La contrainte stretch et son algorithme de filtrage

1
La contrainte stretch et son algorithme de
filtrage
Par Michael C. Fernandes
2
Plan de la présentation

• Introduction à la contrainte stretch
• Définition de la contrainte stretch
• Calcul des bornes des blocs
• Règles de filtrage de la contrainte stretch
• Quelques résultats et discussion
• Conclusion

3
Introduction à la contrainte stretch

• Stretch est une contrainte globale proposée par
  Gilles Pesant en 2001
• Utile pour déterminer des horaires types dun
  ensemble demployés (affectation de  shifts  ou
  quarts de travail)
• Deux types dhoraires sur lesquels stretch peut
  sappliquer
• Les horaires cycliques
• Un horaire est donné sur ? semaines et les
  employés sont divisés en ? équipes de travail
• Chaque employé se voit affecté lemploi dune
  semaine i puis à la fin de la semaine il change
  demploi du temps pour celui de la semaine i 1
  mod ?
• Chacun des employés a donc un horaire identique
  mais qui nest pas en phase avec celui des autres
  équipes
• Les horaires personnels
• Des horaires où lon doit tenir compte des
  restrictions ou préférences individuelles du
  personnel

4
Introduction à la contrainte stretch

• Prend en compte des restrictions sur les
  séquences de travail
• Spécifie le nombre minimal et maximal de valeurs
  identiques consécutives dans une séquence
• Lapplication de la contrainte stretch se fait
  par son algorithme de filtrage qui procède en
  déterminant les intervalles dans lesquels
  lexécution dune même activité (un  stretch )
  peut avoir lieu

5
Introduction à la contrainte stretch

• Références
• Article principal
• Gilles Pesant. A filtering algorithm for the
  stretch constraint. Dans Principles and Practice
  of Constraint Programming (CP 2001), number 2239
  in Lecture Notes in Computer Science, pages
  183-195. Springer-Verlag, 2001.
• Autre article consulté
• Guillaume Rochart, Narendra Jussien, Une
  contrainte Stretch expliquée, Journal
  électronique d'intelligence artificielle 3-31,
  2004. http//jedai.afia-france.org/detail.php?Pape
  rID31

6
Définition de la contrainte stretch

• Définie sur une séquence de n variables de
  décision s0, s1,, sn-1 correspondant à des
  quarts de travail consécutifs
• Dsi ? T représente le domaine des si où T t1,
  t2,, tm est lensemble des m activités
  possibles
• La sous-suite si, s(i1) mod n, , sj est appelée
  un bloc (ou un  stretch ) si si s(i1) mod n
  sj mais que s(i-1) mod n ? si et s(j1) mod
  n ? sj
• Létendue ou la taille dun bloc allant des
  indices i à j est sa longueur qui est donnée par
  1 (j - i) mod n
• Le  mod n  est utilisé pour les horaires
  cycliques

7
Définition de la contrainte stretch

• Un patron (ou  pattern ) est défini comme deux
  blocs contigus de différents types
• Exemple t1, t1, t1, t2, t2 noté t1t2
• La contrainte peut être formulée ainsi
  stretch(lts0, s1, , sn-1gt, ?1, ?2, p, ?)
• ?1 et ?2 sont des vecteurs de longueur m
  représentant les étendues minimales et maximales
  des blocs pour chaque valeur de T
• p est un ensemble de patrons
• ? est un booléen indiquant si un horaire est
  cyclique ou non

8
Définition de la contrainte stretch

• Remarques
• La contrainte nest bien définie que lorsque ?1
  ?2
• ?1 taille dun bloc ?2
• La valeur vraie pour ? indique un horaire
  cyclique dans lequel le successeur de sn-1 est s0
• La valeur fausse pour ? indique une séquence sans
  cycle et représente donc un horaire personnel
• Lensemble p représente les patrons permis, mais
  la contrainte ne sen sert que pour raffiner la
  recherche

9
Calcul des bornes des blocs

• Les différentes règles de filtrage dépendent du
  début et de la fin potentielle dun bloc
• Calcul des bornes dun bloc est important pour
  déterminer les étendues minimale et maximale dun
  bloc
• Pour une variable si prenant la valeur tk, nous
  avons les intervalles suivants
• ßmin, ßmax intervalle pour le début dun bloc
• emin, emax intervalle pour la fin dun bloc

10
Calcul des bornes des blocs

• En dautres mots
• ßmin est la valeur minimale de début dun bloc
• ßmax est la valeur maximale de début dun bloc
• emin est la valeur minimale de fin dun bloc
• emax est la valeur maximale de fin dun bloc

11
Calcul des bornes des blocs

• La borne ßmax est définie telle que
• ?p ? ßmax, i, Dsp tk
• Ds(ßmax - 1) mod n ? tk
• Le calcul de la borne ßmax
• Lalgorithme calculant la borne ßmax parcourt les
  variables précédant la variable détude jusquà
  ce quil en atteigne une qui na pas la valeur tk
  et retourne la position suivante
• Cet algorithme exploite le fait que toutes les
  variables voisines instanciées à la même valeur
  font partie du même bloc

12
Calcul des bornes des blocs

• La borne ßmin est définie telle que
• ?p ? ßmin, ßmax, tk ? Dsp
• ?l, tl ? tk, ?p ? (ßmin - ?1) mod n, (ßmin - 1)
  mod n, tl ? Dsp, cest-à-dire quun autre bloc
  peut exister à la frontière
• Le calcul de la borne ßmin est plus complexe
• On commence par calculer une valeur limite pour
  ßmin au-delà de laquelle ßmin ne peut pas se
  trouver
• On vérifie alors les variables à reculons tant
  que la variable courante contient plus dune
  activité incluant tk dans son domaine
• Si tk ne fait plus partie du domaine ou si la
  variable ne contient plus que tk dans son domaine
  (sj tk ) ou si on a atteint la valeur limite,
  lalgorithme calcule alors ßmin en vérifiant quà
  sa gauche assez de variables ont une valeur
  commune dans leurs domaines afin de constituer un
  bloc valide

13
Calcul des bornes des blocs

• Lalgorithme pour calculer ßmin

14
Calcul des bornes des blocs

• Le calcul des bornes est symétrique
• La borne emin est calculée de manière analogue à
  ßmax
• La borne emax est calculée de manière analogue à
  ßmin
• Remarques
• Les différents algorithmes de calcul des bornes
  ont une complexité qui est linéaire en la
  longueur maximale dun bloc, sauf pour la
  fonction find_frontier que lalgorithme de calcul
  des bornes ßmin et emax appelle pour vérifier la
  validité dun bloc voisin

15
Règles de filtrage de la contrainte stretch

• Lalgorithme de filtrage est basé sur la notion
  de bloc et est constitué de sept règles nommées
  F1 à F7
• Lalgorithme de filtrage agit suite à deux types
  dévénements
• Une valeur est retirée du domaine dune variable
  du bloc, détruisant potentiellement la validité
  du bloc. Il faut alors vérifier la validité de ce
  bloc de chaque côté de la variable
• Une variable est instanciée. Divers filtrages
  sont alors appliqués en se basant sur où se
  trouvent le début et la fin du bloc

16
Règles de filtrage de la contrainte stretch

• La règle F1 sapplique lorsque le domaine dune
  variable du bloc est modifié (une valeur en est
  retirée)
• On vérifie pour chaque valeur tl retirée du
  domaine de la variable si si un bloc avec tl peut
  être réalisé à la gauche ou à la droite de si
• Si un bloc valide avec tl ne peut être réalisé
  avant si, alors la valeur tl est retirée du
  domaine de la variable s(i-1) mod n
• Si un bloc valide avec tl ne peut être réalisé
  après si, alors la valeur tl est retirée du
  domaine de la variable s(i1) mod n
• Lapplication de lalgorithme garantit que, pour
  chaque valeur restante du domaine dune variable,
  il y a des valeurs identiques dans les variables
  voisines pour réaliser un bloc de longueur
  minimale

17
Règles de filtrage de la contrainte stretch

• La règle F2
• Si ßmin ou emax nont pas été trouvés (ßmin -1
  ou emax -1), alors la contrainte stretch est
  violée
• Les règles F3 et F4 permettent de découvrir si un
  bloc est trop long ou trop court
• Règle F3 si étendue(ßmax, emin) gt ?2, alors la
  contrainte stretch est violée
• Règle F4 si étendue(ßmin, emax) lt ?1, alors la
  contrainte stretch est violée

18
Règles de filtrage de la contrainte stretch

• Les règles F5 et F6 permettent de savoir
  précisément où un bloc commence ou se termine
• Il est alors possible de retirer la valeur tk des
  variables voisines sur une longueur égale à la
  plus petite des longueurs minimales des blocs
  voisins potentiels afin de réaliser un bloc
  valide
• Règle F5 si ßmax ßmin, alors on sait
  précisément où le bloc débute
• Règle F6 si emax emin, alors on sait
  précisément où le bloc se termine
• La règle F7 permet de découvrir la ou les
  positions qui sont forcément couvertes par un
  bloc dans lintervalle ßmin, emax quand on a la
  longueur minimale dun bloc afin de déduire des
  instanciations

19
Règles de filtrage de la contrainte stretch

• Remarque sur les règles
• La complexité totale de lalgorithme de filtrage
  nest pas reliée au nombre de variables, n

20
Quelques résultats et discussion

• Lefficacité de la contrainte a été évaluée
• Sur des problèmes dhoraires cycliques réels
• Sur des problèmes générés par lauteur
• Testée avec sept versions de lalgorithme
• Une version complète
• Une version naïve qui vérifie la longueur dun
  bloc
• Cinq versions sans certaines règles de filtrage

21
Quelques résultats et discussion

• Résultats obtenus
• La version complète performe beaucoup mieux que
  la version naïve
• Les règles F1 et F7 apparaissent être cruciales
  pour lexécution de la contrainte
• Les règles F2 et F4 ont peu deffet sur les
  résultats
• La règle F4 semble redondante par rapport aux
  règles F1 et F7
• La règle F3 est nécessaire pour assurer
  lexactitude de lalgorithme

22
Quelques résultats et discussion

• Une grande partie du filtrage se base sur les
  intervalles ßmin, ßmax et emin, emax calculés
  qui peuvent ne pas être les plus restreints
  possibles
• Une des limitations de la contrainte est quelle
  ne considère pas toute la séquence
• Une valeur dans le domaine dune variable peut
  être inconsistante parce quelle est incompatible
  avec les valeurs du domaine dune autre variable
  se trouvant plus loin dans la séquence
• Un meilleur niveau de cohérence peut être atteint
  si on examine une plus grande partie de la
  séquence, sinon toute, au prix dun effort de
  calcul plus grand (complexité en termes de n)

23
Conclusion

• La contrainte stretch est une contrainte globale
  introduite par Gilles Pesant
• Utile lorsquon a des limites sur le nombre de
  valeurs consécutives identiques dans une séquence
• Le domaine de laffectation de tâches pour
  réaliser des horaires constitue une des
  applications de cette contrainte
• La contrainte exhibe une complexité algorithmique
  basse

24
Des questions?