Clculo de Primer Orden

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Cálculo de Primer Orden
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Cálculo de Primer Orden

• Introducción
• En la lógica proposicional, no es posible
  expresar propiedades sobre los componentes de una
  estructura, por ejemplo
• Todos los hombres son inmortales
• Socrates es un hombre,
• por tanto, Socrates es inmortal.
• La correctitud de tales deducciones no sólo
  depende de las relaciones de verdad entre los
  enunciados involucrados, sino que también de la
  estructura interna de tales enunciados y de los
  significados de las expresiones tales como
  todo", algún", existe un", etc.

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Cálculo de Primer Orden

• Para hacer que la estructura de los enunciados
  complejos sea más transparente, es conveniente
  introducir una notación especial para representar
  tales expresiones.
• En general, si P(x) representa la afirmación de
  que x tiene o cumple con la propiedad P, entonces
  ?xP(x) significa que para toda x P se cumple.
• A su vez, la expresión ?xP(x) indica que existe
  un objeto x que cumple con P. De esta forma.

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Cálculo de Primer Orden

• Esencialmente, la lógica de primer orden extiende
  a la lógica proposicional en el sentido que
  permite que los símbolos proposicionales tengan
  argumentos los cuales varían (i.e., toman
  valores) sobre los elementos de alguna
  estructura.
• Dada una estructura M y una fórmula A, para un
  asignamiento de valores s tomados a partir de M a
  las variables que ocurren en A, la noción de
  satisfactibilidad expresa la afirmación que el
  asignamiento s satisface a la fórmula A en M, lo
  cual se denota por
• M As

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Cálculo de Primer Orden

• Una fórmula es válida en una estructura M si es
  satisfecha para todo asignamiento s y se dice
  universalmente válida si es válida en toda
  estructura.
• Sin embargo, a diferencia de la lógica
  proposicional, no existe un algoritmo para
  decidir si una fórmula en lógica de primer orden
  es o no válida.
• No obstante, es posible encontrar un
  procedimiento que construya una prueba si la
  fórmula de entrada es válida. Este procedimiento
  podrá no detenerse si la fórmula de entrada no es
  válida.

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Cálculo de Primer Orden

• Sintaxis
• En contraste con la lógica proposicional, los
  lenguajes de primer orden tienen dos partes
• una parte fija, que consiste de los conectivos
  lógicos, variables y símbolos auxiliares
• una parte que depende de la aplicación propuesta
  (parte no lógica) del lenguaje, la cual consiste
  de símbolos predicado, símbolos función y
  constantes.
• Definición (Alfabeto) El alfabeto de un lenguaje
  de primer orden consiste de los siguientes
  conjuntos de símbolos
• Parte fija

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Cálculo de Primer Orden

• Conectivos lógicos , v, , ?, ?, ?,
  cuantificadores ? (para todo), ? (existe) y el
  símbolo de igualdad ?.
• Variables conjunto infinito contable V x0,
  x1, x2, ...
• Símbolos auxiliares (agrupadores) (" y )".
• Parte no lógica L (todos los siguientes son
  conjuntos contables posiblemente infinitos o
  vacíos y disjuntos para evitar ambigüedad)
• Símbolos de función FS f0, f1, ... y una
  función denominada rango (aridad) r FS ? N que
  indica el número de argumentos para f.
• Constantes CS c0, c1, ... (cada uno de rango
  0).
• Símbolos Predicado PS P0, P1, ... y su
  función de rango r PS ? N (los predicados de
  rango 0 son símbolos proposicionales).

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Cálculo de Primer Orden

• Denotaremos por L al lenguaje de primer orden con
  un conjunto de símbolos no lógicos L.
• Definición (Términos) Dado un lenguaje de primer
  orden L, sea ? V?CS?FS. Para cada f ? FS de
  aridad n gt 0 se tiene su función Cf (?)n ? ?
  tal que, para toda cadena t1, ..., tn ??.
• Cf (t1, ..., tn) f t1 ... tn.
• Denotamos por TERML al conjunto de términos, y
  es la cerradura inductiva de V?CS bajo los
  constructores Cf. Una descripción informal es la
  siguiente
• Toda constante y variable es un término.
• Si t1, ..., tn son términos y f un símbolo
  función de aridad ngt0 entonces f t1 ... tn es un
  término.

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Cálculo de Primer Orden

• Definición (Formulas Atómicas) Dado un lenguaje
  de primer orden L, sea ????PS. Para todo
  predicado P de aridad ngt0, sea CP la función CP
  (?)n ?? tal que, para toda cadena t1, ...,tn ?
  ?
• CP (t1, ..., tn) Pt1 ... tn
• A su vez, sea C? (?)2??, tal que para toda
  cadena t1, t2 ? ?
• C? (t1, t2) ? t1t2
• Denotamos por Latomic al conjunto de fórmulas
  atómicas, el cual es la cerradura inductiva de la
  pareja de los conjuntos TERML ? P P? PS,
  r(P)0 ? ? bajo las funciones CP y C?.

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Cálculo de Primer Orden

• Como descripción informal, tenemos la siguiente
• Todo símbolo predicado P de aridad 0 es una
  fórmula atómica, y también ?.
• Si t1, ..., tn son términos y P es un símbolo
  predicado de aridad n gt0 entonces P t1 ... tn es
  una fórmula atómica, y también ? t1t2.
• Definición (Formulas) Sea ? ? ? , v, , ?,
  ?, ?, ?, ?, ?, (, ). Sean las funciones
  constructoras C, Cv, C?, C?, C, definidas sobre
  ? (como en el caso proposicional), y las
  funciones Ai, Ei, definidas tal que para toda
  cadena D ? Ai(D) ?xi D y Ei(D) ?xi D.

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Cálculo de Primer Orden

• Denotamos al conjunto de fórmulas sobre el
  lenguaje de primer orden L por FORML, el cual es
  la cerradura inductiva del conjunto de fórmulas
  atómicas Latomic bajo las funciones constructoras
  asociadas a los conectivos y cuantificadores C,
  Cv, C?, C?, C, Ai y Ei. Como descripción
  informal
• Toda fórmula atómica es una fórmula.
• Para cualesquiera formulas A y B, las expresiones
  (A B), (A v B), (A ? B), (A ? B) y A también
  son fórmulas.
• Para cualquier variable xi ? V , cualquier
  fórmula A, las expresiones ?xi A y ?xi A también
  son fórmulas.
• Los paréntesis pueden omitirse ante la
  descripción jerárquica de los conectivos que se
  hizo en el caso proposicional.

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Cálculo de Primer Orden

• Libre Generación del conjunto de Términos y
  Fórmulas
• Primero se definirá una función K que permitirá
  indicar si un término está completo (en el
  sentido que todos sus argumentos están presentes)
  y de igual forma que en el caso proposicional, se
  estableceran las condiciones de libre generación
  sobre las funciones constructoras sintácticas.

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Cálculo de Primer Orden

• Sea K ??N, K(s) 1 n, donde n es el número de
  términos que deben seguir a s para obtener un
  término sintácticamente correcto (n es la
  deficiencia de cola" de s)
• K(x) 1 0 1, x ?V
• K(c) 1 0 1, c ? CS,
• K(f) 1 n, f ? FS de aridad n.
• Extendiendo K a cadenas de símbolos
• K(w) K(w1)...K(wm) donde w w1 ... wm
• Los siguientes resultados serán utilizados para
  demostrar la libre generación de TERML

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Cálculo de Primer Orden

• Lema Para cualquier término t, K(t) 1.
• Lema Ningún prefijo propio de un término es un
  término.
• Teorema TERML está libremente generado por V y
  CS como átomos y las funciones Cf como
  operadores.
• Lema Para cualquier fórmula A, K(A) 1.
• Lema Para cualquier prefijo propio w de una
  fórmula A, K(w) ? 0.
• Lema Ningún prefijo propio de una fórmula es a
  su vez una fórmula.

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Cálculo de Primer Orden

• Teorema El conjunto de fórmulas FORML está
  libremente generado por Latomic como átomos y las
  funciones C ( conectivo lógico), Ai y Ei como
  operadores.
• Variables Libres y Acotadas
• En la lógica de primer orden, las variables
  pueden ocurrir acotadas por los cuantificadores,
  se define a continuación.
• Definición (Variable Libre) Dado un término t,
  el conjunto FV(t) de variables libres de t se
  define recursivamente
• FV(xi) xi, xi ? V
• FV(c) ? c ? CS
• FV(f t1, ..., tn) FV(t1) ? ... ? FV(tn) r(f)
  n

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Cálculo de Primer Orden

• Para una fórmula A ? FORML, FV(A)
• FV(Pt1, ..., tn) FV(t1) ? ... ? FV(tn) r(P)
  n
• FV(?t1t2) FV(t1) ? FV(t2)
• FV(A) FV(A)
• FV((A B)) FV(A) ? FV(B) ? , v, ?, ?
• FV(?) ?
• FV(?xi A) FV(A) xi
• FV(?xi A) FV(A) xi
• Un término t es cerrado si FV(t) ?.
• Una fórmula A es cerrada si FV(A) ? (también se
  le denomina sentencia).
• Una fórmula sin cuantificadores se denomina
  abierta.

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Cálculo de Primer Orden

• Definición (Variables Acotadas) Dada una fórmula
  A, el conjunto BV (A) se define
• BV (P t1, ..., tn) ?
• BV ( ? t1t2) ?
• BV (A) BV (A)
• BV ((A B)) BV (A) ? BV (B) ? , v, ?, ?
• BV (?) ?
• BV (?xi A) BV (A) ? xi
• BV (?xi A) BV (A) ? xi
• BV (?xi A) ? FV(?xi A) no necesariamente es ? la
  misma variable puede ser tanto libre como acotada
  en A.

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Cálculo de Primer Orden

• Ejemplo
• A ?x(R(x, y) ? P(x)) ?y(R(x, y) ?x
  (P(x))).
• Vemos que FV(A) x, y y BV (A) x, y.
• Sea B ?x(R(x, y) ? P(x)).
• Ahora FV(B) y, BV (B) x.
• Finalmente, sea C ?y (R(x, y) ?xP(x)).
• FV(C) x, y BV(C) x, y.

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Cálculo de Primer Orden

• Substituciones
• Se define la operación de substitución de un
  término para una variable libre en un término o
  en una fórmula.
• Definición (Substitución) Sean s, t ? TERML , x
  ? V. El resultado de substituír t por x en s, se
  denota por st / x y se define recursivamente

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Cálculo de Primer Orden

• Para A ? FORML, At / x se define

?
?
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Cálculo de Primer Orden

• Ejemplo Sea A ?x ( P(x) ? Q(x, f(y)) ), y sea
  t g(y). Tenemos las substituciones siguientes
• f(y)t / y f(g(y)), At / y ?x(P(x) ? Q(x,
  f(g(y)))) pero At / x A debido a que x está
  acotada en A.
• Existen substituciones en las cuales alguna
  variable en el término t se vuelve acotada al
  realizar la substitución At / x, lo cual puede
  cambiar el valor de verdad inapropiadamente
• Sea A ?x(x lty)x / y ?x(x lt x).

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Cálculo de Primer Orden

• El enunciado ?x(x lt x) es falso en una estructura
  de orden total, pero ?x(x lt y) si puede ser
  satisfecha en dicha estructura.
• Definición Un término t es libre para x en A si,
  ya sea que
• 1. A es atómica, o
• 2. A (B C), y t es libre para x en B y C, ó
• 3. A B y t es libre para x en B, ó
• 4. A ?y B (o A ?y B) y ya sea que x y ó x
  ? y y ? FV(t) y t es libre para x en B.

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Cálculo de Primer Orden

• Si una fórmula A contiene x como variable libre
  lo describimos por A(x) y abreviamos At / x por
  A(t).
• Ejemplo
• 1. Sea A ?x (P(x) ? Q(x, f(y))), el término
  g(y) es libre para y en A, pero g(x) no es libre
  para y en A.
• Si tomamos a B ?x (P(x) ? ?z Q(z, f(y))),
  entonces g(z) no es libre para y en B, pero g(z)
  está libre para z en B (pues la substitución
  Bg(z)/z no está permitida ya que z está
  acotada).

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Cálculo de Primer Orden

• 2. El término x2 está libre para x1 en P(x1),
  pero xj no está libre para xi en ?xj P(xi). El
  término f(x1, x3) está libre para x1 en ?x2 P(x1,
  x2) ? Q(x1), pero no está libre para x1 en ?x3
  (?x2 P(x1, x2)) ? Q(x1).
• 3. Cualquier término que no contenga variables
  libres es libre para cualquier variable en
  cualquier fórmula.
• 4. Un término t es libre para cualquier variable
  en A si ninguna de las variables de t está
  acotada en A.
• 5. xj es libre para xj en cualquier fórmula.
• 6. Cualquier término es libre para xi en A si A
  no contiene ocurrencias libres de xi.

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Cálculo de Primer Orden

• Semántica de Lenguajes de Primer Orden
• La semántica de una fórmula se obtiene mediante
  la interpretación de los símbolos de función,
  constantes y predicados en L y asignándoles
  valores a las variables libres, para lo cual, se
  necesita el concepto de estructura.
• Estructuras de Primer Orden
• Una estructura de primer orden le asigna
  significado a los símbolos de L.

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Cálculo de Primer Orden

• Definición (L-estructura) Dado un lenguaje de
  primer orden L, una L-estructura M (M,I), donde
  M ?? es el dominio (o carrier') e I es la
  función de interpretación que asigna funciones y
  predicados en M a los símbolos en L de la
  siguiente forma
• 1. Para cada f ? FS, r(f) n gt0 I(f) Mn ? M
• 2. Para cada c ? CS, I(c) ? M
• 3. Para cada P ? PS, r(P) n gt0, I(P) Mn ?
  BOOL
• (I definida sobre símbolos predicado de aridad 0
  es una valuación en PROP).
• Notación I(f) se denota como fM, I(c) como cM,
  I(P) como PM .

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Cálculo de Primer Orden

• El valor de verdad de una fórmula A dependerá
  generalmente de los asignamientos s de valores
  específicos respecto al dominio M de variables.
• Se define la semántica de una fórmula A como una
  función AM definida a partir del conjunto de
  asignamientos de valores en M a las variables,
  hacia el conjunto BOOL.
• Definición (Asignamiento) Dados L y L-estructura
  M, un asignamiento es cualquier función s V ?
  M. Denotamos como V ? M al conjunto de todas
  las funciones de asignamiento.

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Cálculo de Primer Orden

• Se denota por AM V ? M ? BOOL la
  interpretación o significado de A en el dominio
  correspondiente M, y V ? M ? BOOL denota el
  conjunto de todas tales funciones.
• Se necesita extender los conectivos al conjunto
  de funciones V ? M ? BOOL.
• Definición Dado cualquier dominio M no vacío,
  dado cualquier a ? M y cualquier asignamiento s
  V ? M, sxi a denota el nuevo asignamiento s
  V ? M tal que s(y) s(y), para y ? xi y
  s(xi) a para todo i ? 0, se definen (Ai)M y
  (Ei)M funciones de V ? M ? BOOL hacia V ?
  M ? BOOL como sigue

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Cálculo de Primer Orden

• para cada f ? V ? M ? BOOL (Ai)M(f) para
  cada s ? V ? M,
• (Ai)M(f)(s) F si y sólo si f(sxi a) F
  para algún a ? M
• (Ei)M(f) para cada s ? V ? M,
• (Ei)M(f)(s) T si y sólo si f(sxi a) T
  para algún a ? M.
• Definición Dado el dominio M, las funciones M,
  vM, ?M, ?M sobre V ? M ? BOOL x V ? M ?
  BOOL hacia V ? M ? BOOL y M de V ? M ?
  BOOL a V ? M ? BOOL se definen como sigue

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Cálculo de Primer Orden

• para cualesquiera funciones f, g ? V ? M ?
  BOOL, para todo s ? V ? M,
• (definir los significados para t ? TERML y A ?
  FORML)

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Cálculo de Primer Orden

• Definición Dada una L-estructura M, tM V ? M
  ? M es tal que para todo asignamiento s ? V ?
  M, el valor tM se define recursivamente
• 1. xMs s(x) x ? V
• 2. cMs cM c ? CS
• 3. (f t1... tn)Ms f((t1)Ms, ..., (tn)Ms)
• Se formula una definición recursiva para AM V
  ? M ? BOOL
• 1. Formulas atómicas
• para todo asignamiento s ? V ? M,
• a) (P t1 ... tn)Ms PM((t1)Ms, ...,
  (tn)Ms)
• b) (? t1t2)Ms if (t1)Ms (t2)Ms then T
  else F
• c) (?)Ms F.

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Cálculo de Primer Orden

• 2. formulas no atómicas
• a) (A B)M M(AM, BM)
• b) (A)M M (AM)
• c) (?xiC)M (Ai)M (CM)
• d) (?xiC)M (Ei)M (CM )
• (?xiA)Ms T iff AMsxi m T, para toda
  m ? M
• (?xiA)Ms T iff AMsxi m T, para algún
  m ? M.
• Si M es infinito, la evaluación de (?xiA)Ms (o
  ? respectivamente) requiere verificar
  infinitamente muchos valores (de hecho, todos los
  los valores verdaderos AMsxi m,m ? M). Por
  tanto, no existe un algoritmo para calcular su
  valor de verdad.

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Cálculo de Primer Orden

• Satisfacción, Validez y Modelo
• Definición Sea L un lenguaje de primer orden y M
  una L-estructura.
• 1. A ? FORML, s ? V ? M, M satisface A con S si
  y sólo si AM s T M As.
• 2. A es satisfactible en M si y sólo si existe
  algún asignamiento s tal que AM s T
  (existencia de M).
• 3. A es válida en M (o verdadera en M) iif AM s
  T para todo s, M A, (M es un modelo de A)

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Cálculo de Primer Orden

• A es universalmente válida si y sólo si A es
  válida en toda estructura A.
• 4. ? es satisfactible si y sólo si existen una
  estructura M y un s tales que M As para cada
  A ? ?,
• M es un modelo de ? iif M es un modelo de cada A
  ? ?, M ?.
• ? iff M ? para toda M.
• 5. B es una consecuencia semántica de ? ? B
  iif para toda M y toda s, if M As para cada A
  ? ? then M Bs.

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Cálculo de Primer Orden

• Teoría de Pruebas el Sistema Gentzen G
• Se Considera primero el caso para lenguajes de
  primer orden L sin igualdad.
• El sistema de inferencia G para lógica de primer
  orden mantiene a las reglas de inferencia para
  los conectivos lógicos de G, así que resta por
  introducir las reglas asociadas a los
  cuantificadores

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Cálculo de Primer Orden

• donde x es cualquier variable y y es cualquier
  variable libre para x en A, pero acotada en A
  solamente si y x (i.e., y ? FV(A) x). El
  término t es cualquier término libre para x en A.

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Cálculo de Primer Orden

• Nótese que tanto en la regla (? ?) como en la
  regla (? ?) la variable y no ocurre libre en el
  secuente inferior (conclusión), en estas reglas y
  se denomina la eigenvariable de la inferencia.
• La fórmula sobre la cual se aplica la regla (ya
  sea ?x A ó ?x A) se denomina fórmula principal
  mientras que la fórmula At/x (o Ay/x) se
  denomina fórmula lateral de la inferencia.
• Los axiomas de G son todos los secuentes ???
  tales que ?????.

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Cálculo de Primer Orden

• Se define a continuación cuándo un secuente es
  falsificable ó válido
• Definición 1. Un secuente A1, ..., An ? B1, ...,
  Bm es falsificable si y sólo si para alguna
  estructura M y un asignamiento s
• M (A1 ... An) (B1 ... Bm)s
• Cuando n 0 la condición se reduce a
• M (B1 ... Bm)s
• y cuando m 0 entonces queda
• M (A1 ... An)s

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Cálculo de Primer Orden

• 2. Un secuente A1, ..., An ? B1, ..., Bm es
  válido si y sólo si para toda estructura M y todo
  asignamiento s
• M (A1 v ... v An v B1 v ... v Bm)s
• lo cual se denota por A1, ..., An ? B1, ...,
  Bm.
• Un secuente es válido únicamente cuando no es
  falsificable.
• Los árboles de deducción y de prueba para G se
  definen de igual forma que para el caso
  proposicional pero aplicando obviamente las
  reglas que se han descrito.

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Cálculo de Primer Orden

• Ejemplo Sea A ?x (P ? Q(x)) ? (P ? ?z Q(z)),
  donde P es un símbolo proposicional y Q un
  símbolo predicado unario.
• El siguiente es un árbol de prueba para A, note
  que Py1/x P.
• ax
• ax Q(y1), P ? Q(y1), ?zQ(z)
• P ? P, ?z Q(z) Q(y1), P ? ?zQ(z) (? ?)
• P, P ? Q(y1) ? ?zQ(z) (? ?)
• P ? Q(y1) ? P ? ?zQ(z) (? ?)
• ?x(P ? Q(x)) ? P ? ?zQ(z) (? ?)
• ? ?x(P ? Q(x)) ? (P ? ?zQ(z)) (? ?)

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Cálculo de Primer Orden

• Sea ahora A (?xP(x) ?yQ(y)) ? (P(f(v))
  ?zQ(z)), donde P, Q y f son unarios. El siguiente
  es un árbol de prueba para A
• ax
• P(f(v)), ?xP(x), Q(u) ? Q(u)
• P(f(v)), ?xP(x), Q(u) ? ?zQ(z) (? ?)
• II P(f(v)), ?xP(x), ?yQ(y) ? ?zQ(z) (? ?)
• P(f(v)), ?xP(x), ?yQ(y) ? P(f(v)) ?zQ(z) (? )
• ?xP(x), ?yQ(y) ? P(f(v)) ?zQ(z) (? ?)
• ?xP(x) ?yQ(y) ? P(f(v)) ?zQ(z) ( ?)
• ? (?xP(x) ?yQ(y)) ? (P(f(v)) ?zQ(z)) (? ?)
• donde II P(f(v)), ?xP(x), ?yQ(y) ? P(f(v)).

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Cálculo de Primer Orden

• Completitud de G
• Dado un secuente (posiblemente infinito) ???, el
  propósito es intentar falsificarlo, para lo cual
  el procedimiento búsqueda debe tener las
  siguientes propiedades
• 1. Si el secuente original es válido, búsqueda se
  detiene después de un número finito de pasos,
  produciendo un árbol de prueba.
• 2. Si el secuente original es falsificable,
  búsqueda produce un árbol posiblemente infinito,
  y a lo largo de alguna rama (posiblemente
  infinita) se puede demostrar que un conjunto
  Hintikka existe, el cual produce un contra
  ejemplo para el secuente.

43
Cálculo de Primer Orden

• Fundamentalmente el problema es modificar el
  procedimiento expansión para tomar en
  consideración los cuantificadores.
• Dado ??? se puede asumir que el conjunto de todas
  las variables que ocurren libres en alguna
  fórmula en el secuente es disjunto del conjunto
  de todas las variables que ocurren acotadas en
  alguna fórmula en el secuente.
• Ésta condición asegura que los términos que
  ocurren en alguna fórmula en el secuente son
  libres para realizar substituciones.

44
Cálculo de Primer Orden

• Primero, también es conveniente extender las
  reglas de los cuantificadores de la siguiente
  forma
• Definición Las reglas extendidas (??) y (??)
  son
• donde t1, ..., tk son términos libres para x en
  A cualesquiera.

45
Cálculo de Primer Orden

• Se mantiene una pareja de listas de control para
  el uso de los términos y variables nuevas
• Sea TERM0 una lista no vacía de términos y
  variables definida de la siguiente forma. Si no
  hay variables ni constantes en alguna fórmula de
  ???
• TERM0 lt y0 gt,
• donde y0 es la primer variable del conjunto V
  que no ocurre en ninguna fórmula de ???. De lo
  contrario,
• TERM0 lt u0, ..., up gt,
• es una lista de todas las variables libres y
  constantes que ocurren en ???. Sea
• AVAIL0 lt y1, ..., yn, ... gt,
• una lista contable disjunta de TERM0 que
  contiene variables que no ocurren en ninguna
  fórmula de ???.

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Cálculo de Primer Orden

• Los términos en TERM0 y las variables de AVAIL0
  se utilizarán como las t's y las y's para las
  aplicaciones de las reglas de cuantificadores
  (??) y (??).
• Dado que las variables de TERM0 no ocurren
  acotadas en el secuente original y las variables
  de AVAIL0 son nuevas, las substituciones At/x y
  Ay/x son libres.
• Conforme la búsqueda de un contraejemplo para el
  secuente original progrese, se debe registrar en
  cada paso cual de las u0, ..., up, y1, y2, ...
  han sido utilizadas (activadas) hasta el momento.

47
Cálculo de Primer Orden

• Cada vez que una regla (??) ó (??) sea aplicada,
  se utilizará como variable y a la que se
  encuentre al inicio de la lista AVAIL0,
  eliminándose y se incorpora y al final de la
  lista TERM0.
• Cada vez que se apliquen las reglas (??) y (??)
  se utilizará como término t a cada uno de los
  términos u0, ..., uq de la lista TERM0 que no
  hayan sido previamente utilizados como término t
  para esa misma regla en la misma fórmula
  principal. Por tanto, se debe registrar también
  sobre que fórmula ha sido utilizado un término ui.

48
Cálculo de Primer Orden

• Si un secuente tiene la propiedad que todas sus
  fórmulas no son ni atómicas ni de la forma ?xA (o
  ?xA) tal que todos los términos en TERM0 ya han
  sido utilizados como términos para las reglas
  (??) y (??), y este secuente no es un axioma,
  entonces nunca se volver a un axioma y se puede
  detener su expansión.
• La lista TERM0 será una lista de registros de la
  forma lt ui, FORM0(i) gt donde sus campos son ui
  es un término y FORM0(i) es una lista de fórmulas
  de la forma ?xA (o ?xA) que han utilizado a ui
  como el término t para las reglas (??) y (??).
  Inicialmente, cada FORM0(i) es la lista vacía, y
  serán actualizadas cada vez que un término t se
  utilice en una regla (??) y(??).

49
Cálculo de Primer Orden

• Finalmente, se necesita tomar en consideración la
  actualización cuidadosa de las listas al final de
  una ronda, así las mismas substituciones serán
  aplicadas a todas las ocurrencias de una fórmula.
• Por tanto, se mantendrá una variable auxiliar
  TERM1 local dentro de búsqueda, durante una
  ronda, TERM1 se actualiza y solo al final de la
  ronda TERM0 recibe la versión actualizada de
  TERM1.
• Una hoja del árbol construído por el
  procedimiento buscar está finalizada si y sólo si
  , ya sea que.
• 1. El secuente está etiquetado por un axioma, o
• 2. El secuente contiene solamente átomos o
  fórmulas ?xA (o ?xA) que pertenecen todos a las
  listas FORM0(i) para cada una de las lt ui,
  FORM0(i) gt en FORM0.

50
Cálculo de Primer Orden

• El procedimiento buscar se obtiene modificando el
  procedimiento para el caso proposicional e
  incorporando la iniciación de TERM1 y AVAIL0.
• Definición. (procedimiento búsqueda) La entrada
  es un árbol de un nodo etiquetado con el secuente
  ??? y la salida en un árbol posiblemente infinito
  T denominado árbol de deducción sistemático.
• Ejemplo. Sea A ?x(P ? Q(x)) ? (P ? ?zQ(z)).
• AVAIL0 lt y1, y2, ... gt, dado que A no tiene
  variables libres, TERM0 ltlt y0, nil gtgt. Después
  de la primer ronda, se tiene el siguiente árbol.
• ?x(P ? Q(x)) ? P ? ?zQ(z)
• ? ?x(P ? Q(x)) ? (P ? ?zQ(z)) (? ?)

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Cálculo de Primer Orden

• TERM0 y AVAIL0 no cambiaron.
• A continuación, cuando se aplica (??) se utiliza
  y1 de la cabeza de AVAIL0 y se obtiene el
  siguiente árbol.
• P, P ? Q(x) ? ?zQ(z)
• P ? Q(y1) ? P ? ?zQ(z) (? ?)
• ?x(P ? Q(x)) ? P ? ?zQ(z) (? ?)
• ? ?x(P ? Q(x)) ? (P ? ?zQ(z)) (? ?)
• Al final de esta ronda. TERM0 ltlt y0, nil gt, lt
  y1, nil gtgt, AVAIL0 lt y2, ... gt.

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Cálculo de Primer Orden

• Para la siguiente ronda, cuando se aplica la
  regla (? ?) a la fórmula ?zQ(z) con los términos
  y0 y y1 se obtiene el siguiente árbol.
• ax Q(y1), P ? Q(y0), Q(y1),
  ?zQ(z)
• P ? P, ?zQ(z) Q(y1), P ? ?zQ(z) (? ?)
• P, P ? Q(y1) ? ?zQ(z) (? ?)
• P ? Q(y1) ? P ? ?zQ(z) (? ?)
• ?x(P ? Q(x)) ? P ? ?zQ(z) (? ?)
• ? ?x(P ? Q(x)) ? (P ? ?zQ(z)) (? ?)
• Quedando TERM0 ltlt y0, ?zQ(z) gt, lt y1,
  ?zQ(z) gtgt. Este último árbol es un árbol de
  prueba para A.

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Cálculo de Primer Orden

• Correctitud de G
• Procedimiento Búsqueda
• procedure busqueda (???. secuente, var T. arbol)
• begin
• sea T el árbol de un nodo etiquetado con ???
• TERM0 . ltltu0, nil gt, ..., ltup, nil gtgt, AVAIL0
  . lt y1, y2, ... gt
• while not todas las hojas de T estén TERMinadas
  do
• T0 . T, TERM1 . TERM0,
• for each hoja de T0 (en orden lexicográfico) do
• if not finalizado(nodo) then
  expandir(nodo, T) endif
• endfor TERM0 . TERM1,
• endwhile,
• if todas las hojas son axiomas then write (T es
  una prueba)
• else write (??? es falsicable')
• endif end

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Cálculo de Primer Orden

• Procedimiento Expansión
• procedure expandir(nodo. dir-arbol, var T. arbol)
• begin
• sea A1, ..., Am ? B1, ..., Bn la etiqueta del
  nodo,
• sea S el árbol de un nodo etiquetado con el
  secuente anterior
• for i1 to m do
• if noatomico(Ai) then grow-left(Ai, S)
• endif
• endfor,
• for i1 to n do
• if noatomico(Bi) then grow-right(Bi, S)
• endif
• endfor,
• T. substitucion(T, nodo, S),
• end

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Cálculo de Primer Orden

• Procedimiento Crece-por-la-izquierda
• procedure grow-left(A . formula, var S. arbol)
• begin
• case A of B C, B v C, B ? C, B Extender cada
  hoja no axioma de S aplicando la regla izquierda
  correspondiente,
• ?xB for cada término uk ? TERM0 tal
  que A ? FORM0(k) do
• extender cada hoja no axioma de S aplicando la
  regla
• (? ?) utilizado el término uk
• FORM1(k) append(FORM1(k), A)
• endfor,
• ?xB extender la hoja no axioma de S aplicando
  la regla (? ?)
• utilizando y head(AVAIL0) TERM1
  append (TERM1,
• lt y, nil gt) AVAIL0 tail( AVAIL0)
• endcase
• end

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Cálculo de Primer Orden

• Procedimiento Crece-por-la-derecha
• procedure grow-right(A formula, var S arbol),
• begin
• case A of B C, B v C, B ? C, B Extender cada
  hoja no axioma de S aplicando la regla derecha
  correspondiente.
• ?xB for cada término uk ? TERM0 tal que A ?
  FORM0(k) do
• extender cada hoja no axioma de S aplicando la
  regla
• (? ?) utilizado el término uk
• FORM1(k) append(FORM1(k),A)
• endfor
• ?xB extender la hoja no axioma de S aplicando
  la regla (? ?)
• utilizando y head (AVAIL0) TERM1
  append(TERM1,
• lt y, nil gt) AVAIL0 tail(AVAIL0)
• endcase
• end