Introduccin a la trigonometra y a las funciones trigonomtricas

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Introducción a la trigonometríay a las funciones
trigonométricas
Shirley Bromberg Raquel Valdés
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Un poquito de historia

• Trigonometría es una palabra de etimología
  griega, aunque no es una palabra griega. Se
  compone de trigonon que significa triángulo y
  metria que significa medición. Y se habla de ella
  como matemática práctica.

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• La trigonometría resuelve el siguiente problema
  conocidos algunas de las componentes de un
  triángulo, determinar las restantes
• La geometría (teórica) nos dice cuándo ciertos
  datos determinan que salvo por posición un
  triángulo de lados dados, la trigonometría
  (práctica) nos dice cómo calcular los restantes.

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Comencemos con triángulos rectángulos.
Si conocemos dos de los lados del triángulo, como
el Teorema de Pitágoras afirma que
c
b
a2 b2 c2,
a
conocemos el tercer lado. Eso sí, debemos saber
si los lados que conocemos son catetos o la
hipotenusa.
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Resolución de triángulos rectángulos.
Pero no tenemos ninguna información acerca de los
ángulos. A continuación comenzaremos a abordar
este problema.
Dividimos los catetos en r partes iguales, y
formamos una retícula. Los catetos de los
triángulos de las esquinas miden a/r, b/r y su
hipotenusa será, por el Teorema de Pitágoras
igual a c/r.
NOTEMOS que la hipotenusa pasa por los puntos de
la retícula. Los triángulo de las esquinas
tienen los mismos ángulos.
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Las observaciones anteriores permiten resolver el
siguiente
Problema

• Cuál será la altura del árbol que proyecta una
  sombra de 4 m si se encuentra al lado de Alberto
  que mide 1.75 m y proyecta una sombra de 3.5 m ?

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Sigamos con el problema de encontrar los ángulos
en triángulos rectángulos.
Vamos a escoger triángulos normalizados, que
representen a cada triángulo rectángulo.

Tomaremos triángulos con hipotenusa unitaria.
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Construcción de triángulos de hipotenusa unitaria

c
b
1
b/c
de
pasamos a
1
a
a/c
a2 b2 c2
(a/c)2 (b/c)2 1
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Relacionamos ángulos y longitudes con Tablas de
Cuerdas
cuerda
En un comienzo, a cada ángulo se asoció la
cuerda subtendida por él en una circunferencia
de radio fijo.
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Tablas de cuerdas
Razonando con la figura al lado se muestra que
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Tablas de cuerdas
Para conseguir nuevos valores se usa la identidad
y se obtienen tablas de cuerdas que van de 5o en
5o.
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Construcción de Tablas
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La figura muestra las funciones trigonométricas
asociadas a un ángulo agudo ubicado en una
circunferencia
cotangente
coseno
cosecante
tangente
radio
seno
secante
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Funciones trigonométricas seno de un ángulo agudo
1
c
a/c
a
b/c
b
15
Funciones trigonométricas coseno de un ángulo
agudo
1
c
a/c
a
b/c
b
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Funciones trigonométricas tangente y cotangente
de un ángulo agudo
1
c
a/c
a
b/c
b
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Funciones trigonométricas secante y cosecante de
un ángulo agudo
1
c
a/c
a
b/c
b
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Todas las funciones trigonométricas de un ángulo
agudo pueden expresarse a partir de una de ellas,
a modo de ejemplo tomemos sen





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Identidades Trigonométricas
La identidad fundamental es consecuencia
del Teorema de Pitágoras
1
sen
cos
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Identidades Trigonométricas
Si es el ángulo complementario de , hay
un triángulo rectángulo que los tiene como
ángulos agudos y se tiene que
1
sen
cos
21
Identidades Trigonométricas
En una diapositiva anterior demostramos que
1
o bien, tomando
22
Funciones Trigonométricasde ángulos arbitrarios
Para calcular el seno (o el coseno) de un ángulo
agudo , colocamos un triángulo rectángulo como
en la figura. El seno (o coseno) del ángulo es
la ordenada (o la abscisa) del punto de
intersección de la hipotenusa con el
círculo.
Pero no es necesario tener todo el rectángulo,
basta con tener la recta que une con el
origen.
23
Funciones Trigonométricasde ángulos arbitrarios
DEFINIMOS para un ángulo , medido a partir de
la recta contra las manecillas del reloj
l
l
la ordenada de
la abscisa de
24
Funciones Trigonométricasde ángulos arbitrarios
l
La tangente de un ángulo , medido a partir de
la recta contra las manecillas del reloj, es
la longitud (orientada) señalada
l
25
Funciones Trigonométricasde ángulos arbitrarios
I
II
l
VI
III
Cómo obtuvimos la última hilera de la tabla?
26
Medida absoluta de ángulosRADIANES

• El círculo unitario también nos permite usar
  longitudes para medir ángulos, aprovechando que
  el ángulo es proporcional al arco que subtiende.
  Un ángulo de un radián es el ángulo que subtiende
  un arco de longitud uno.

1
27
Medida absoluta de ángulosRADIANES

• Como la circunferencia unitaria mide 2?, un
  cuarto de circunferencia mide ?/2 y como un
  ángulo recto sub-tiende un cuarto de
  circunferencia, el ángulo recto mide ?/2 radianes.

28
Medida absoluta de ángulosRADIANES

90o
Como
?/2
Entonces si Rad es la medida de un ángulo en
radianes y Grad la medida en grados,
29
Medida absoluta de ángulosRADIANES

30
Actividad I
Construir un triángulo cuyos lados sean de
longitud 3, 4 y 5 . Comparar los distintos
triángulos que se obtienen.
Nota cada quien es libre de escoger la escala
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Actividad I
Con la escala proporcionada, medir la razón entre
pares de lados del triángulo diseñado Medir en
centímetros los lados del triángulo diseñado y
obtenga la razón entre los pares de lados
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Actividad II

• Para cada uno de los triángulos rectángulos
  proporcionados, midan las siguientes razones,
  según el ángulo marcado con el círculo rojo
• Cateto opuesto e hipotenusa
• Cateto adyacente e hipotenusa
• Cateto opuesto y cateto adyacente

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Actividad II
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Problema
En una circunferencia de centro O y radio 5
está trazada una cuerda que mide 3.5 cuánto
mide el ángulo central asociado? En la misma
circunferencia, halle la longitud de la cuerda
subtendida por un ángulo de 72o.
5
O
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Problema
Una cuerda de 100m de largo se estira un metro
más y se sostiene del centro (ver la figura).
A qué altura se encuentra el punto C? Dé una
medida aproximada del ángulo .
101m
C
100m
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Pregunta
cuáles son los valores máximo y mínimo de la
función seno ?
cuáles son los valores máximo y mínimo de la
función coseno ?
c
a
alguno de los catetos puede ser mayor que la
hipotenusa?
b
cuáles son los valores máximo y mínimo de la
función tangente ?
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Problema
Con apoyo del círculo unitario, construya la
gráfica de la función sen
(0,1)
(-1,0)
(0,1)
(-1,-1)
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Problema

• Trace los triángulos rectángulos definidos por
  las siguientes ternas de puntos
• (0,0), (8,0), (8,6)
• (0,0), (-4,0), (-4,3)
• (0,0), (-3,0), (-3,-4)
• (0,0), (8,-6), (8,0)
• En cada uno de los triángulos trazados, ubique
  el ángulo formado entre la hipotenusa y el eje de
  las abscisas.
• Calcule el seno, coseno y tangente de tal ángulo.

39
Problema