MPM

1
Mécanique-physique des matériaux
Lobjectif principal de cette partie du cours
est de fournir la culture minimale permettant
décrire des comportements de matériaux en
grandes déformations
et de comprendre les concepts utilisés par les
codes de calcul industriels pour les calculs en
grandes transformations.
2
Programme indicatif
Séance 1 Classification des matériaux
Séance 2 Une méthode générale de modélisation en
mécanique
description géométrique des objets, description
du mouvement, déformation, contrainte,comportemen
t.
Lexemple de la  MMC classique , la mécanique
de Cauchy concepts de déformation et de
contrainte en grandes transformations.
Séance 3 Écriture générale des relations
constitutives.
Dérivée matérielle, équations de bilan, analyse
thermodynamique des processus de déformation,
objectivité, introduction des hypothèses de
simplicité matérielle et dindifférence
matérielle, rôle de la rotation de la matière.
Forme la plus générale de lécriture des
comportements sous ces hypothèses.
Les difficultés de lidentification expérimentale
Questionnaire
Séance 4 Comportement des polymères et des
élastomères
élasticité entropique, élasticité enthalpique
Séance 5 Comportement hyperélastique.
Identification expérimentale.
Séance 6 Etude de cas de calcul de structures en
hyperélasticité
Rapport sur létude de cas ou devoir
3
Séance 3
La Mécanique des milieux tridimensionnels
classique suite et fin Niveau 3 Thermodynamique
et comportement
4
La Mécanique des milieux tridimensionnels
classique
Niveau 1 Géométrie et cinématique
Niveau 2 Définition des efforts
Niveau 3 Thermodynamique et comportement
5
La Mécanique des milieux tridimensionnels
classique
Niveau 1 Géométrie et cinématique
1/ Description de la famille d objets
2/ Description du mouvement et cinématique
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La Mécanique des milieux tridimensionnels
classique
Niveau 1 Géométrie et cinématique
Niveau 2 Définition des efforts
Niveau 3 Thermodynamique et comportement
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La Mécanique des milieux tridimensionnels
classique
Niveau 2 Définition des efforts
Méthode des puissances virtuelles
1/ Choix de l espace vectoriel des mouvements
virtuels
2/ Choix des formes linéaires définissant les
efforts
3/ Principe des puissances virtuelles
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La Mécanique des milieux tridimensionnels
classique
Niveau 1 Géométrie et cinématique
Niveau 2 Définition des efforts
Niveau 3 Thermodynamique et comportement
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La Mécanique des milieux tridimensionnels
classique
Niveau 3 Thermodynamique et comportement
1/ Analyse thermodynamique du processus de
déformation
2/ Objectivité
3/ Relations constitutives
Mais dabord quelques rappels de définitions et
résultats généraux
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Conservation de la masse
11
Dérivée matérielle
Evolution de g attachée à la particule X
12
Equations de bilan
G grandeur attachée à une quantité de matière
(par exemple la masse M ).
Exemple
13
Equations de conservation

X
Exemples Conservation de la masse Conservation
de la quantité de mouvement (équilibre) Conservati
on de l énergie totale (Premier principe de la
thermodynamique)
14
Equations de bilan
Évolution de G attachée à un ensemble de
particules
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(No Transcript)
16
Equations de bilan
Un apport volumique et un apport surfacique
17
Equations de bilan
18
Equations de bilan
Forme locale de léquation de bilan
19
Equations de bilan
Forme locale de léquation de bilan
Exemple Bilan (conservation) de la quantité de
mouvement
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1/ Analyse thermodynamique du processus de
déformation
Équation de conservation de l énergie totale
Équation de bilan d entropie
Inégalité de Clausius Duhem
21
1/ Analyse thermodynamique du processus de
déformation
On postule lexistence de lénergie totale T
attachée à lensemble des particules considérées
Lénergie totale comprend lénergie cinétique C
Lénergie totale moins lénergie cinétique est
appelée lénergie interne E
22
1/ Analyse thermodynamique du processus de
déformation
Le premier principe de la thermodynamique
postule la conservation de l énergie totale
Les particules ne produisent pas dénergie
Équation globale de conservation de lénergie
totale Premier principe de la thermodynamique en
MMC
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1/ Analyse thermodynamique du processus de
déformation
24
1/ Analyse thermodynamique du processus de
déformation
Le premier principe de la thermodynamique
implique donc 
Équation de bilan dénergie interne
25
1/ Analyse thermodynamique du processus de
déformation

26
1/ Analyse thermodynamique du processus de
déformation
Forme locale du premier principe de la
thermodynamique.
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1/ Analyse thermodynamique du processus de
déformation
Équation de conservation de l énergie totale
Équation de bilan d entropie
Inégalité de Clausius Duhem
28
1/ Analyse thermodynamique du processus de
déformation
On postule lexistence dune grandeur scalaire
S mesurant le désordre dans lensemble des
particules
Cette grandeur scalaire S est appelée lentropie
Équation de bilan d entropie
Le second principe de la thermodynamique postule
que les particules ne peuvent avoir quune
production positive dentropie
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1/ Analyse thermodynamique du processus de
déformation
Forme locale du deuxième principe de la
thermodynamique 
30
1/ Analyse thermodynamique du processus de
déformation
L apport dentropie est lié à lapport de
chaleur qui provoque au niveau microscopique une
agitation des molécules.
Pour le même apport de chaleur, laugmentation du
désordre sera moindre si le matériau est déjà
chaud et ses molécules très agitées.
Nous postulons lexistence dune grandeur
scalaire positive appelée température absolue T
telle que lapport extérieur dentropie est égal
à lapport de chaleur divisé par la température
absolue.
Lapport extérieur dentropie
terme de volume de densité
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1/ Analyse thermodynamique du processus de
déformation

32
1/ Analyse thermodynamique du processus de
déformation
Le bilan dentropie peut se réécrire 
forme locale du bilan dentropie
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1/ Analyse thermodynamique du processus de
déformation
Forme locale du bilan d énergie interne
forme locale du bilan dentropie
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1/ Analyse thermodynamique du processus de
déformation
On introduit alors la définition de la densité
massique dénergie libre
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1/ Analyse thermodynamique du processus de
déformation
36
1/ Analyse thermodynamique du processus de
déformation
Équation de conservation de l énergie totale
Équation de bilan d entropie
Inégalité de Clausius Duhem
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1/ Analyse thermodynamique du processus de
déformation
Inégalité de Clausius Duhem
dissipation intrinsèque volumique
dissipation thermique volumique
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Inégalité de Clausius Duhem
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2/Objectivité
Changement de référentiel
Définition de l objectivité
Pour les champs scalaires
Pour les champs vectoriels
Pour les champs tensoriels
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2/Objectivité
Changement de référentiel
41
2/Objectivité
Champs scalaires objectifs
Exemple élément de volume
(invariant)
Donc
Définition
Sca(x,t) est un champ scalaire objectif, si et
seulement si
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2/Objectivité
Exemples de Champs scalaires objectifs
Masse volumique
Température
Densité massique d énergie interne
Apport volumique de chaleur
Densité massique d entropie
43
2/Objectivité
Champs de vecteurs objectifs
Exemple vecteur matériel
Définition
Vec(x,t) est un champ de vecteurs objectif si et
seulement si
44
2/Objectivité
Exemples de champs de vecteurs non objectifs
Position non objective
Champ de vitesses non objectif
45
2/Objectivité
Exemple de champ de vecteurs objectif
Le gradient d un champ scalaire objectif est un
champ de vecteurs objectif
46
2/Objectivité
Autres exemples de champs de vecteurs objectifs
La force massique est objective
Le flux de chaleur est objectif
47
2/Objectivité
Champs de tenseurs d ordre 2 objectifs
Exemple
Définition
Ten(x,t) est un champ de tenseurs dordre 2
objectif si et seulement si
48
2/Objectivité
Exemples de champs de tenseurs d ordre 2 non
objectifs
Gradient de la transformation non objectif
Gradient du champ de vitesses non objectif
Tenseur de dilatation de Cauchy non objectif
Chaque composante du tenseur de dilatation de
Cauchy est objective
49
2/Objectivité
Champs de tenseurs d ordre 2 objectifs
Exemple Taux de déformation
50
2/Objectivité
Exemples de champs de tenseurs d ordre 2
objectifs
Taux de déformation objectif
Tenseur de contrainte de Cauchy objectif
51
2/Objectivité
Champs de tenseurs d ordre n objectifs
Définition Un champ de tenseurs d ordre n est
objectif si
Définition Un champ de tenseurs d ordre n est
axialement objectif si
52
2/Objectivité
Dérivée matérielle d un Champ scalaire B objectif
Dérivée à X fixé
Dérivée à X fixé
Dérivée à x fixé
La dérivée matérielle d un champ scalaire
objectif est objective.
Faux si le champ n est pas scalaire!!!
53
La Mécanique des milieux tridimensionnels
classique
Niveau 3 Thermodynamique et comportement
1/ Analyse thermodynamique de la déformation
2/ Objectivité
3/ Relations constitutives
54
La Mécanique des milieux tridimensionnels
classique
Niveau 3 Thermodynamique et comportement
3/ Relations constitutives
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La Mécanique des milieux tridimensionnels
classique
Niveau 3 Thermodynamique et comportement
3/ Relations constitutives
Forme la plus générale des relations constitutives
Principe dindifférence matérielle
Inégalité de Clausius Duhem
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3/Relations constitutives (comportement)
Notations
57
3/Relations constitutives (comportement)
Définitions des processus
(Inconnues principales)
58
3/Relations constitutives (comportement)
Données
59
3/Relations constitutives (comportement)
Grandeurs constitutives
60
3/Relations constitutives (comportement)
Histoire de la Distribution des inconnues
auxiliaires sur ?0 jusquà linstant t fonctions
du processus
Relations constitutives
Ceci est la forme la plus générale du
comportement dans le cadre de la mécanique des
milieux de Cauchy.
Notez que ce comportement est  non local 
Par exemple la contrainte est fonction des
positions de toutes les particules
61
3/Relations constitutives (comportement)
Relations constitutives
Hypothèse des Matériaux simples Inconnues
auxiliaires en X à linstant t fonctions locales
du processus
Inconnues principales en X et dans le voisinage
seulement (Premier gradient)
Le Comportement est local
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La Mécanique des milieux tridimensionnels
classique
Niveau 3 Thermodynamique et comportement
3/ Relations constitutives
Forme la plus générale des relations constitutives
Principe dindifférence matérielle
Inégalité de Clausius Duhem
63
3/Relations constitutives (comportement)
Principe d indifférence matérielle
Comportement indépendant de l observateur
64
3/Relations constitutives (comportement)
Principe d indifférence matérielle
Comportement indépendant de l observateur
Premier choix
Lobservateur suit la particule sans  tourner 
65
3/Relations constitutives (comportement)
Principe d indifférence matérielle
Comportement indépendant de l observateur
Deuxième choix
Lobservateur  tourne  avec la particule
66
3/Relations constitutives (comportement)
Principe d indifférence matérielle
Comportement indépendant de l observateur
L énergie interne, l entropie et la production
dentropie ne dépendent pas de la rotation de la
matière
67
3/Relations constitutives (comportement)
Principe d indifférence matérielle
Comportement indépendant de l observateur
Flux de chaleur
68
3/Relations constitutives (comportement)
Principe d indifférence matérielle
Comportement indépendant de l observateur
Flux de chaleur
Premier choix
Lobservateur suit la particule sans  tourner 
69
3/Relations constitutives (comportement)
Principe d indifférence matérielle
Comportement indépendant de l observateur
Flux de chaleur
Deuxième choix
Lobservateur  tourne  avec la particule
70
3/Relations constitutives (comportement)
Principe d indifférence matérielle
Comportement indépendant de l observateur
Flux de chaleur
Seule la rotation actuelle de la matière
intervient dans l expression de q et non
l histoire de la rotation.
71
3/Relations constitutives (comportement)
Principe d indifférence matérielle
Comportement indépendant de l observateur
Contrainte
72
3/Relations constitutives (comportement)
Principe d indifférence matérielle
Comportement indépendant de l observateur
Contrainte
Premier choix
Lobservateur suit la particule sans  tourner 
73
3/Relations constitutives (comportement)
Principe d indifférence matérielle
Comportement indépendant de l observateur
Contrainte
Deuxième choix
Lobservateur  tourne  avec la particule
74
3/Relations constitutives (comportement)
Principe d indifférence matérielle
Comportement indépendant de l observateur
Contrainte
Seule la rotation actuelle de la matière
intervient dans l expression de la contrainte
de Cauchy et non l histoire de la rotation.
75
3/Relations constitutives (comportement)
Récapitulons
Seule la rotation actuelle de la matière
intervient dans l expression des grandeurs
constitutives et non l histoire de la rotation.
76
3/Relations constitutives (comportement)
Point de vue lagrangien
77
3/Relations constitutives (comportement)
Point de vue lagrangien
78
3/Relations constitutives (comportement)
Point de vue lagrangien
79
3/Relations constitutives (comportement)
Point de vue lagrangien
80
3/Relations constitutives (comportement)
Point de vue lagrangien
81
3/Relations constitutives (comportement)
Point de vue lagrangien (récapitulatif)
Souvent
82
3/Relations constitutives (comportement)
Point de vue lagrangien (récapitulatif)
DONC
est aussi une grandeur constitutive
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La Mécanique des milieux tridimensionnels
classique
Niveau 3 Thermodynamique et comportement
3/ Relations constitutives
Forme la plus générale des relations constitutives
Principe dindifférence matérielle
Inégalité de Clausius Duhem
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Inégalité de Clausius Duhem
dissipation intrinsèque volumique
dissipation thermique volumique
85
Point de vue lagrangien (récapitulatif)
Inégalité de Clausius Duhem en Lagrangien
dissipation intrinsèque volumique
dissipation thermique volumique