Diapositive 1

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Les plantes font-elles des mathématiques?
Daprès larticle Les spirales végétales de
C. Rousseau et R. Zazoun, paru dans Accromath,
vol. 3, été-automne 2008, pp. 12-17.
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Comment la beauté vient aux plantes
La phyllotaxie (du grec phullon feuille et
taxis ordre) étudie la disposition des éléments
botaniques (graines, feuilles, écailles, etc.)
des plantes.
On distingue quatre modes principaux distique,
verticillé, spiralé et multijugué.
Phyllotaxie distique insertions successives à
180º dun élément à chaque nud.
Phyllotaxie verticillée insertion de deux ou
plusieurs élément au même nud
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Phyllotaxie spiralée insertions successives à
angle constant dun élément à chaque nud.
Phyllotaxie multijuguée insertions successives à
angle constant de deux ou plusieurs éléments à
chaque nud.
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La phyllotaxie spiralée
Les éléments botaniques forment une spirale les
reliant par ordre de leur apparition lhélice
génératrice.
Les éléments botaniques forment deux familles de
spirales reliant un élément à ses plus proches
voisins les parastiches.
Deux éléments successifs forment entre eux un
angle constant langle de divergence.
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Les parastiches
Les nombres de parastiches gauches et droites
sont le plus souvent (dans 92 des cas en
phyllotaxie spiralée et multijuguée) deux termes
consécutifs de la suite de Fibonacci, définie par
Fn2 Fn1 Fn avec F0 1 et F1 1 1, 1, 2,
3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,
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Langle de divergence entre deux éléments
successifs f F, la section dorée. F 360º / t
222,5º (ou 360º - 222,5º 137,5º) où t (1
v5) / 2 1,618034 est le nombre dor.
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Naissance dune feuille
Les feuilles et les autres éléments botaniques
naissent sous la forme de primordia (singulier
primordium) au bord de lapex situé au sommet du
meristème apical.
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Dautres photos de la vie secrète des plantes
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Comment ranger efficacement ses graines?
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Modèle simple

• Dans un cur de tournesol, les graines naissent à
  intervalles de temps égaux au bord dun petit
  disque central représentant lapex.

• Langle de divergence que fait une nouvelle
  graine avec la précédente est constant.

• Les graines séloignent de lapex en migrant
  radialement vers lextérieur à vitesse constante
  en gardant la même position angulaire.

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Comment trouver langle de divergence optimal?
Les graines sont distribuées de manière à occuper
tout lespace disponible.
Les graines salignent sur 7 rayons faisant un
angle de 360º / 7 entre eux. On remarque quil
reste beaucoup de vide entre les rayons.
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Si la fraction de tour est de la forme p / q avec
p et q entiers, alors les graines salignent sur
q rayons faisant un angle de 360º / q entre eux.
Il faut choisir un multiple irrationnel de 360º.
Mais lequel?
Remarque Seule la partie décimale de la fraction
de tour est importante. La partie entière nous
fait revenir au même point.
Remarquons les 4 parastiches bien visibles à
droite et les 11 autres, un peu moins visibles, à
gauche. Mais les nombres 4 et 11 ne sont pas
Fibonaccéens
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Les fractions continues
Quelles sont les meilleures approximations
rationnelles dun nombre irrationnel?
Quel est le nombre  le plus irrationnel ?
Cherchons les approximations rationnelles de p
3,1415926535
Ainsi p 3 1 / 7 22 / 7 3,1428571428.
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Continuons
p 3 1 / (7 1 / 15) 333 / 106
3,1415094339 Continuons
p 3 1 / (7 (1 / (15 1 / 1)) 355 / 113
3,1415929203 etc.
Les meilleures approximations successives
rationnelles de p sont
3, 22 / 7, 333 / 106, 355 / 113, ... etc.
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Tout nombre réel positif a peut être représenté
sous la forme dune fraction continue (finie pour
les rationnels et infinie pour les
irrationnelles)
où tous les an sont des entiers positifs. En
tronquant cette fraction continue, on obtient les
approximations rationnelles ou les réduites de a

Parmi tous les nombres rationnels de la forme
p/q, avec q qn, la réduite pn / qn est la
meilleure approximation rationnelle de a.
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La différence entre a et sa réduite pn / qn
Plus an1 est petit plus cette différence est
grande, et moins bonne est lapproximation par
des rationnels.
Quand lapproximation par des rationnelles
est-elle la moins bonne?
Quand tous les an sont égaux à 1!
Le nombre positif le  plus irrationnel  de la
droite numérique sécrira
Mais que vaut cette fraction continue infinie?
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t est solution de léquation caractéristique

quon peut aussi écrire
En itérant une fois
En itérant une seconde fois
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En itérant encore et encore
Remarque 1 / t t 1.
Cest bien notre développement en fractions
continues du nombre positif  le plus
irrationnel  de la droite numérique et cest la
meilleure fraction de tour possible!
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Calculons les réduites de 1 / t
Les meilleures approximations rationnelles de 1 /
t sont
1, 1/2, 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21,
21/34, 34/55, 55/89, 89/144,
qui sont les quotients de deux termes consécutifs
de la suite de Fibonacci!
On montre que
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On distingue bien 8 parastiches droites et 13
parastiches gauches.
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Mais pourquoi si la fraction de tour est égale à
1 / t alors les nombres de parastiches droites et
de parastiches gauches sont deux termes
consécutifs de la suite de Fibonacci?
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Le nombre de parastiches gauches est égal à i.
La différence entre les numéros de deux points
consécutifs est égal à i.
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Le nombre de parastiches droites est égal à j.
La différence entre les numéros de deux points
consécutifs est égal à j.
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Le point (i j) est à la distance i du point j,
il est donc sur la parastiche gauche de j.
Le point (i j) est à la distance j de i, donc
il est sur la parastiche droite de i.
Le point (i j) est à l'intersection des deux
parastiches.
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Les points i, j et (i j) sont presque alignés
avec le point 0.
Donc, il existe un entier k, tel que i f k
360º.
Même chose avec les points j ou (i j).
Mais si f 360º / t, alors k / i 1 / t.
Or, les meilleures approximations rationnelles de
1 / t sont données par ses réduites.
Et les réduites de 1 / t sont les quotients de
deux nombres de Fibonacci.
Donc, les numéros i, j et (i j) sont des
nombres de Fibonacci.
Les nombres i et j sont deux termes consécutifs
de la suite de Fibonacci.
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Modèle raffiné

• Dans un cur de tournesol, les graines naissent à
  intervalles de tempségaux au bord dun petit
  disque central représentant lapex.

• Langle de divergence que fait une nouvelle
  graine avec la précédente est constant.

• Les graines séloignent de lapex en migrant
  radialement vers lextérieur à vitesse constante
  en gardant la même position angulaire.

• Les graines ne sont pas ponctuelles.

• Les graines sont distribuées uniformément.

• Les graines ont la même aire.

Si le cur du tournesol contient n graines, son
aire totale est n aire dune graine et son
rayon est proportionnel à vn.
La nième graine, à la périphérie de la région
centrale, se trouvera à une distance égale à vn
du centre de lapex.
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Les coordonnées polaires de la nième graine sont
où d représente la fraction de tour.
On montre que le meilleur taux doccupation est
obtenue avec d 1 / t ou f 137,507764
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Comment lintelligence vient aux plantes
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LEXPÉRIENCE DE DOUADY ET COUDER
Modélisation du phénomène daprès les règles
formulées en 1868 par W. Hofmeister

• Les primordia naissent sur le bord de de lapex.
• Les primordia apparaissent à intervalles de temps
  réguliers (le plastochrone).
• Le primordium apparait au bord de lapex dans le
  plus grand espace disponible laissé par les
  autres primordia.
• Le primordium, une fois apparu, se meut
  radialement sans changer sa position angulaire.

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Le dispositif expérimental
Lexpérience consiste à déposer à intervalles
réguliers T des gouttelettes dun ferrofluide au
centre dun plateau horizontal rempli dhuile et
plongé dans un champ magnétique.
Les gouttes sont polarisées par le champ
magnétique et se repoussent entre elles.
À une certaine distance R0 du centre, la position
angulaire de la gouttelette devient constante et
elle suit uniquement un mouvement dadvection à
une vitesse V0.
Lexpérience ne dépend que du paramètre sans
dimension G V0 T / R0.
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Avant de continuer un très court court métrage
réalisé par S. Douady et Y. Couder (2 min. 04
sec., noir et blanc, titre et date inconnues).
(a) et (b) La goutte qui tombe sent uniquement
la répulsion de la goutte précédente (mode
distique).
(c) La goutte qui tombe sent la répulsion des
deux gouttes précédentes (brisure de la
symétrie).
(d) Formation de configurations phyllotaxiques.
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Instantanés de lexpérience de Douady et Couder
pour trois valeurs de G. La configuration
phyllotaxique passe de (1, 1) pour G 1 à (1, 2)
pour G 0,7 et à (5, 8) pour G 0,1.
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Notre Simulation

• Les primordia apparaissent à intervalles
  réguliers T sur un cercle (C) de rayon R0.
• On leur impose un mouvement radial de vitesse
  V(r) proportionnelle à r avec les conditions V(t
  0) V0, r(t 0) R0.
• Les particules se repoussent avec un potentiel en
  1 / d3, où d est la distance entre un primordium
  et un point de (C).
• On calcule le potentiel total sur (C) à un
  instant donné.
• On place une nouvelle particule sur (C) au
  minimum du potentiel total déterminé
  numériquement.

Remarque Le rapport des distances au centre de
deux primordia successifs, appelé rapport
plastochronique, est égal à exp(G) où G V0 T /
R0.
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Lors de la germination de la plante la valeur de
G est dabord grande et elle décroît lors de la
formation des feuilles.
On fait décroitre G exponentiellement en fonction
du nombre de primordia.
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Les nombres de parastiches sont (13, 21).
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Langle de divergence converge rapidement vers f
137,5º.
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Pour le tournesol, G se remet à augmenter lors de
lapparition des derniers fleurons au centre de
la fleur.
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On obtient une organisation très voisine de celle
de la fleur de tournesol.
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Langle de divergence converge ici aussi vers f
137,5º.
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La convergence de f vers 137,5º est le résultat
de transitions successives dune configuration
(i, j) à une nouvelle configuration (j, i j) (i
lt j).
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En guise de conclusion
De tels mécanismes dauto-organisation se
retrouvent dans de nombreux domaines de la
physique et de la biologie. Les comportements
sociaux, tels ceux des étourneaux, en sont un bel
exemple chaque oiseau ninteragit quavec ses
plus proches voisins, leur comportement est dicté
par quelques règles élémentaires, aucun meneur ne
leur indique la direction à suivre, et pourtant,
la nuée doiseaux se comporte et se déplace comme
un tout. La nuée présente des propriétés
collectives, dites émergentes, que ne possède pas
chaque oiseau pris séparément.
Jan Ambjørn, Jerzy Jurkiewicz et Renate Loll,
Lunivers quantique auto-organisé , POUR LA
SCIENCE, N371, septembre 2008, pp. 44-50.
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Références C. Rousseau et R. Zazoun, Accromath,
vol. 3, été-automne 2008, pp. 12-17. S. Douady
et Y. Couder, La Recherche, vol. 250, janvier
1993. http//irem2.u-strasbg.fr/spip/article.php3
?id_article92 http//www.mcs.surrey.ac.uk/Person
al/R.Knott/Fibonacci/fibnat2.html http//maven.sm
ith.edu/phyllo/index.html S. Douady and Y.
Couder, Phys. Rev. Lett, 68, 2098 (1992). S.
Douady and Y. Couder, J. theor. Biol., 178, 255
(1996). P. Atela, C. Golé, and S. Hotton, J.
Nonlinear Sci., 12, 641 (2002). S. Wolfram, A
New Kind of Science (Wolfram Media, Champaign,
2002).