Chapitre 8'

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Chapitre 8.

• Les fractions continues.

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Quest-ce quune fraction continue?

• Exemple. Quelle est la fraction continue
  associée à 42/17?

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• On peut aussi écrire
• 42/72,2,8.
• Théorème 1. Une fraction continue est finie si et
  seulement si elle représente un nombre rationnel.
• Notation. Si la fraction continue qui représente
  un nombre est donnée par
• a1,a2,,ak
• Alors pour nltk1,
• Cna1,a2,,an

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• On définit les suites pi et qi de la façon
  suivante
• p01, p1a1,pnanpn-1pn-2
• q00,q11, qnanqn-1qn-2
• On a alors que
• Cnpn/qn.
• Théorème 2. Soit un nombre irrationnel alors

De plus si tltqn
Ce théorème nous dit que la suite pn/qn constitue
la suite des meilleures approximations possibles
de par des rationnels.
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• Théorème 3. Un nombre est un irrationnel
  quadratique si est seulement si la fraction
  continue qui lui est associée est infinie et
  périodique.

Nous de démontrerons pas ce théorème mais nous
donnerons deux exemples.
Exemple 1. Quel est le développement de
en fraction continue?
Remarquons dabord que
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Écrivons
On a donc
Mais dautre part
Cela implique a22, a32, a42, on a donc
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Exemple 2. Quel nombre est représenté par la
fraction continue suivante?
On pose
Il en découle que
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On a donc
Mais comme
On peut conclure que