Modles de choix discrets I

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Modèles de choix discrets (I)
Dynamique des systèmes complexes et applications
aux SHS modèles, concepts méthodes
Denis PHANEcole Thématique CNRS d Agay Roches
Rouges 8 - 17 mars 2004version du 5 mars 2004
update http//www-eco.enst-bretagne.fr/phan/Ag
ayComplexiteSHS/dpdocs/ChoixDiscrets_DP.pdf
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Lensemble des choix individuels

• On considère N  agents  ( i 1,2,,N )
• Chaque agent  i  a le choix entre plusieurs
  actions possibles (choix  discret )
• On se limitera pour linstant au choix entre les
  deux branches dune alternative (choix
   binaire  ou  binomial )
• Lorsque lensemble des choix possibles contient
  plus de deux possibilités on dit que le choix est
   multinomial 
• Selon le contexte, lensemble de choix sera
  désigné par
• ? 0, 1 lorsquil sagit dun choix entre
   faire  et  ne pas faire  (par exemple,
  acheter ou ne pas acheter, participer ou pas)
• S -1, 1 lorsque le choix porte entre deux
  solutions alternatives du même ordre (choix entre
  deux normes, deux stratégies etc)
• Le choix de lagent  i  sera alors désigné par
  
• si ? S ou ?i ? ? par exemple ?i 1 pour
   acheter  et ?i 0 pour  ne pas acheter 

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Le surplus individuel

• Considérons le cas simple dun marché ou chaque
  agent a le choix entre
•  acheter  une unité dun bien ?i 1,
• ou  ne pas acheter  ?i 0.
• Les économistes désignent sous le nom de
   surplus du consommateur  la différence entre
  ce quun individu est prêt à payer pour acheter
  un bien et ce quil paie effectivement. Pour un
  prix donné p, ce surplus est une fonction du
  choix (?i) du consommateur
• (1) V(?i) ?i(Hi - p)
• Si Hi gt p, le surplus est positif si lagent
  achète (?i 1)
• Si Hi lt p, le surplus est négatif si lagent
  achète (?i 1), nul sinon (?i 0).
• Si lagent est  rationnel , cest à dire sil
  nachète pas un bien pour lequel ce quil est
  prêt à payer est inférieur au prix proposé, le
  choix de ?i maximise la fonction V(?i)

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Interdépendance entre les choix des agents

• Considérons le cas où le choix dun agent dépend
  du choix dautres agents (?k) que lon désignera
  sous le nom générique de voisinage de cet
  agent
• k ??, lensemble des indices des  voisins  de
  lagent  i .
• (sans que cela implique nécessairement une
  proximité géographique).
• Dans le cas le plus simple (dépendance additive
  et linéaire, influence limitée aux choix
  observés), on peut alors réécrire la fonction de
  surplus de la manière suivante (2) V(?i)
  ?i(Hi ?? Jik ?k - p)
• La  disposition à payer  est alors égale à Hi
  ?? Jik?k
• Elle peut être décomposée en deux termes.
• le premier Hi correspond aux préférences
   idiosyncrasiques  de lagent  i  (la
  disposition à payer en labsence
  dinterdépendance).
• le second terme ??Jik?k correspond à la somme
  cumulée de leffet des choix dans le voisinage de
  lagent. Jik mesure donc leffet  social  du
  choix de lagent k sur les préférences de
  lagent i

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Interprétation de leffet de dépendance sociale

• Quelles sont les conséquences du choix dun
  voisin  k  de lagent  i  sur sa disposition
  à payer ?
• Si le voisin  k  nachète pas (?k 0 ),
  leffet sera nul.
• Si le voisin  k  achète (?k 1 ), , la
  disposition à payer augmentera de Jik.
• On notera que les Jik ne sont pas univoques de
  nombreuses interprétations de la  dépendance
  sociale  sont possibles.
• On considèrera le plus souvent des situations où
  Jikgt 0, mais des situation avec Jik lt 0 ne
  peuvent être à priori exclues.
• On considèrera également souvent des situations
  où les Jik sont constants dans la période
  considérée, mais ils pourraient varier dans le
  temps Jik(t) ou dépendre dautres variables du
  modèle Jik(X).
• Des formalisations plus sophistiquées
  relativement aux choix du voisinage peuvent aussi
  être envisagées. En particulier, leffet de
  dépendance peut être une fonction des choix
  anticipés, plutôt que des choix observés.

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Hétérogénéité  interactionnelle  et
 idiosyncrasique 

• Nous désignerons par  hétérogénéité
  interactionnelle  (ou  sociale ) la diversité
  des préférences des agents relativement à leffet
  de leur environnement spécifique à court terme.
• Cette forme dhétérogénéité doit être distinguée
  de  lhétérogénéité idiosyncrasique  qui
  représente les préférences des agents
  indépendamment des effets de dépendance sociale à
  court terme
• Pour bien comprendre les implications de cette
  différence, considérons une population dagents
  avec des préférences idiosyncrasiques identiques
  Hi H pour tout i
• Deux agents auront des disposition à payer
  différentes dès lors que leffet cumulé des
  adoptions ( ?k 1 ) dans leur voisinage sera
  différent (multiples causes possibles)

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Une formulation plus générale

• On peut donner une formulation plus générale à
  notre fonction de surplus

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Effets de la dépendance sociale sur les choix
adoption  directe  et  indirecte 

• Le choix dadopter peut être causé directement
  par une variation des prix à environnement donné,
  ou indirectement par une variation du nombre
  dadopteur dans le voisinage ? ? soit avec des
  anticipations  myopes 

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complexité de la demande leffet dhystéresis

• Dans ce qui suit, nous considérerons un cas très
  simple
• L influence sociale sera supposée positive,
  homogène, symétrique et normalisée sur le
  voisinage
• Chaque agent est influencé par lensemble de la
  population (ce qui est approximativement
  équivalent au choix moyen pour de grandes
  populations)
• La population est idiosyncrasiquement homogène
  Hi H pour tout i

• Entre p H et p H J, il y a deux niveaux
  déquilibre possibles pour la demande ? ? ? et
  ? ? ?.
• La réalisation dun équilibre particulier dépend
  des anticipations des agents et/ou de
  lhistorique des prix

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effet dhystéresis et partage du surplus global

• Pour un niveau de prix, il y a deux niveaux de la
  demande, entre P H et P H J. Il y a
  également deux moyens pour atteindre l équilibre
  haut les anticipations de surplusex ante de la
  part des consommateurs, une baisse des prix
  jusquau niveau P H pour le vendeur
  (historique)
• Le partage du surplus dépend du niveau des prix
• si P H, tout le surplus (soit J) va aux
  consommateurs.
• En P H J, tout le surplus est approprié
  par le vendeur

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Anticipations, tarification et dynamique de la
demande

• Considérons le surplus anticipé

• En t 0, le produit nest pas présent sur le
  marché.
• 50 des agents ont des anticipations optimistes
  ?a(0) 1
• 50 ont des anticipations pessimistes ?a-(0)
  0
• On étudie le cas où H ?? P ?? HJ
• Les optimistes ont un surplus anticipé positifs
  et achètent

• En t 1, les acheteurs observent le taux
  dadoption ?1 1/2
• On suppose que leurs anticipations deviennent
  myopes(égales à leurs observations) ?a (1) ?1
  1/2
• si p ? H J/2 tout le monde adopte
• si p ? H J/2, plus personne nachète le produit

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Régimes de profit avec distribution bimodale des
préférences

• Si seuls les agents H2 adoptent  ?(p2) ?
  (p2-c).Q(p2) ?(p2) (H2 J.?2 - c).N.?2 p2
  H2 J.? 2 ? ?2
• Si tous les agents adoptent  ?(p1) ?
  (p1-c).Q(p1) (H1J-c) N p1 H1 J  ? 1

Profit part tête (? ? ?/N) avec H1 c 0
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choix entre deux solutions alternatives (1)

• Considérons la fonction de surplus suivante

• Hi désigne les préférences idiosyncrasiques de
  lagent,et X une variation de surplus de valeur
  exogène, mais de signe dépendant du choix de
  lagent (par exemple un transfert monétaire en
  (dé)faveur dune alternative)
• Comme dans le cas précédent, la valeur de H (de
  X) exprime le biais personnel (exogène) de
  lagent en faveur de lune ou lautre des
  alternatives.
• Si (Hi X) ? ? il y aura un biais en faveur du
  choix si ??
• Si (Hi X) ? ? il y aura un biais en faveur du
  choix si ??

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choix entre deux solutions alternatives (2)

• Désignons par ??i et ??i la proportion des
  voisins de lagent  i  qui choisissent
  respectivement Sk ? ?? et Sk ? ??

• Linfluence sociale, pondérée par J, mesure le
   degré de conformité  entre le choix de lagent
  et ceux de son voisinage.
• Cet effet dépendent de la proportion des agents
  qui choisissent chaque branche de lalternative
  (??i et ??i )

• Remarque on reprouve le modèle de demande
  précédent si on pose

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complémentarité stratégique, conformité

• Lorsque les J?i sont positifs, J?i ?J/Ni ? 0,
  on peut montrer quil y a complémentarité
  stratégique entre les choix de deux agents dans
  la mesure ou deux choix similaires (1,1) ou (0,0)
  conduisent à une variation positive de la
  fonction dinteraction S(si,s-i) précisément
  égale à J?i .

• Elle est aussi vérifiée pour  leffet de
  conformité  de Bernheim (1994)

Qui est équivalent au précédent à une constante
(J/2) près.
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Liens avec la théorie des jeux

• Chaque agent (joueur) dispose de deux choix
  alternatifs (deux  stratégies ). On peut
  représenter la part du surplus associée à chaque
  confrontation entre deux voisin par une matrice
  représentant un jeu symétrique sous forme
   normale 

• Où V0?i ? V0i /N?i H?i ? H i/N?i X?i ?
  X/N?i J?i ? J/N?
• A droite V0?i 5 H?i ? 2 X ?i ? ?1 J?i
  ? 4