ECO Systmes

1
ECO Systèmes

• Christine Garcia, Jean-Marc Fedou
• I3S (Nice, Sophia-Antipolis)

2
PLAN

• Permutations à motif exclu
• ECO systèmes et règles de succession
• Systèmes algébriques
• Règles de succession signées

3
Permutation
4
Arbre de génération
1234 1243 1423 4123 1324 1342 1432 4132 3124 3142
3412 4312 2134 2143 2413 4213 2314 2341 2431 4231
3124 3142 3412 4312
123
12
132
312
1
213
21
231
312
5
Pattern

• For a permutation ? of k positive integers,
  the pattern of ? is defined as a permutation
  on Sk obtained from ? by substituting the
  minimum element by 1, the second minimum element
  by 2, ..., and the maximum element by k .

6
Restricted Permutation

• For a permutation and a
  permutation
• , we say that is
  -avoiding if and only if there is no subsequence
  
• whose pattern is . We write for
  the set of -avoiding permutations of .

7

• For example

• 512673849 avoids 321 pattern.
• But 512673849 contains 3412 pattern,
  
• since 512673849 512673849
• 512673849.

8

• For example

9
Stack Sorting Problem (Knuth, 1960s)
312-avoiding
8
7
6
5
4
3
2
1
10
Arbre de génération
1234 1243 1423 4123 1324 1342 1432 4132 3124 3142
3412 4312 2134 2143 2413 4213 2314 2341 2431 4231
3214 3241 3421 4321
123
12
132
312
1
213
21
231
321
11
(No Transcript)
12
Question (Herbert Wilf, 1990s)
13
For k3
14
For k4

• J. West (1990), Z. Stankova (1990s) classified
• the permutations with forbidden patterns of
  length 4, i.e.

• 1234, 1243, 2143, 1432
• 1342, 2413
• 1324

15
For k4

• 1234, 1243, 2143, 1432
• In 1990, Ira M. Gessel gave the generating
  function by using symmetric functions.

• 1342, 2413
• In 1997, M. B?na gave the exactly formula.

• 1324
• D. Marinov R. Radoicic (2003) gave the first
  few numbers.

16
Open Problems
17
Conjecture ( Stanley and Wilf, 1990s)
18
2 (3n)! /(n1)!/(2n1)!

• Cartes planaires pointées non séparables Tutte
  (1963)
• Permutations triables par deux piles et
  Sn(2341,35241)
• Zeilberger
• West
• Dulucq, Gire, Guibert, West

19
Cartes planaires pointées non séparables
20
(No Transcript)
21
(No Transcript)
22
PLAN

• Permutations à motif exclu
• ECO systèmes et règles de succession
• Systèmes algébriques
• Règles de succession signées

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ECO Systèmes

• Enumerating Combinatorial ObjectE. Barcucci, A.
  Del Lungo, E. Pergola, R. Pinzani (1997)
• Construction récursive
• Séries génératrices
• Bijections
• Génération aléatoire uniforme

24
Méthode ECO
Pinzani, Barcucci (1997)

• Onobjets de taille n
• Opérateurs
• T On On1
• Pour chaque Q de On1, il existe un P de On tel
  que Q est dans T(P).
• Si P1 et P2 sont deux objets distincts de On ,
  alors T(P1) T(P2) Ø

U
25
Arbres binaires complets
Définition récursive classique
ECO système
26
(No Transcript)
27
(No Transcript)
28
ECO système
k Sites actifs

29
ECO système
k Sites actifs

30
Arbres binaires complets
k Sites actifs

31
(2) (k) ? (2)(3)(k)(k1)
32
Règle de succession

• Axiome un entier a
• Règle une fonction successeur de N dans P(N)
• On sintéresse à lensemble des mots de N
• qui commencent par laxiome
• où chaque lettre appartient au successeur de la
  précédente

33

• ECO systèmes et Bijections

34
(No Transcript)
35
(No Transcript)
36

• Règles de succession et Séries génératrices

37
Séries génératrices

• Si an désigne le nombre dobjets de  taille  n,
  la série génératrice des objets selon le
  paramètre  taille  est la fonction f(x)
  ?n0 an xn
• Pour deux paramètres f(x,s) ?n0, k0 an,k
  sk xn

38
ECO et séries génératrices
An,k nombre darbres à n sommets internes k
sites actifs
x ns k
39
x1s2
x2(s2 s3)
x3(2s2 2s3 s4)
40
Catalan
x1
2x2
5x3
14x3
41
Problème (R.Pinzani)

• Quels sont les systèmes ECO qui donnent
• Séries génératrices Rationnelles
• Séries génératrices Algébriques
• Séries génératrices Transcendantes
• On Generating Functions of Generating Trees
• C.Banderier, M.Bousquet-Mélou, A. Denise,
• P. Flajolet, D.Gardy, D.Gouyou-Beauchamps (1999)

?
42
Séries génératrices Rationnelles

• Les séries génératrices pour les règles ECO
  finies sont rationnelles
• Exemple (1)?(2), (2)?(1)(2) Fibonacci

43
Séries génératrices Algébriques

• Transformations finies de (k) ? (2)(3)(k)(k1)
• (2), (k)?(2)(3)(k)(k1) Catalan
• (1), (k)?(1)(2)(k-1)(k1) Motzkin
• (3), (k)?(3)(4)(k)(k1)2 Schröder
• (3), (k)?(3)(4)(k)(k1)(k2) Arbres ternaires

44
Séries génératrices exponentielles

• (2), (k)?(k-1) k-1 (k1) Involutions
• (2), (k)?(k)(k1) k-1 Arrangements
• (2), (k)?(k1)k Permutations
• Séries génératrices exponentielles pour les ECO
  systèmes signés
• Sylvie Corteel (2000)

45

• Règles de succession et Génération aléatoire
  uniforme

46
ECO et Génération aléatoire
(2) ,
9
14
47
Problèmes ouverts

• Equivalence de règles de succession
• Forme normale