ASSURANCE VIE

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ASSURANCE VIE
UCL

• DEUXIEME PARTIE

Professeurs Devolder / GillesInstitut des
sciences actuarielles
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Deuxième partie LES CONTRATS DASSURANCE VIE
CLASSIQUES

• Chapitre 1. Lassurance de capital différé
• Chapitre 2. Les opérations de rentes
• Chapitre 3. Les assurances décès
• Chapitre 4. Les assurances mixtes
• Chapitre 5. Les opérations sur 2 têtes
• Chapitre 6. Les chargements
• Chapitre 7. Les provisions
• Chapitre 8. Transformations et adaptation de
  contrats
• Chapitre 9. Participations bénéficiaires

3
Chapitre 1. Lassurance de capital différé1.
Pour quels besoins ?

• Capital versé à condition que lassuré soit en
  vie au terme du contrat
• En cas de décès de lassuré 0

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Chapitre 1. Lassurance de capital différé2.
Calcul de la prime unique

• En t 0 lx têtes dâge x paient 1 à
  lassureur.
• Lassureur investit la somme totale, i.e. lx,
  jusquen t n.
• En t n il reste lxn survivants qui peuvent
  se partager lx capitalisés.

5
Chapitre 1. Lassurance de capital différé2.
Calcul de la prime unique

• Si le taux dintérêt annuel garanti par
  lassureur vaut i, le capital au terme vaut
• lx (1i)n
• Chaque survivant reçoit donc

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Chapitre 1. Lassurance de capital différé2.
Calcul de la prime unique

• Graphiquement

lxn survivants dans n années (à lâge xn)
lx assurés dâge x
se répartissent les lx majorés de leurs
intérêts, soit
paient chacun 1, soit au total lx
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Chapitre 1. Lassurance de capital différé2.
Calcul de la prime unique

• Le capital obtenu au terme par les survivants est
  égal à leur mise initiale augmentée par
• la capitalisation financière à travers le taux
  dintérêt i ( taux technique) (1i)n
• leffet de levier dû à la mortalité (lxn lt lx)

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Chapitre 1. Lassurance de capital différé2.
Calcul de la prime unique

• Dès lors, quelle prime unique doit demander un
  assureur afin de pouvoir payer 1 dans n années
  à un assuré dâge x, sil est vivant à ce moment
  ?
• si
• Notation nEx

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Chapitre 1. Lassurance de capital différé3. Les
commutations

• Si on pose Dx vx lx
• On a nEx

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Chapitre 1. Lassurance de capital différé4.
Applications

• Homme
• K 1,000,000
• x 25
• n 40
• table MR 1992
• i 3.25
• PU ???

11
Chapitre 1. Lassurance de capital différé4.
Applications

• Si lassuré décède avant 65 ans, que paie
  lassureur ?
• Quelle prime doit demander lassureur sil doit
  payer le capital dans tous les cas ?

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Chapitre 1. Lassurance de capital différé4.
Applications

• Le calcul suppose
• que lassureur investira les primes perçues au
  taux technique
• que la proportion de survivants observée dans son
  portefeuille est conforme à la table de mortalité
  utilisée.
• Si telle nest pas la réalité, lassureur
  réalisera une perte ou un bénéfice selon le cas.
• La prime demandée sera majorée, afin de couvrir
  les frais dexploitation, le risque de mortalité,
  de rendement financier,

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Chapitre 1. Lassurance de capital différé4.
Applications

• Femme
• K 1,000,000
• x 25
• n 40
• table FR 1992
• i 3.25
• PU ???

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Chapitre 1. Lassurance de capital différé4.
Applications

• Homme
• K 1,000,000
• x 25
• n 40
• table MR 1992
• i 3
• PU ???

15
Chapitre 1. Lassurance de capital différé4.
Applications

• Influence des divers paramètres sur la prime
• Taux technique
• Mortalité
• Âge de lassuré
• Sexe de lassuré
• Durée du contrat

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Chapitre 1. Lassurance de capital différé4.
Applications

• Influence des divers paramètres sur la prime
• La prime sera dautant plus élevée que
• le taux technique est bas,
• la mortalité est faible,
• lâge de lassuré est bas,
• la durée du contrat est courte.

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Chapitre 1. Lassurance de capital différé4.
Applications

• Le choix des bases techniques
• Le taux dintérêt
• Lassureur doit pouvoir investir les primes à un
  taux au moins égal au taux technique pour toute
  la durée du contrat
• La table de mortalité
• Tenir compte du phénomène danti-sélection

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Chapitre 2. Les opérations de rentes1. Pour
quels besoins ?

• Paiements périodiques, tant que lassuré est
  vivant.
• Les paiements sarrêtent lors du décès de
  lassuré.

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Chapitre 2. Les opérations de rentes2. La rente
viagère à terme échu

• Lassuré dâge x paie ax à linstant 0.
• À partir de linstant 1, lassureur paie 1 tant
  que lassuré est en vie.
• ax est le capital constitutif de la rente.

1
1
1
1
0
1
2
3
20
Chapitre 2. Les opérations de rentes2. La rente
viagère à terme échu

• ax 1Ex 2Ex
• Commutations
• ax
• En posant Nx Dx Dx1Dx2
• On a ax

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Chapitre 2. Les opérations de rentes2. La rente
viagère à terme échu

• Homme
• Rente 1,000,000
• x 65
• table MR 1992
• i 3.25
• Capital constitutif ???

22
Chapitre 2. Les opérations de rentes2. La rente
viagère à terme échu

• Femme
• Rente 1,000,000
• x 65
• table FR 1992
• i 3.25
• Capital constitutif ???

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Chapitre 2. Les opérations de rentes2. La rente
viagère à terme échu

• Le calcul suppose
• que lassureur investira le capital constitutif
  au taux technique
• que la proportion de survivants observée dans son
  portefeuille est conforme à la table de mortalité
  utilisée.
• Si telle nest pas la réalité, lassureur
  réalisera une perte ou un bénéfice selon le cas.
• Le capital constitutif demandé sera majoré, afin
  de couvrir les frais dexploitation, le risque de
  mortalité, de rendement financier,

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Chapitre 2. Les opérations de rentes2. La rente
viagère à terme échu

• Influence des divers paramètres sur le capital
  constitutif
• Le capital constitutif sera dautant plus élevé
  que
• le taux technique est bas
• la mortalité est faible
• lâge de lassuré est bas.

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Chapitre 2. Les opérations de rentes3. La rente
viagère anticipative

• Lassuré dâge x paie äx à linstant 0.
• À partir de linstant 0, lassureur paie 1 tant
  que lassuré est en vie.
• äx est le capital constitutif de la rente,
  calculé immédiatement avant le premier versement.

1
1
1
1
1
0
1
2
3
26
Chapitre 2. Les opérations de rentes3. La rente
viagère anticipative

• äx 1 1Ex 2Ex
• Commutations
• äx
• Comme Nx Dx Dx1Dx2
• On a äx

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Chapitre 2. Les opérations de rentes3. La rente
viagère anticipative

• Un accident de travail frappe un homme de 33 ans
  dont le salaire annuel est de 50,000.
  Lindemnité est estimée à 25 du salaire, payable
  annuellement par anticipation durant la vie
  entière. Quel est le capital correspondant ?
• Table de mortalité MR 1992 à 3.25

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Chapitre 2. Les opérations de rentes4. La rente
viagère temporaire à terme échu

• La rente est payée aussi longtemps que lassuré
  est vivant, mais pendant n années au plus.
• Rente viagère temporaire à terme échu

29
Chapitre 2. Les opérations de rentes4. La rente
viagère temporaire à terme échu

• Un accident de la route provoque le décès dun
  cadre de 45 ans dont le salaire annuel est de
  50,000. Lindemnité de la veuve, âgée de 40 ans,
  est estimée à 60 du salaire, payable
  annuellement à terme échu pendant 20 ans. Quel
  est le capital correspondant ? Table de
  mortalité FR 1992 à 3.25.

30
Chapitre 2. Les opérations de rentes5. La rente
viagère temporaire anticipative

• Rente viagère temporaire anticipative

On a la relation
31
Chapitre 2. Les opérations de rentes6. Les
rentes viagères fractionnées

• Rente viagère fractionnée paiement dun
  arrérage
• égal à 1/m tous les mièmes dannée. Exemple
  rente mensuelle à terme échu
  paiement en fin de chaque mois

Méthode de calcul approximation hypothèse
de variation linéaire du diifére entre 2 âges
entiers ( interpolation linéaire).
32
Chapitre 2. Les opérations de rentes6. Les
rentes viagères fractionnées

• Rente viagère temporaire à terme échu fractionnée

Avec
Par interpolation linéaire on a
33
Chapitre 2. Les opérations de rentes6. Les
rentes viagères fractionnées

• Rente viagère temporaire à terme échu fractionnée

Donc
En substituant il vient
34
Chapitre 2. Les opérations de rentes6. Les
rentes viagères fractionnées

• Rente viagère temporaire à terme échu fractionnée

Donc
35
Chapitre 2. Les opérations de rentes6. Les
rentes viagères fractionnées

• Autres rentes viagères fractionnées

Et pour les rentes viagères illimitées
36
Chapitre 2. Les opérations de rentes7. Les
rentes viagères continues

• Passage à la limite

Approximation ( passage à la limite des
approximations non
continues)
37
Chapitre 2. Les opérations de rentes8. La rente
viagère en progression arithmétique croissante de
raison 1

• La version anticipative
• Le capital constitutif est noté Iäx
• Iäx 1 2 1Ex 3 2Ex
• En fonction des commutations
• Dx Iäx Dx 2 Dx1 3 Dx2
• Nx Nx1 Nx2
• En posant Sx Nx Nx1Nx2
• Iäx

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Chapitre 2. Les opérations de rentes8. La rente
viagère en progression arithmétique croissante de
raison 1

• La version temporaire anticipative
• Le capital constitutif est noté nIäx
• nIäx 1 2 1Ex 3 2Ex n n-1Ex
• En fonction des commutations
• Dx nIäx Dx 2 Dx1 3 Dx2 n Dxn-1
• Nx Nx1 Nx2 - n Nxn
• nIäx

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Chapitre 2. Les opérations de rentes9. Les
relations de décomposition

• äx räx rEx äxr
• Au lieu de souscrire une rente à lâge x, on peut
  souscrire 2 contrats
• une rente temporaire de r années
• un capital différé égal au capital constitutif
  dune rente vie entière à lâge xr.

40
Chapitre 2. Les opérations de rentes10.
Application capital différé à primes annuelles

• Engagement de lassureur paiment de 1 en cas
  de vie dans n années dune tête dâge initial x
  .
• Engagement de lassuré paiement dune prime
  annuelle P au début de chaque année tant que
  lassuré est en vie .

Calcul de P ???
Principe déquivalence actuarielle on
égale la valeur actuelle des obligations de
lassureur et de lassuré ( en prenant en compte
à la fois lactualisation financière et les
probabilités de survie)
41
Chapitre 2. Les opérations de rentes10.
Application capital différé à primes annuelles

• Engagement de lassureur
• Engagement de lassuré

Valeur de la prime annuelle
Sous forme de commutations
42
Chapitre 2. Les opérations de rentes10.
Application capital différé à primes annuelles

• Homme
• K 1,000,000
• x 25
• n 40
• table MR 1992
• i 3.25
• P ???
• Que devient cette prime si elle est payable
  mensuellement à terme échu ?

43
Chapitre 3. Les assurances-décès1. Pour quels
besoins ?

• Capital versé au moment du décès de lassuré, si
  celui-ci a lieu avant le terme du contrat
• En cas de vie de lassuré au terme du contrat 0

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Chapitre 3. Les assurances-décès2. Calcul de la
prime de risque

• En t 0 lx têtes dâge x paient 1 à
  lassureur
• Parmi les lx têtes, dx ( lx lx1) décèderont
  au cours de lannée, en moyenne en milieu dannée
  si les décès sont répartis uniformément dans
  lannée.
• Au moment du décès, lassureur peut répartir les
  lx capitalisés aux bénéficiaires des dx.

45
Chapitre 3. Les assurances-décès2. Calcul de la
prime de risque

• Si le taux dintérêt annuel garanti par
  lassureur vaut i, le capital au terme vaut
• lx (1i)0.5
• Pour chaque décès, lassureur paie donc

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Chapitre 3. Les assurances-décès2. Calcul de la
prime de risque

• Graphiquement

dx décédés dans lannée (à lâge x)
lx assurés dâge x
se répartissent les lx majorés de leurs
intérêts, soit
paient chacun 1, soit au total lx
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Chapitre 3. Les assurances-décès2. Calcul de la
prime de risque

• Le capital obtenu au terme par les bénéficiaires
  est égal à la mise initiale augmentée par
• la capitalisation financière à travers le taux
  dintérêt i ( taux technique) (1i)0.5
• leffet de levier dû à la mortalité (dx lt lx)

48
Chapitre 3. Les assurances-décès2. Calcul de la
prime de risque

• Dès lors, quelle prime doit demander un asureur
  afin de pouvoir payer 1 si lassuré décède dans
  lannée ?

49
Chapitre 3. Les assurances-décès3. Applications

• Homme
• K 1,000,000
• x 25
• n 1
• table MK 1992
• i 3.25
• Prime de risque ???

50
Chapitre 3. Les assurances-décès3. Applications

• Calcul de primes de risque successives
• Quid si lassureur doit payer 1 dans le cas où
  le décès de lassuré survient dans les n années à
  venir ?
• Lassureur doit percevoir les primes de risque
  successives suivantes
• v0.5qx, v0.5qx1, v0.5qx2, , v0.5qxn-1

51
Chapitre 3. Les assurances-décès3. Applications

• Homme
• K 1,000,000
• x 25
• n 5
• table MK 1992
• i 3.25
• Primes de risque ???

52
Chapitre 3. Les assurances-décès3. Applications

• Le calcul suppose que la mortalité observée dans
  la population assurée sera conforme à la table de
  mortalité. Sinon, lassureur réalisera un
  bénéfice ou une perte, selon le cas.
• La prime devra donc être majorée de chargements
  destinés à compenser les écarts de mortalité
  ainsi que les frais dexploitation.
• Par contre, le taux technique est sans grande
  incidence sur la prime de risque. Pourquoi ?

53
Chapitre 3. Les assurances-décès4. La prime
unique

• Lassurance décès temporaire
• Aux primes de risque successives, on peut
  substituer une prime unique payable au début de
  lassurance.
• Cette prime unique est égale au capital
  constitutif de la rente viagère variable qui
  prévoit des versements respectivement égaux aux
  primes de risque successives. Cette prime unique
  est égale à

54
Chapitre 3. Les assurances-décès4. La prime
unique

• Lassurance décès vie entière
• Le capital décès est payé par lassureur au
  moment du décès de lassuré, quel que soit le
  moment où il intervient.
• Cette prime unique est égale à

55
Chapitre 3. Les assurances-décès4. La prime
unique

• Commutations
• Avec et
• On obtient

56
Chapitre 3. Les assurances-décès5. Applications

• Homme / Femme
• K 1,000,000
• x 25
• n 40
• table MK / FK 1992
• i 3.25
• PU ???

57
Chapitre 3. Les assurances-décès5. Applications

• Homme / Femme
• K 1,000,000
• x 25
• n 40
• table MK / FK 1992
• i 3
• PU ???

58
Chapitre 3. Les assurances-décès5. Applications

• Assurance vie entière
• Homme / Femme
• K 1,000,000
• x 25
• table MK / FK 1992
• i 3
• PU ???

59
Chapitre 3. Les assurances-décès6. La prime
nivelée

• Aux primes de risque successives ou à la prime
  unique, on peut substituer une prime annuelle
  constante la prime nivelée.
• Principes de base
• Égalité entre les engagements de lassureur et
  les engagements du preneur
• Engagements de lassureur prime unique définie
  précédemment
• Engagements du preneur paiement dune prime
  constante, tant que lassuré est en vie, pendant
  une durée maximum m.

60
Chapitre 3. Les assurances-décès6. La prime
nivelée

• La prime nivelée est égale au montant servi par
  la rente viagère dont le capital constitutif est
  égal à la prime unique définie précédemment.

61
Chapitre 3. Les assurances-décès7. Applications

• Temporaire décès
• Homme / Femme
• K 1,000,000
• x 25
• n 40
• table MK / FK 1992
• i 3.25
• Prime nivelée ???

62
Chapitre 3. Les assurances-décès7. Applications

• Temporaire décès
• Homme / Femme
• K 1,000,000
• x 25
• n 40
• table MK / FK 1992
• i 3
• Prime nivelée ???

63
Chapitre 3. Les assurances-décès7. Applications

• Vie entière
• Homme / Femme
• K 1,000,000
• x 25
• table MK / FK 1992
• i 3.25
• Prime nivelée ???

64
Chapitre 3. Les assurances-décès7. Applications

• Vie entière, prime payable jusquà 65 ans
• Homme / Femme
• K 1,000,000
• x 25
• table MK / FK 1992
• i 3.25
• Prime nivelée ???

65
Chapitre 3. Les assurances-décès7. Applications

• Influence des divers paramètres sur la prime
• La prime sera dautant plus élevée que
• le taux technique est bas,
• la mortalité est élevée,
• lâge de lassuré est élevé,
• la durée du contrat est longue.

66
Chapitre 3. Les assurances-décès8. La temporaire
en progression arithmétique croissante de raison 1

• La prime unique est notée
• avec

67
Chapitre 3. Les assurances-décès9. La temporaire
en progression arithmétique décroissante de
raison 1

• La prime unique est notée

68
Chapitre 3. Les assurances-décès10. Applications

• Un prêt de 1 MM est remboursable par
  amortissement constant en 10 ans. Le solde
  restant dû doit être assuré en cas de décès de
  lemprunteur âgé de 25 ans. Les capitaux à
  assurer en cas de décès sont donc successivement
  de 1 MM, 0.9 MM,
• Homme
• Table MK 1992
• i 3.25
• PU, prime nivelée, primes de risque annuelles
  ???

69
Chapitre 3. Les assurances-décès10. Applications

• Une assurance vie est légalement résiliable à
  tout moment par le preneur.
• En cas de résiliation de lassurance par le
  preneur au cours de lannée 1, lassureur aurait
  supporté un risque estimé par la prime de risque,
  alors quil naurait encaissé que la prime
  nivelée.
• Dans ce cas, le système de la prime annuelle
  payable pendant la durée de lassurance doit être
  refusé par lassureur.

70
Chapitre 3. Les assurances-décès10. Applications

• Le preneur a le choix entre la prime unique, la
  prime de risque et la prime nivelée payable
  pendant 2/3 de la durée.
• Pourquoi 2/3 ? Empiriquement, on constate que
  cette durée est telle que la prime nivelée
  dépasse la prime de risque.

71
Chapitre 3. Les assurances-décès11. Les
relations de décomposition

• Ax rAx rEx Axr
• Au lieu de souscrire une vie entière à lâge x,
  on peut souscrire 2 contrats
• une temporaire de r années
• un capital différé égal à la prime unique dune
  vie entière à lâge xr.