Chapitre 12

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Chapitre 12

• L'intégrale Définie

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Théorème fondamental du calcul intégral
(approche intuitive)
Soit f une belle fonction et F une primitive de
f. Rappel F(x) est une primitive de f(x) si
F'(x) f(x)
Nous avons déjà vu que dF F'(a)dx f(a)dx
F(a?x) F(a) ? f(a)dx
dF ? F(a?x) F(a)
F(a?x) F(a) ? f(a)dx avec ?x ? dx
suffisamment petit.
a2?x
a?x
F(a2?x) F(a?x) ? f(a?x)dx
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Théorème fondamental du calcul intégral
(approche intuitive)
F(a?x) F(a) ? f(a)dx
a2?x
a?x
F(a2?x) F(a?x) ? f(a?x)dx
La zone en gris sera alors F(a2?x) F(a?x)
F(a?x) F(a) F(a2?x) F(a) ? f(a)dx
f(a?x)dx ? l'aire sous la courbe pour
l'intervalle a a2?x
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Théorème fondamental du calcul intégral
(approche intuitive)
F(a3?x) F(a2?x) ? f (a2?x)dx
a3?x
La zone en gris sera alors F(a3?x) F(a2?x)
F(a2?x) F(a?x) F(a?x) - F(a) F(a3?x)
F(a) ? f(a)dx f(a?x)dx f(a2?x)dx ? l'aire
sous la courbe pour l'intervalle a a3?x
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Théorème fondamental du calcul intégral
(approche intuitive)
F(b) F(ak?x) ? f (a k?x)dx
F(a?x) F(a) ? f (a)dx
ak?x
a
b
a?x
a3?x
a2?x
La zone en gris sera alors F(b) F(ak?x)
F(ak?x) F(a?x) - F(a) F(b) F(a) ?
f(a)dx f(a?x)dx f(ak?x)dx ? l'aire
"algébrique" entre la courbe et l'axe des "x"
pour l'intervalle a b
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Théorème fondamental du calcul intégral
(approche intuitive)
F(b) F(ak?x) ? f (a k?x)dx
F(a?x) F(a) ? f (a)dx
ak?x
a
b
a?x
a3?x
a2?x
Le calcul de l'aire "algébrique" sous la courbe
sera notée par
F(b) F(a) Sera appelé l'intégrale définie
pour l'intervalle a b
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Théorème fondamental du calcul intégral
(approche intuitive)

• F(b) F(a) ? f(a)dx f(a?x)dx f(ak?x)dx
• l'aire "algébrique" entre la courbe et l'axe des
  "x" pour l'intervalle a b
• Certaines valeurs de la fonction f seront
  négatives d'autres positives.

On distinguera l'aire algébrique de l'aire
géométrique qui, cette dernière sera
la partie positive la partie négative
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Exemple p.331 7
Calcul de l'aire algébrique puis de l'aire
géométrique, si elles sont différentes.
f(t) e-2t dans 0 2
Dans l'intervalle 0 2, pouvons-nous trouver
des valeurs pour lesquelles f(t) sera négative?
La fonction exponentielle est toujours positive.
Ce qui signifie que l'aire algébrique et l'aire
géométrique seront identiques.
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Exemple p.33 7(suite)
Calcul de l'aire.
f(t) e-2t dans 0 2
Posons u -2t ? du -2dt et si t 0 ? u 0,
si t 2 ? u -4,
L'adaptation des bornes à la nouvelle variable u,
nous évite de retourner à la variable x.
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Autre exemplef(x) cos x dans 0 ?
Dans l'intervalle ?/2 ?, la fonction est
Dans l'intervalle 0 ?/2, la fonction est

négative.
positive.
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Aire algébrique
Aire géométrique
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Propriétés de l'intégrale définie
0
Quelle est l'aire sous la courbe dans
l'intervalle a a ?
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Propriétés de l'intégrale définie
Si les bornes d'intégrations sont inversées,
l'intégrale définie est multipliée par 1 .
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Propriétés de l'intégrale définie
L'intégrale définie du somme (ou d'une
différence) est la somme (ou la différence) des
intégrales définies .
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Propriétés de l'intégrale définie
L'intégrale définie du produit d'une fonction par
une constante est le produit de la constante par
l'intégrale définie de la fonction.
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Exemple p.331 12 (modifié) f(t) 1 - cos t
dans 0 ?
Est-ce que f(t) change de signe dans cet
intervalle ?
Trouvons les zéros de notre belle fonction.
Si 0 ? t ? ? / 4 ? f(t) 0
lt
Si ? / 4 ? t ? ? ? f(t) 0
gt
Dans ce cas l'aire algébrique ne sera pas
identique à l'aire géométrique.
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Aire algébrique d'abord
Aire géométrique
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Valeur moyenne d'une fonction sur un intervalle
a b
Peut-on trouver une autre fonction constante dont
l'aire sous la courbe sera identique à
l'intégrale définie ?
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Valeur moyenne d'une fonction sur un intervalle
a b
La valeur moyenne d'une fonction sera la valeur
d'une fonction constante ayant la même intégrale
définie.
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Valeur moyenne d'une fonction sur un intervalle
a b
b
a
L'aire en bleu k (b a)
alors k
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Exemple Trouvons la valeur moyenne de f(x)
cos x dans 0 3 ?/4
0,3
La valeur moyenne sera alors
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Exemple p.332 27

• Le graphique suivant représente la tension
  appliquée à un circuit.

• Déterminer la tension moyenne de l'onde
  représenté.

Il nous faut calculer l'aire de l'ensemble des
triangles et diviser par la longueur notre
intervalle.
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Évidemment l'aire d'un triangle (b ? h)/2
Chaque triangle a donc une aire égale à 8 unités
(V s)
La tension moyenne sera alors
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Que serait la valeur moyenne de f(t) sin 120?t
dans 0 1/60?
Vous avez sûrement répondu 0 car sur cet
intervalle l'aire algébrique est nulle.
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Valeur efficace
La valeur efficace d'une onde est la valeur du
signal continu qui développerait la même
puissance moyenne.
Nous savons tous que P RI2 pour la puissance
dissipée par une résistance.
Supposons que l'on veut calculer la puissance
moyenne sur a b.
Le courant efficace sera alors
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Valeur efficace(suite)
Nous savons aussi que pour une tension V, la
puissance développée est P VI et que V RI,
alors
La tension efficace sera alors
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Exemple p.335 34

• Le circuit illustré comporte une source de
  tension de 120 V, une résistance de 100 ? et un
  condensateur de 200 µF. Le circuit est muni d'un
  interrupteur actionné par un moteur qui tourne à
  raison de 5 t/s.
• Représenter graphiquement l'onde décrivant la
  tension d'entrée du circuit. Quelle est la
  fréquence de cette onde ?

V
120
90
60
30
0,4
0,6
0,1
0,3
0,5
0,8
0,2
0,7
0,9
t
Chaque tour produit un cycle, nous avons donc 5
cycles par seconde.
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Exemple p.335 34

• Le circuit illustré comporte une source de
  tension de 120 V, une résistance de 100 ? et un
  condensateur de 200 µF. Le circuit est muni d'un
  interrupteur actionné par un moteur qui tourne à
  raison de 5 t/s.
• La tension de sortie du circuit est la tension
  aux bornes du condensateur. Représenter
  graphiquement l'onde décrivant cette tension.

Nous savons tous que E VR VC où VR Ri et
Vc q/C
De plus, E 120 pour la première partie d'un
cycle, le condensateur sera en charge et E 0
dans la seconde partie d'un cycle, le
condensateur sera en décharge.
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Commençons par le commencement, avec la première
partie d'un cycle.
Nous savons aussi que
Notre équation devient alors
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Si t 0, q 0 ?
e-50?0 K(0,024 0) ?
K 1/0,024
31
K 1/0,024
32
Voici la représentation graphique pour la
première partie du cycle.
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Pour la deuxième partie du cycle.
E 0, R 100 ? et C 200 µF
Cette fois notre équation de base devient
34
Pour la deuxième partie du cycle.
On avait trouvé pour la première partie que
Si t 0,1 ? VC 120 (1 e-5)
? q (0,1) VC?C 120 (1 e-5) ? 200 ? 10-6
0,024 (1 e-5)
e- 5 K ? 0,024 (1 e-5) ? K
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(No Transcript)
36
Sur un cycle complet nous aurons une
représentation graphique comme suit
37

• Calculer la tension moyenne de cette onde.

Nous pouvons écrire la tension comme suit
On se rappelle comment calculer la valeur moyenne
38
(No Transcript)
39
59,92 V
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• Calculer la tension efficace de cette onde.

Rappel du calcul de la tension efficace
41
(No Transcript)
42
(No Transcript)
43
Autre exemple 38 p.335

• Une résistance de 6 ? et une bobine de 2 H sont
  reliées en série à une source de 24 V.
• Donner la fonction décrivant le courant dans ce
  circuit.

Nous avons toujours notre équation préférée
E VR VL
qui, dans le contexte, nous donne
que l'on peut résoudre par variables séparables
44
(No Transcript)
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• Donner la fonction décrivant la tension aux
  bornes de la résistance.

• Donner la fonction décrivant la puissance
  dissipée dans cette résistance.

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Un petit rappel

• Calculer l'énergie totale dissipée dans cette
  résistance.

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Conclusion sur l'énergie de la résistance
Évidemment tant aussi longtemps que le circuit ne
sera pas ouvert, il y aura toujours un certain
courant (valeur stable du courant) qui circulera
dans le circuit. La résistance dissipera de la
chaleur indéfiniment.
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• Donner la fonction décrivant la tension aux
  bornes de la bobine.

• Donner la fonction décrivant la puissance
  dissipée dans la bobine.

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• Calculer l'énergie totale fournie à la bobine.