Introduccin a los Test de Hiptesis

1
Introducción a los Test de Hipótesis

• Capítulo11

2
11.1 Introduction

• El propósito de las Pruebas de Hipótesis es
  determinar si hay suficiente evidencia
  estadística a favor de un cierto supuesto o
  hipótesis acerca de un parámetro.
• Ejemplos
• En una muestra aleatoria de clientes potenciales
  hay evidencia estadística que apoye la hipótesis
  de que más del 10 de los clientes potenciales
  comprarán un nuevo producto?
• De registros pasados se sabe que la vida útil
  promedio de una pila de un reloj digital es de
  305 días. Este elemento fue recientemente
  modificado para que tenga mayor duración. Se
  seleccionó al azar una muestra de 20 pilas
  modificadas y se encontró que la vida media era
  de 311 días. La duración media de la nueva pila
  es mayor?

3
11.2 Conceptos de Test de Hipótesis

• Los conceptos básicos de los Tests de Hipótesis
• EjemploEl Jefe de Almacenes necesita determi-
  nar si la demanda del producto durante el período
  de reaprovisionamiento es mayor de 350.
• Si es así, cambiará la política de
  reaprovisionamiento.
• Hay dos hipótesis acerca de una media
  poblacional
• H0 La hipótesis nula m 350
• H1 La hipótesis alternativa m gt 350

Esto es lo que hay que probar
4
11.2 Conceptos de Test de Hipótesis

• Suponga que la hipótesis nula es cierta (m 350).

m 350

• Tome una muestra de la demanda en la población y
  cons- truya un estadístico relacionado con el
  parámetro de la hipótesis (la media muestral).
• La pregunta es Si H0 es correcta, qué probable
  es obtener una media muestral al menos tan
  extrema como la observada de la muestra?

5
11.2 Conceptos de Test de Hipótesis

• Suponga que la hipótesis nula es cierta (m 350).

m 350

• En este caso no es probable que la media m sea
  mayor de 350. No rechace la hipótesis nula.

6
Tipos de Errores

• Pueden ocurrir dos tipos de errores cuando se
  decide si se rechaza H0 en base al valor de un
  estadístico muestral.
• Error de Tipo I Rechazar H0 cuando es cierta.
• Error de Tipo II No rechazar H0 cuando es
  falsa.
• Continuación del ejemplo
• Error de Tipo I Rechazar H0 (m 350) en favor
  de H1
• (m gt 350) cuando el valor real de m es 350.
• Error de Tipo II Aceptar que H0 es correcta (m
  350) cuando el valor real de m es mayor que
  350.

7
Control de la Probabilidad de cometer un error
de tipo I

• Tener en cuenta
• H0 m 350 y H1 m gt 350.
• H0 se rechaza si es suficientemente grande
• O sea se comete un error tipo I si
  cuando m 350.
• Seleccionando adecuadamente el valor crítico se
  puede limitar la probabilidad de cometer un error
  tipo I a un ni- vel aceptable.

8
11.3 Test para una Media Poblacional cuando se
conoce ?x poblacional

• Ejemplo 11.1
• Un nuevo sistema de facturación de una empresa
  será eficiente solo si el promedio mensual de las
  cuentas es mayor de 170.
• Un muestra de 400 facturas tiene una media de
  178.
• Si las cuentas se distribuyen en forma
  aproximadamente normal con s 65, se puede
  concluir que el nuevo sistema es eficiente?

9
Test para una Media Poblacional (se conoce s )

• Ejemplo 11.1 Solución
• La población de interés son las cuentas a crédito
  de una empresa.
• Se quiere saber si la cuenta promedio para todos
  los clientes es mayor de 170.

H1 m gt 170

• La Hipótesis Nula debe especificar un solo valor
  del el parámetro m,

H0 m 170
10
Enfoques para los Tests

• Hay dos enfoques para probar si la la media
  muestral apoya la hipótesis alternativa (H1)
• El método de la región de rechazo cuando el test
  se resuelve a mano (pero se puede usar también
  cuando se dispone de un software estadístico)
• El método del valor-p que se usa mayormente
  cuando se dispone de un software.

11
El Método de la Región de Rechazo
La región de rechazo es un rango de valores tal
que, si el test estadístico cae dentro de ese
rango, se rechaza la hipótesis nula en favor de
la hipótesis alternativa.
12
El Método de la Regió de Rechazo para un test
unilateral derecho

• Ejemplo 11.1 Continuación de la solución
• Tener en cuenta H0 m 170
  H1 m gt 170 entonces,
• Parece razonable rechazar ha hipótesis nula y
  aceptar que m gt 170 si la media muestra es
  suficientemente grande.

Rechazar H0aquí
Valor crítico de la media muestral
13
El Método de la Región de Rechazo para un test
unilateral derecho

• Ejemplo 11.1 continuación
• Se define un valor crítico para que
  sea lo
• suficientemente grande para rechazar la Hipótesis
  nula.

14
Determinación del valor críticopara la Región de
Rechazo

• Sea ? la probabilidad de cometer un error de Tipo
  I (tambien llamado el nivel de significación).
• Encuentre el valor de la media muestral que sea
  suficientemente grande de manera que la proba-
  bilidad de cometer un error de Tipo I no exceda
  de a.
• Observe

15

Determinación del Valor Crítico para un Test
unilateral derecho
Ejemplo 11.1 Continuación de la solución
P(cometer un error Tipo I ) P(rechazar H0 dado
que H0 es cierta)
que se llamará a.

16
Determinación del Valor Crítico para un Test
unilateral derecho
Ejemplo 11.1 Continuación de la solución
a
0,05
17
Determinción del Valor Críticopara un test
Unilateral derecho
Conclusión Dado que la media muestral (178) es
mayor que el valor crítico de 175,34, hay
suficiente evidencia para inferir que la media de
las cuen- tas mensuales es mayor de 170, con un
nivel de significación del 5 .
18
El test estadístico estandarizado

• En vez de usar el estadístico , se puede usar
  el valor estandarizado z.
• Entonces, la región de rechazo pasa a ser

Test de una cola
19
El test estadístico estandarizado

• Ejemplo 11.1 - continuación
• Se repetirá el ejemplo usando el test estadístico
  estandarizado.
• Tener en cuenta H0 m 170
• H1 m gt 170
• El Test estadístico es
• Región de rechazo z gt z0,05 1,645.

20
El test estadístico estandarizado

• Ejemplo 11.1 - continuación

Conclusión Dado que Z 2,46 gt 1.645, se rechaza
la hipótesis nula en favor de la hipótesis
alternativa.
21
El Método del valor-P

• El valor-p provee información acerca de la
  cantidad de evidencia estadística que apoya la
  hipótesis alternativa.

22
El Método del valor-p
La probabilidad de observar un test estadístico
al menos tan extremo como 178, dado que m 170
es
El valor-p
23
Interpretación del valor-p

• Puesto que la probabilidad de que la media
  muestral tome un valor mayor que 178 cuando m
  170 es tan pequeña (0,0069), hay razones para
  aceptar que m gt 170.

24
Interpretación del valor-p
Se puede concluir que cuando menor es el
valorp, existe mayor evidencia estadística
para apoyar la hipótesis alternativa.
25
Interpretación del valor-p

• Descripción del valor-p
• Si el valor-p es menor que el 1, hay una
  evidencia muy fuerte que apoya la hipótesis
  alternativa.

• Si el valor-p está entre el 1 y el 5, hay una
  fuerte evidencia que apoya la hipótesis
  alternativa.
• Si el valor-p está entre el 5 y el 10, hay una
  evidencia débil que apoya la hipótesis
  alternativa.
• Si el valor-p supera el 10, no hay evidencia que
  apoye la hipótesis alternativa.

26
Los Métodos del valor-p y de la Región de
Rechazo

• Cuando se toman decisiones basadas en los métodos
  de la región de rechazo, el valor-p se puede
  usar de la siguiente manera
• Definir la hipótesis a probar y el nivel de
  significación a.
• Realizar el procedimiento muestral,calcular el
  test estadístico y el valor-p asociado con él.
• Comparar el valor-p con a. Rechazar la hipótesis
  nula sólo si el valor-p es lta en otro caso, no
  rechazar la hipótesis nula.

27
Conclusions de un Test de Hipótesis

• Si se rechaza la hipótesis nula, se concluye que
  hay suficiente evidencia para inferir que la
  hipótesis alternativa es verdadera.
• Si no se rechaza la hipótesis nula,se concluye
  que no hay suficiente evidencia estadística para
  inferir que la hipótesis alternativa es verdadera.

La hipótesis alternativa es la más
importante. Representa qué se está investigando.
28
Un Test Unilateral izquierdo

• El ejemplo del Sobre Estampillado.
• El Jefe financiero de FedEx cree que incluyendo
  un sobre estampillado y auto-rotulado (SEA) en
  las fac-turas mensuales que envía a sus clientes
  disminuirá el tiempo que tardan los clientes en
  pagarlas.
• Actualmente,los clientes realizan los pagos en 24
  días en promedio, con un desvío estándar de 6
  días.

29
Un Test Unilateral Izquierdo

• El ejemplo del sobre estampillado continuación
• Se ha calculado que una mejora de 2 días en el
  promedio cubriría los costos de los sobres (los
  cheques se pueden depositar antes).
• Se seleccionó una muestra aleatoria de 220
  clientes y a los clientes seleccionados se les
  enviaron los sobres junto con sus resúmenes de
  cuenta.
• Se registró el tiempo de pago de los
  clientes.(SSA.xls)
• El Jefe de Finanzas puede concluir que el plan
  será beneficioso con un nivel de significación
  del 10? ?

30
Un Test Unilaterial izquierdo

• El ejemplo del Sobre de SEA Solución
• El parámetro a probar es el tiempo promedio de
  pago poblacional (m).
• Las hipótesis sonH0 m 22H1 m lt 22 (El
  Jefe quiere saber si el plan tendrá beneficios).

31
Un Test Unilateral Izquierdo

• El ejemplo del sobre de SEA Continuación
• La región de rechazo Tiene sentido pensar que m
  lt 22 si la media muestral es suficientemente
  menor que 22.
• Rechazar la hipótesis nula si

32
Un Test Unilateral izquierdo

• El ejemplo del sobre de SEA continuación
• El test estandarizado de una sola cola
  (izquierda)es

Definir la región de rechazo
Dado que -0,91 gt 1,28 no se rechaza la hipótesis
nula. El valor-p P(Zlt-0,91) 0,1814 Como
0,1814 gt 0,10, no se rechaza la hipótesis nula.
33
Un Test Bilateral

• Ejemplo 11.2
• ENTEL fue acusada por los competidores que
  afirman que sus tarifas resultan en una menor
  facturación.
• Un estadístico estima que la media y el desvío
  estándar de las facturas de larga distancia de
  ENTEL para clien- tes residenciales son 17,09 y
  3,87 respectivamente.

34
Un Test bilateral

• Ejemplo 11.2 - continuación
• Se selecciona una muestra aleatoria de 100
  clientes y se recalculan las facturas con las
  tarifas de un competidor líder.(ver fichero
  Xm11-02).
• Suponiendo que el desvío estándar es el mismo
  (3,87), se puede inferir que existe diferecia
  entre las tarifas de ENTEL y las del competidor
  (en promedio)?

35
Un Test bilateral

• Solución
• La media es distinta de 17,09?

H0 m 17,09

• Definir la región de rechazo

36
Un Test bilateral
Solución - continuación
17,09
Se quiere que el rechazo erróneo de H0 sea un
evento raro, por ej. con 5 de probabilidad
37
Un test bilateral
Solución - continuación
17,09
38
Un Test bilateral
Hay insuficiente evidencia para inferir que hay
diferencia entre las tarifas de ENTEL y las del
competidor.
También, usando el enfoque del valor-p El
valor-p P(Zlt -1,19)P(Z gt1,19) 2(0,1173)
0,2346 gt 0,05
a/2 0,025
a/2 0,025
-1,19
1,19
39
11.4 Cálculo de la Probabilidad de un Error
de Tipo II

• Para interpretar correctamente los resultados de
  un test de hipótesis, se necesita
• especificar un nivel de significación apropiado ó
  el criterio del valor-p de un test
• Entender las relaciones entre los errores de Tipo
  I y de Tipo II.
• Cómo se calcula un error de Tipo II?

40
Tests de Hipótesis para Porcentajes

• En una muestra aleatoria de 500 adultos se
  preguntó Estaría dispuesto a pagar más impuestos
  para mejorar la seguridad?
• 216 personas contestaron afirmativamente.
• Las hipótesis son

41
Tets de Hipótesis para Porcentajes

• Se calcula el valor del test estadístico y se lo
  convierte en un valor p
• Valor p 2 (0.0012) 0.0024
• Decisión El valor p es pequeño y se rechaza H0

42
Cálculo de la Probabilidad de un Error de Tipo
II

• Para calcular un error de Tipo II se necesita
• - expresar la región de rechazo directamente, en
  términos de los parámetros (no estandarizados).
• Especificar el valor alternativo bajo la H1.
• Volviendo al Ejemplo 11.1

43
Cálculo de la Probabilidad de un Error de Tipo
II
Expresar la region de rechazo directamente, no
estandarizada

• Sea el valor alternativo de m 180 (en vez de
  solo
• m gt170)

Especificar el valor alternativo bajo H1.
No rechazar H0
44
Cálculo de la Probabilidad de un Error de Tipo
II

• Un error de Tipo II ocurre cuando no se rechaza
  una H0 falsa

No se rechaza... .una H0 falsa
45
Cálculo de la Probabilidad de un Error de Tipo
II
m 170
46
Efectos sobre b de cambios en a

• Disminuyendo el nivel de significación a, aumenta
  el valor de b, y viceversa.

a1
b1
m 170
m180
47
Valoración del Test

• Un test de hipótesis está efectivamente definido
  por el nivel de significación a y el tamaño de
  muestra n.
• Si la probabilidad de un error de Tipo b se
  conside- muy grande, podemos reducirla
• aumentando a, y/ó
• aumentando el tamaño de la muestra.

48
Evaluación del Test

• Aumentando el tamaño de muestra se reduce b

49
Evaluación del Test

• Aumentando el tamaño de muestra se reduce b

Observe qué pasa cuando n aumenta
a no cambia, pero b disminuye
50
Evaluación del Test

• Aumentando el tamaño de muestra se reduce b
• En eI Ejemplo 11.1, suponga que n aumenta de 400
  a 1000.

• a permanece en el 5, pero la probabilidad de un
  error de Tipo II disminuye significativamente.

51
Valoración del Test

• Potencia de un test
• El poder de un test se define como 1 - b.
• Representa la probabilidad de rechazar la
  hipótesis nula cuando es falsa.

52
Test de Diferencia de dos medias

• 1. Varianzas conocidas o tamaños de muestras
  grandes.
• Se dispone de muestras independientes de n1 y n2
  oservacio-nes de dos variables con distribución
  normal con medias ?1 y ?2
• La variable
• Luego la variable
• tiene distribución normal

53
Test de Diferencia de dos medias

• Ejemplo Se desea conocer si existen diferen-
  cias entre los sueldos anuales promedios de los
  Técnicos de dos entes autárquicos.Se suponen
  conocidas las varianzas poblacionales.
• Se toman una muestra de los salarios y se tiene
  la siguiente información

54
Test de Diferencia de dos medias

• Las hipótesis son
• Ho ?1 ?2
• H1 ?1 ? ?2
• Se rechaza Ho si
• zHo ?z?/2 ó zHo ?(1-?/2).

• Si las variables tienen distribución normal y se
  conocen las varianzas poblacionales la fórmula
  anterior se puede utilizar para muestras
  pequeñas.
• También cuando las mues tras son grandes (n? 30 )
  y se desconocen las varian- zas poblacionales.

Usando el valor pp(z?2.35) 0.0094, menor que
?/20.025, se rechaza Ho.
55
Test de Diferencia de dos medias
56
Test de Diferencia de dos medias

• Solución por EXCEL