Chapitre 10

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Chapitre 10 Tarification avec arbres binomiaux
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Introduction

• Jusquà présent, prix établis en absence
  darbitrage. Cette approche a des limites.
• Dans ce chapitre et les prochains, on modélise
  les fluctuations du sous-jacent et les prix des
  produits dérivés en découlent.
• Hypothèse du modèle binomial pour chaque période
  jusquà échéance, le prix du sous-jacent monte ou
  descend dun certain montant.
• Particulièrement utile pour les options
  américaines.
• Simple permet de comprendre lintuition derrière
  des modèles plus complexes.
• Souvent appelé modèle/arbre de Cox-Ross-Rubinstein
  (CRR)

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10.1 Modèle à 1 période
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Portefeuille de réplication
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Portefeuille de réplication
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Cohérence interne (internal consistency)
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Arbitrage sur les marchés
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Interprétation graphique
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Tarification neutre au risque
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Tarification neutre au risque
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Arbre de CRR
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10.2 Modèle à plusieurs périodes

• À chaque période, le titre peut monter du facteur
  u ou descendre du facteur d
• Recombinaison ud du
• Après n périodes, il y a n1 prix possibles
• Lévaluation dun produit se fait en 3 étapes
• chaînage avant (forward propagation) on projette
  le prix du titre dans larbre depuis le temps t0
  jusquà léchéance tT
• pour chaque prix possible, on calcule le
  versement
• chaînage arrière (backward propagation) on
  actualise les versements depuis léchéance
  jusquau temps t0

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Arbre à plusieurs périodes

• Notation Si,j prix du titre après i périodes
  parmi lesquelles, il y a eu j hausses

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Généralisations

• 10.3 Options de vente la même formule de
  chaînage arrière sapplique
• 10.4 Options américaines à létape 3 (chaînage
  arrière), on tient compte de la possibilité
  dexercice avant échéance

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10.5 Autres sous-jacents

• Pour la plupart des autres types de sous-jacent,
  on remplace le taux de dividende par la valeur
  appropriée

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Options sur obligations

• Similitude
• Les obligations verse un coupon qui sapparente
  au dividende dun titre
• Différences
• La volatilité dune obligation décroît à
  lapproche de léchéance
• Le prix dune obligation fluctue avec les taux
  dintérêt qui ont été supposés connus et
  constant
• Coupons payés en temps discret
• Sujet traité en détail au chapitre 24