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TEMA 6 SEMEJANZA
Matemáticas 4º E.S.O y 1º Bach.
6.1 Figuras semejantes

• Dos figuras que tienen la misma forma, aun con
  diferentes dimensiones, se llaman semejantes.
• Dos figuras son semejantes si sus ángulos
  correspondientes son iguales y sus lados
  correspondientes proporcionales.
• Los elementos que se corresponden (puntos,
  segmentos, ángulos ) se llaman homólogos.

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Matemáticas 4º E.S.O y 1º Bach.
6.1 Figuras semejantes Planos
Dos figuras del plano son semejantes si los
cocientes de de los segmentos determinados por
pares cualesquiera de puntos correspondientes son
iguales.
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6.2 Teorema de Tales
Toda recta paralela a un lado de un triángulo,
que corta a los otros dos lados, determina un
triángulo semejante al grande.
Los triángulos ABC y AB'C' son semejantes
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6.3 Semejanza de triángulos
Dos triángulos son semejantes si tienen los lados
proporcionales y los ángulos iguales.
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6.3 Primer criterio de semejanza de triángulos
Dos triángulos son semejantes si tienen dos
ángulos iguales.

• Por el Teorema de Tales A'B''C'' y A'B'C' son
  semejantes.
• Por otra parte los triángulos ABC y A'B''C'' son
  iguales, por tener un lado igual y los ángulos
  iguales.
• Por tanto ABC A'B''C'' es semejante al
  triángulo A'B'C'.

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6.3 Segundo criterio de semejanza de triángulos
Dos triángulos son semejantes si tienen los lados
proporcionales.

• Por el Teorema de Tales A'B''C'' y A'B'C' son
  semejantes.
• Por otra parte los triángulos ABC y A'B''C'' son
  iguales, por tener un lado igual y ser los lados
  de ambos proporcionales a los del triángulo
  A'B'C' con la misma razón de proporcionalidad.
• Por tanto ABC A'B''C'' es semejante al
  triángulo A'B'C'.

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6.3 Tercer criterio de semejanza de triángulos
Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados
proporcionales y el ángulo comprendido igual.

• Por el Teorema de Tales A'B''C'' y A'B'C' son
  semejantes.
• Por otra parte los triángulos ABC y A'B''C'' son
  iguales, por tener dos lados proporcionales con
  la misma razón de proporcionalidad y el ángulo
  comprendido igual.
• Por tanto ABC A'B''C'' es semejante al
  triángulo A'B'C'.

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6.4 Teorema de Pitágoras

• En un triángulo rectángulo, la suma de los
  cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de
  la hipotenusa.
• Si los lados de un triángulo verifican la
  relación de Pitágoras, el triángulo es rectángulo.

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6.4 Teorema del cateto
Cateto c
Cateto b
c2 n2 h2 n2 mn n(n m)
na
b2 m2 h2 m2 mn m(m n)
ma
En un triángulo rectángulo el cuadrado de un
cateto es igual al producto de la hipotenusa por
la proyección del cateto sobre la misma.
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6.4 Teorema de la altura
Los triángulos I y II son semejantes ya que
Se deduce que
En un triángulo rectángulo el cuadrado de la
altura sobre la hipotenusa es igual al producto
de las proyecciones de los catetos sobre la
hipotenusa.
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6.5 Áreas de figuras semejantes
IA 1 pA 4 SA 1
IB 2 pB 8 SB 4
IC 3 pC 12 SC 9
Cuadrado A
Cuadrado B
Cuadrado C