Proprits des ordonnancements SPT

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Propriétés des ordonnancements SPT
ROADEF 2005

• Eric Angel, Evripidis Bampis, Fanny Pascual
• LaMI, université dEvry

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0rdonnancements (rappel)

• Exemple
• Principaux critères de qualité
• Temps de terminaison max (Makespan)
• Somme des temps de terminaison ( ?Cj )

1
5
6
P1
n tâches m machines
2
4
P2
P3
3
3
Les ordonnancements SPT

• SPT Shortest Processing Time first
• Règle de Smith SPTglouton
• Trier les tâches par ordre croissant
• Les ordonnancer dès quune machine est libre.
• Algo qui minimise ?Cj .
• Classe des ordos. qui minimisent ?Cj
• Bruno et al Algorithms for minimizing mean
  flow time

4
Les ordonnancements SPT

• Bruno et al notion de rang.
• Un ordo. minimise ?Cj ssi cest un ordo. SPT.

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2
5
8
3
6
5
Plan

• On étudie la qualité des ordos. SPT sur les
  critères suivants
• Max ?Cj.
• Problème NP-complet
• Analyse de SPTglouton
• Critères dinsatisfaction des tâches
• Critère dinsatisfaction globale
• Critère dinsatisfaction individuelle
• Conclusion

6
Max ?Cj

• Minimiser Max ?Cj ? Minimiser ?Cj
• Max ?Cj 7 Max ?Cj 6
• ?Cj 10 ?Cj 11
• Problème NP-complet.

7
Minimiser Max ?Cj est NP-complet

• On réduit le pb de la partition au pb Min. Max
  ?Cj.
• Partition Soit un ens. de nb C x1, x2, . . . ,
  xn . Existe-t-il une partition (A,B) de C t.q
  ?x?A x ?x?B x ?
• Min. Max ?Cj Soit un nombre k. Existe-il un
  ordo. tel que Max ?Cj k ?

8
Minimiser Max ?Cj est NP-complet

• Transformation
• Partition Cx1, x2, . . . ,xn
• Max ?Cj k ½ Min ?Cj m2 2n tâches

9
Minimiser Max ?Cj est NP-complet

• Solution Partition ? solution Max ?Cj
• Partition Cx1, x2, . . . ,xn.
• Max ?Cj k ½ Min ?Cj m2 2n tâches.

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Max ?Cj analyse de SPTglouton

• Théorème 1
• Le rapport dapproximation de SPTglouton est
  3 3/m 1/m2 .
• Théorème 2
• Le rapport dapproximation de SPTglouton est
  2 2/(m2 m).

11
Max ?Cj analyse de SPTglouton

• Théorème 2
• Le rapport dapproximation de SPTglouton est
  2 2/(m2 m).
• ( exemple pour m3, rapport 11/6 )
• Preuve
• m(m-1) tâches de longueur 1
• Une tâche de longueur B m(m1)/2
• Exemple pour m3

Max ?Cj 6
Max ?Cj 11
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Plan

• On étudie la qualité des ordos. SPT sur les
  critères suivants
• Max ?Cj.
• Problème NP-complet
• Analyse de SPTglouton
• Critères dinsatisfaction des tâches
• Critère dinsatisfaction globale
• Critère dinsatisfaction individuelle
• Conclusion

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Critère dinsatisfaction globale

• Kumar, Kleinberg Fairness Measures For
  Ressources Allocation (FOCS 2000)
• Définition insatisfaction globale dun ordo. S
• Rapport max. entre date de fin de la ième tâche
  de S, et date de fin min de la ième date de fin
  de tout autre ordo.
• Cglob(X) min ? t.q. X ? ? Y ? Y ? V(I)
• Cglob(I) min Cglob(X) t.q. X ?V(I)
• Cglob max Cglob(I)

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Critère dinsatisfaction globale
Autres vecteurs V(I) X (1, 2, 5) (1, 3,
3) (1, 3, 5) (2, 3, 3) (2, 3, 4) (1, 3, 6) (1, 4,
6) (2, 3, 6) (2, 5, 6) (3, 4, 6) (3, 5, 6) Min
(1, 2, 3)

• Exemple

Vecteur X (1, 2, 4)
Cglob(X) 4/3 Cglob(I) 4/3
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Critère dinsatisfaction globale

• Théorème 1
• Cglob(XSPTglouton) 2 1/m.
• ( exemple pour m2, Cglob(XSPTglouton) 3/2 )
• Théorème 2
• Cglob 3/2 quand m2.
• Preuve du théorème 2

Cglob(I) Cglob 3/2
Vecteur X (1, 1, 3)
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Critère dinsatisfaction individuelle

• Définition insatisfaction ind. dun ordo. S
• Rapport max. entre date de fin de chaque tâche de
  S, et date de fin min de cette tâche dans tout
  autre ordo.
• Cind(X) min ? t.q. X ? ? Y ? Y ? V(I)
• Cind(I) min Cind(X) t.q. X ?V(I)
• Cind max Cind(I)
• Exemple

Vecteur X (3, 2, 3)
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Critère dinsatisfaction individuelle

• Théorème
• Cind(XSPTglouton) 1 (n-1)/m.
• Cind 1 (n-1)/m.
• Preuve de Cind 1 (n-1)/m
• exemple avec (m1) tâches de longueur 1
• Cind 2 1 (n-1)/m

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Conclusion - Perspectives

• Conclusion
• SPTglouton entre 2 2/(m2 m) et 3 3/m 1/m2
  pour Max ?Cj.
• Bons rapports dinsatisfaction.
• Perspectives
• Améliorer la borne pour SPTglouton dans Max ?Cj.
• Etudier les critères dinsatisfaction sur
  dautres ordonnancements.