2 a2L1
Si dejamos que L1 tienda a infinito
21
Acoplamiento de impedancias
Suponga un amplificador con 4000 W de impedancia
de salida y una bocina con 8 W de impedancia.
22
Relación de corrientes
Si suponemos que L2 se hace muy grande.
Entonces
N1I1 N2I2
Para el ejemplo anterior, si el amplificador
produce una corriente de 50 mA en el primario, en
ele secundario habrá una corriente de
(22.4)(50mA) 1.12 A. La potencia en el altavoz
es (1.12)2(8) 10W. La potencia suministrada por
el amplificador es (0.05)2(4000) 10W
23
Relación de tensiones
La relación para tensiones es
Si a gt 1, en transformador es elevador Si a lt 1,
en transformador es reductor
Se cumple
V1I1 V2I2
24
Ejemplo
Encuentre la potencia promedio disipada para el
resistor de 10K,
100 W
1 10


V2

I1
50 V rms
_
I2
V1
10 kW
_
_
La potencia es simplemente P 10000 I22 La
impedancia que se ve en la entrada es ZL/a2
100 W I1 50/(100 100) 250 mA rms I2 (1/a)
I1 25 mA rms, la potencia es P 6.25 W.
25
Relaciones de tensión en el tiempo
Ecuaciones de malla para el transformador ideal
M
i1
i2


L1
L2
v2
_
_
v1
Despejando la derivada de i2 en la segunda ec. y
sustituyendo en la primera y ya que M2 L1L2
Dividiendo la primera ec. entre L1 y suponiéndola
muy grande