Systmes LPV rationnels et ralisations implicites: analyse et commande

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Systèmes LPV rationnels et réalisations
implicites analyse et commande
GT MOSAR Journées de Nantes

• A. Bouali, M. Yagoubi, P. Chevrel 1,2

1 Institut de Recherche en Communications et
Cybernétique de Nantes 2 Ecole des Mines de
Nantes
2
Plan

• Introduction
• Classe des systèmes considérés
• Problématique et motivations
• Quelques outils
• Quelques résultats sur les formes implicites LTI
• Formes implicites LPV
• De nouveaux outils
• Analyse des systèmes LPV rationnels
• Stabilité
• Performance H8
• Commande des systèmes LPV rationnels
• Régulateurs dynamiques
• Retour détat Observateur
• Conclusion

3
Introduction

• Classe des systèmes considérés

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Introduction

• Problématique et Motivation
• Analyse et commande sont basées sur
• Théorie de Lyapunov
• Formulation LMI
• Exemple Analyse de la stabilité
• Stabilité quadratique
• Stabilité dépendant des paramètres

Ensemble fini de LMI (Gahinet al
1994) (Apkarian al 1994)
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Introduction

• Problématique et Motivation
• Discrimination des systèmes LPV suivant la nature
  de leur dépendance paramétrique.
• Affine / Polytopique
• Affine par morceau
• Polynomiale
• Rationnel

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Introduction

• Problématique et Motivation

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Plan

• Introduction
• Classe des systèmes considérés
• Problématique et motivations
• Quelques outils
• Quelques résultats sur les formes implicites LTI
• Formes implicites LPV
• De nouveaux outils
• Analyse des systèmes LPV rationnels
• Stabilité
• Performance H8
• Commande des systèmes LPV rationnels
• Régulateurs dynamiques
• Retour détat Observateur
• Conclusion

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Quelques Outils

• Rappel sur les systèmes implicites LTI

• Définition Un système est dit implicite sil
  admet une réalisation de la forme suivante

• Régularité La paire (E,A) est dite régulière si
  et seulement sil existe s tel que

• Impulsivité La paire (E,A) admet des modes
  impulsifs sil existe au moins deux vecteurs non
  nuls tels que

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Quelques Outils

• Rappel sur les systèmes implicites LTI

• Admissibilité La paire (E,A) est dite admissible
  ssi
• Elle est régulière
• Elle est non impulsive
• Tous ces modes finis sont stables

• Remarque Ladmissibilité est aux systèmes
  implicites ce que la stabilité est aux systèmes
  explicites

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Quelques Outils

• Rappel sur les systèmes implicites LTI

• (Masubuchi 1998) La paire (E,A) est dite
  admissible si et seulement sil existe une
  solution au problème LMI suivant

Conditions Equivalentes

• (Uezato 1999) La paire (E,A) est dite
  admissible si et seulement sil existe une
  solution au problème LMI suivant

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Quelques Outils

• Rappel sur les systèmes implicites LTI

• Réalisations implicites équivalentes Soit deux
  réalisations implicites données par

Les deux réalisations sont dites équivalentes si
et seulement si il existe deux matrices non
singulières M et N telles que
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Quelques Outils

• Rappel sur les systèmes implicites LTI

• Quelques formes implicites particulières

Soit le système implicite régulier suivant
Il admet les réalisations équivalentes suivantes
Forme SVD
Forme de Kronecker Weierstrass
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Quelques Outils

• Forme Implicites LPV

• Définition Un système implicite LPV est décrit
  par une réalisation de la forme suivante

• Admissibilité (Masubuchi 03) Le système LPV
  implicite précédent est admissible si il existe
  une fonction continûment différentiable X??X(?)
  telle que pour toute trajectoire admissible

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Quelques Outils

• Forme Implicites LPV

• Performance H8 (Masubuchi 03) Soit un système
  implicite LPV décrit par

Le système (S) est admissible et sil existe
une fonction continûment différentiable X??X(?)
telle que pour toute trajectoire admissible
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Quelques Outils

• Forme Implicites LPV

• Théorème (Bouali 05) Soit un système LPV
  rationnel donné par

Alors il existe une réalisation implicite affine
décrivant le système explicite rationnel donnée
par
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Quelques Outils
Eléments de preuve Le système LPV étant
rationnel il admet une LFT donnée par
En posant alors le vecteur augmenté suivant
On déduit la réalisation implicite affine
équivalente
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Quelques Outils

• Forme Implicites LPV

De façon générale un système LPV rationnel peut
être décrit par une forme implicite affine donnée
par
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Quelques Outils

• Forme Implicites LPV

Exemple de passage à une forme implicite affine à
partir dun système LPV rationnel système du
second ordre.
Changement de variable
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Quelques Outils

• Nouveaux outils

• Notion déquivalence forte
• Conservation de ladmissibilité et performances
  via léquivalence forte
• Admissibilité de certaines formes implicites
  particulières

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Quelques Outils

• Nouveaux outils léquivalence forte

• Dans le cas LTI invariance de la stabilité et
  des performances dune réalisation à une autre.
• Question ceci reste-t-il vrai dans le cas LPV?
• Réponse oui sous certaines hypothèses (Cobb
  2006) léquivalence forte.

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Quelques Outils

• Nouveaux outils léquivalence forte

• Définition Soit deux réalisations implicites LPV

Ces deux réalisations sont fortement
équivalentes si et seulement sil existe deux
fonctions matricielles continûment
différentiables M??M(?) et N??N(?) non
singulières telles que
Avec M-1??M(?)-1 et N-1??N(?)-1 continûment
différentiables
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Quelques Outils

• Nouveaux outils léquivalence forte

• Application au cas des systèmes LPV rationnels
  Soit le système LPV rationnel décrit par

Soit une forme implicite affine donnée par
Avec
Alors les deux réalisations précédentes sont
équivalentes au sens de léquivalence forte .
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Quelques Outils

• Nouveaux outils léquivalence forte

• Application au cas des systèmes LPV rationnels
• En effet il suffit de choisir

On voit alors que
Avec M-1??M(?)-1 et N-1??N(?)-1 continûment
différentiables
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Quelques Outils

• Nouveaux outils léquivalence forte et stabilité

• Théorème (Bouali 06.a) Soit deux réalisations
  implicites LPV fortement équivalentes données
  par

Alors les deux propositions suivantes sont
équivalentes
i) (S1) est admissible et il existe une fonction
continûment différentiable X1??X1(?) telle que
ii) (S2) est admissible et il existe une fonction
continûment différentiable X2??X2(?) telle que
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Quelques Outils

• Nouveaux outils léquivalence forte et stabilité

Fonction LDP rationnelle
Fonction LDP Affine
Analyse
Transformation
Réalisation LPV rationnelle
Réalisation implicite affine
Synthèse
Correcteur Rationnel
Correcteur Affine
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Quelques Outils

• Nouveaux outils admissibilité de certaines
  formes implicites

• Lemme 1 Soit une matrice A3(?) bornée et deux
  réalisations implicites LPV données par

Si (S1) et (S2) sont admissibles et quil existe
deux fonctions continûment différentiables
X1??X1(?) et X2??X2(?) telles que
Alors la paire suivante est
admissible
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Plan

• Introduction
• Classe des systèmes considérés
• Problématique et motivations
• Quelques outils
• Quelques résultats sur les formes implicites LTI
• Formes implicites LPV
• De nouveaux outils
• Analyse des systèmes LPV rationnels via une
  représentation implicite
• Stabilité
• Performance H8
• Commande des systèmes LPV rationnels via une
  représentation implicite
• Régulateurs dynamiques
• Retour détat Observateur
• Conclusion

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Analyse des systèmes LPV rationnels

• Lanalyse des systèmes LPV rationnels est
  envisagée ici à travers celle dune forme
  implicite affine

Équivalence forte
Fonction LDP rationnelle
Fonction LDP Affine
Transformation
Réalisation implicite affine
Réalisation LPV rationnelle
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Analyse des systèmes LPV rationnels

• Les outils danalyse proposés
• Concernent la stabilité et la performance H8
• Sont des LMI paramétriques (fonctions de Lyapunov
  dépendantes des paramètres).
• Peuvent se ramener à un ensemble fini de LMI

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Analyse des systèmes LPV rationnels

• Théorème 1 (Bouali 2006.b) Stabilité.
• Soit une (E,A(?)). Cette paire est admissible
  sil existe deux fonctions matricielles
  continûment différentiables P(.) et S(.) telles
  que pour toute trajectoire admissible

• Ces conditions sont équivalentes à celles
  proposées par (Masubuchi 03)
• Avantage Inégalités strictes

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Analyse des systèmes LPV rationnels

• Théorème 2 (Bouali 2006.b) Stabilité.
• Soit une (E,A(?)). Cette paire est admissible
  sil existe deux fonctions matricielles
  continûment différentiables P(.) et S(.) et une
  matrice F telles que pour toute trajectoire
  admissible

• Formulation LMI étendue . Découplage entre
  matrice de Lyapunov et matrices détat.
• Dans le cas affine résolution sur les sommets
  uniquement (pas besoin de la multiconvéxité)

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Analyse des systèmes LPV rationnels

• Théorème 3 (Bouali 2006.b) Performance H8.
• Soit le système LPV implicite
• Le système (S) est admissible et possède un
  niveau de performance H8 inférieur à ?gt0, si

• Ces conditions sont équivalentes à celles
  proposées par (Masubuchi 03)
• Avantage Inégalités strictes

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Analyse des systèmes LPV rationnels

• Théorème 4 (Bouali 2006.b) Performance H8.
• Soit le système LPV implicite
• Le système (S) est admissible et possède un
  niveau de performance H8 inférieur à ?gt0, si

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Analyse des systèmes LPV rationnels

• Quelques remarques

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Plan

• Introduction
• Classe des systèmes considérées
• Problématique et motivations
• Quelques outils
• Quelques résultas sur les formes implicites LTI
• Formes implicites LPV
• De nouveaux outils
• Analyse des systèmes LPV rationnels via une
  représentation implicite
• Stabilité
• Performance H8
• Commande des systèmes LPV rationnels via une
  représentation implicite
• Régulateurs dynamiques
• Retour détat Observateur
• Conclusion

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Commande des systèmes LPV rationnels

• La commande de systèmes LPV à dépendance
  rationnelle est traitée ici grâce à
• Une forme implicite équivalente ayant une
  dépendance affine
• Une formulation LMI (celles proposées pour
  lanalyse précédemment)

• Hypothèses
• Nous supposons que le paramètre ainsi que sa
  vitesse de variation évoluent dans des hypercubes
• Nous considérons le système LPV rationnel via une
  forme implicite affine

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Commande des systèmes LPV rationnels

• Régulateur dynamique

• Problème Trouver un régulateur LPV rationnel
  pour systèmes LPV rationnels

rationnel
affine
38
Commande des systèmes LPV rationnels

• Régulateur dynamique

rationnel
affine

• Résultat Les boucles fermées implicites et
  explicites ci-dessus sont équivalentes (au sens
  de léquivalence forte)

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Commande des systèmes LPV rationnels

• Synthèse de retour détat observateur

• Formulation du problème
• Soit le système LPV rationnel
• On cherche un régulateur stabilisant ayant la
  forme suivante

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Commande des systèmes LPV rationnels

• Synthèse de retour détat observateur

• Formulation du problème
• Le problème précèdent est résolu en considérant
  une forme LPV implicite affine équivalente
• On cherche alors un régulateur implicite sous la
  forme

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Commande des systèmes LPV rationnels

• Synthèse de retour détat observateur

• Etapes de Synthèse
• Calculer les gains de retour détat et
  dobservateur pour le système implicite affine en
  se basant sur les conditions LMI présentées
• Appliquer le principe de séparation dans le cas
  LPV implicite
• Conserver de la structure retour détat
  observateur par passage dune forme implicite à
  une forme explicite rationnelle.

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Commande des systèmes LPV rationnels

• Synthèse de retour détat observateur

• Etape 1
• Calcul de gain de retour détat et de gain
  dobservateur pour le système implicite
• Par application du Théorème 2 et de sa forme
  duale on calcul deux gains tels que les paires
  suivantes soient admissibles.
• Lutilisation du Théorème 2 permet lutilisation
  de fonctions de Lyapunov dépendant des paramètres
  et lobtention de gains affines en ?

F et L sont affines
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Commande des systèmes LPV rationnels

• Synthèse de retour détat observateur

• Etape 2
• Comment garantir la stabilité de la boucle fermée
  avec le REO implicite?

• La boucle fermée du système implicite est donnée
  par

• Par construction les paires et
  sont admissibles, lapplication directe du
  Lemme 1 prouve ladmissibilité de la boucle fermée

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Commande des systèmes LPV rationnels

• Synthèse de retour détat observateur

• Etape 3
• Utilisation de léquivalence forte entre forme
  implicite et forme explicite

• Régulateur implicite transformé en forme
  explicite par élimination de la partie
  algébrique

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Commande des systèmes LPV rationnels

• Synthèse de retour détat observateur

• Etape 3
• Forme des gains explicites

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Conclusion

• Mise en avant de formes implicites pour traiter
  les systèmes LPV
• Réduction de la complexité paramétrique
  explicite rationnel vers implicite affine
• Equivalence forte
• Développement doutils danalyse
• Conditions LMI (en nombre fini)
• Fonction de Lyapunov rationnelle pour systèmes
  LPV rationnels
• Développement doutils de synthèse
• Synthèse de régulateurs dynamiques via forme
  implicites
• Cas particulier du retour détat observateur
  rationnel

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Perspectives

• Exploiter la forme implicite en vue dautres
  synthèses pour systèmes LPV rationnels
• Régulateurs H8
• Régulateurs H2
• En gardant à lesprit
• Conditions LMI (en nombre fini)
• Fonction de Lyapunov rationnelle pour système LPV
  rationnels
• Extension de la paramétrisation de Youla au cas
  LPV implicite