Ilusiones

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ILUSIONES ÓPTICAS
Departamento de Matemáticas
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ILUSIONES OPTICAS

• El Departamento de Matemáticas del Instituto de
  la Minilla, en este curso 2004/2005 y con motivo
  de la celebración del Día Escolar de las
  Matemáticas, les presenta una colección de
  Imágenes, Textos y Gráficos, que esperamos que
  disfruten observándolos.
• 12 de mayo de 2005

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A simple vista, unos obreros están trabajando en
una casa. Lo que no está claro es si están
haciendo una terraza, un tejado o un
suelo. Además, dónde está la casa? Y qué
aspecto puede tener la persona que vive
aquí? Mirad, parece que nos saluda.
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Observa con atención las dos figuras Cuál de
los dos círculos rojos centrales es mayor el
superior o el inferior? Si has contestado una de
estas respuestas, has fallado. Los dos círculos
son exactamente iguales. No te lo crees?
Compruébalo... Sí te lo crees?
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La famosa banda de Moëbius ha sido invadida por
unas hormigas que están un poco confusas. Recorre
mentalmente el camino que están siguiendo. Verás
que para volver a donde están deben pasar dos
veces por el mismo sitio. No sé si me
explico. No?, Pues yo lo entiendo.
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Esta es la famosa cascada de Escher. Un mundo
imposible donde los haya. Empieza a mirar el
dibujo a partir del ángulo superior izquierdo,
verás caer el agua de la cascada, la cual pone en
movimiento la rueda del molino. Después, el agua
corre por un canal y, si sigues su curso,
comprobarás que se aleja de ti. De repente, el
punto más lejano y más bajo parece coincidir con
el más alto y más próximo. El agua cae de nuevo
estás ante una corriente imposible!
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Y el cubo?, dónde está el cubo?, está o no
está?, sólo es una ILUSIÓN.
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Dirías que las líneas horizontales de este
gráfico son paralelas? No verdad?,Pues la
vista te ha engañado una vez más.
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Demasiadas ilusiones, ahora veo un cuadrado
donde no hay ningún cuadrado, o sí está?,
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Y ahora, ves dos cuadrados en esta imagen?,
están o no están?
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Este dibujito se las trae. Obsérvalo atentamente.
Son reptiles que salen de una hoja! Se consigue
así, hacer surgir un mundo tridimensional de uno
bidimensional. Fíjate también que el recorrido de
los lagartos es cíclico salen de la hoja y
después de un breve recorrido, vuelven a entrar
en ella. Fascinante!
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Dónde llegará y hasta dónde irá esta
espiral?,... Y además se mueve,... Es como un
agujero azul,...pues... sólo son círculos
concéntricos!
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A continuación observa atentamente este mundo
imposible de Escher. Se trata de una escalera en
la que se puede subir y bajar sin que por ello
varíe la altura. Si sigues de cerca a los monjes,
no tendrás la menor duda de estar ascendiendo.
Sin embargo, al dar una vuelta completa, te
encontrarás de nuevo,... en el mismo punto de
partida! Se consigue esta idea de ascenso
infinito porque la escalera está colocada
horizontalmente, mientras que los demás detalles
avanzan en forma de espiral.
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Aquí vemos, quizás un poco mejor la escalera en
la cual nunca acabarás de subir (Siempre llegas
al mismo sitio) o nunca acabarás de bajar
(Siempre llegas al mismo sitio)... Sin fin!
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Estás viendo la escena de una bella mujer delante
de su espejo Si estás sentado en una silla con
ruedas, lánzate con fuerza hacia atrás. Si no,
entorna un poco los ojos. Ahora verás claramente
que esta hermosa señora tiene los días contados.
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Puedes ver el caballo con su jinete en estas
manchas?
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Observa la espiral de la izquierda (por lo menos
unas veinte vueltas),... Ahora, mira a la Mona
Lisa a los ojos.... ....Verás que se aleja
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Esta matriz está formada por líneas que se cruzan
en puntos blancos. Aunque parece que también hay
puntos negros. Pero si los miras se vuelven
blancos, y en cambio aparecen más puntos negros.
Y así sin parar demasiado para nuestros ojos,
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Como podrás imaginar aquí no hay ningún
triángulo,... O sí,...
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Fíjate bien en la imagen. Ves un cubo con
cuadraditos rojos y blancos?... Pues si te fijas
bien verás también otra cosaNo la ves? Te lo
diremos con un poco de esfuerzo verás un suelo
con dos paredes. Ya?
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Qué línea es la más larga, la que va de A a B, o
la que va de B a C?... Aunque a estas alturas tu
capacidad de sorpresa debe ser escasa, la verdad
es que son totalmente iguales.
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Quién te parece más grande?... El que va detrás
corriendo o el que va corriendo delante, Como
siempre otra ilusión óptica, los dos tienen el
mismo tamaño, te lo crees, verdad?,
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Qué secretos nos descubre esta imagen? Como
puedes observar, existen dos mundos distintos
ocupando al mismo tiempo el mismo lugar. Por un
lado, fíjate en el mundo de la mano que aguanta
una esfera reflejante y por el otro, puedes ver
en el reflejo de la esfera y de forma indirecta,
una habitación entera con el hombre que aguanta
la esfera. El centro del mundo reflejado es el
ojo del hombre que mira con fijeza la esfera y al
mismo tiempo parece que nos mire a nosotros
inalterablemente.
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Bueno, creemos que ya hay muchos expertos en
Ilusiones Ópticas, pero no te confundas, Hay
alguna espiral aquí?,
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Igual que antes no es una espiral, son círculos
concéntricos.
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Aquí aparece otro de los dibujos de nuestro
queridísimo Escher. Intentarte explicar cómo lo
hizo y en base a qué, nos supera Así es que te
daremos alguna pistilla y si te interesa el tema
amplía por tu lado. Se trata de un cubo de
escalera cuyos únicos usuarios son unos
animalillos que, mediante tres pares de patas se
deslizan enrollándose como una rueda y así
consiguen avanzar (... Parece que
torpemente). Fíjate también en que las paredes
tienen para cada animalillo un significado
distinto serán techo, suelo o pared.
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Seguro que a estas alturas ya podrás ver con
facilidad los cuatro círculos,
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Según pongas esta imagen, podrás ver un militar o
un caballo, (Dale la vuelta a la cabeza,... Pero
cuidado con las ideas,...) Realidad frente a
ilusiones ópticas,
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Este ojo te está mirando fijamente,mirálo tú
también, me sabrías decir, es un ojo situado
en el lado derecho o en el lado izquierdo de un
rostro?,
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Dentro del cuadrado hay un círculo. Pero hay algo
más. Parece que el círculo tiene vida propia, que
no se encuentra cómodo dentro del cuadrado. Mueve
la cabeza ligeramente a los lados y el efecto aún
será más obvio. Cuando ya te duela el cuello, o
la vista, relájate con la siguiente ilusión
óptica.
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Tienes ante tus ojos una de las llamadas figuras
imposibles. En concreto, te encuentras ante un
marco triangular imposible. Esta figura no puede
existir. Aún así, si revisas sus lados y sus
vértices, todo está en orden. Intrigante, no?
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Una iluminación barroca deja ver a una señora con
un objeto extraño en la mano. Pero si nos fijamos
bien, ese objeto es también la punta del bigote
de un señor con barba y pelo largo. Y la cabeza
de ella es también el ojo de él. No te recuerda
quizás a Dalí?...
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Te imaginas jugar a los dados o al parchís con
un cubo cómo éste? De las seis caras,dos caras
no plantean problemas, . pero las otras cuatro...
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Agudiza tu vista y tu ingenio y encuentra las
nueve personas que hay en esta ilustración. Si
no las encuentras todas, espera para ver la
solución en la siguiente diapositiva.
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1. Cara de frente en el cielo.
2. Cara de perfil en el cielo.
3. Cara de perfil en el cielo.
4. Cara de perfil en el cielo.
5. Cara de perfil en el cielo.
6. Señora de falda larga.
7. Niño en brazos de esta señora.
8. Anciano con sombrero y barba blanca.
9. Cara grande de perfil formada por el arco, la
   señora, el anciano... y el perro, que es su mano
   apoyada en el pecho.

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No lo parece, pero en la dos figuras que vemos
el círculo pequeño es perfectamente circular.
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A simple vista, puedes ver dos figuras con la
misma forma, pero son del mismo tamaño? la
figura B te parece más grande que A? Pues son
iguales. Por qué nuestros ojos nos engañan? Por
la disposición de las dos figuras en el plano.
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Las bolas son correctas. El triángulo azul es un
poco extraño. Pero... hay alguien que entienda
el amarillo? Es un triángulo? Si no, qué
es?... Existe una palabra en el diccionario que
lo defina?
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Qué ves primero? Flechas verdes que se dirigen
hacia la derecha?O flechas amarillas que van
hacia la izquierda? Veas lo que veas, se trata de
una ilusión óptica que juega con los colores y la
direccionalidad. Dicen los expertos, que este
efecto está asociado con los hemisferios del
cerebro. Si has visto primero las flechas que van
hacia la derecha, es que ejercitas más el
hemisferio izquierdo y viceversa.
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En este caso, debes fijar tu vista en el punto
oscuro del centro de la imagen unos segundos. Se
supone que aunque seas consciente de que se trata
de un dibujo estático, empezarás a notar que se
mueve. Por qué? El fondo oscuro y las líneas
onduladas que se van ensanchando hacia el
exterior del dibujo, favorecen la aparente
movilidad.
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Este arco romano tiene tres magníficas columnas
redondas... o dos magníficas columnas cuadradas?
Depende de como lo mires... Si lo miras
comenzando por la parte superior, parecen dos
columnas, si lo haces comenzando por la parte
inferior, parecen tres columnas,
entonces,cuántas son?.....
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Parece una lupa distorsionada, además se
mueve, otra ilusión óptica,
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Y no paran de girar y girar y girar, sólo para
ti,..
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Fondo negro o fondo blanco? Mira atentamente
este dibujo. Ves un rostro andrógino? Hay
alguien más, fíjate bien. Una pista "érase una
vez un saxo a una nariz pegado...". Ya?, Al
rostro de sexo indefinido lo acompaña un hombre
tocando un saxo.
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Qué es lo que ocurre cuando miras esta
imagen?,se trata de un aro posible o
imposible,
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Las dos segmentos horizontales miden exactamente
lo mismo, aunque parezca que la superior es más
pequeña que la inferior,...
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Ves puntos grises en las intersecciones de los
cuadrados? Si miras fijamente uno de estos puntos
grises, desaparece? Pues ambas cosas son
falsas Simples ilusiones ópticas.
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Observa atentamente este dibujo. Fíjate en cómo
se ha conseguido rellenar la superficie con una
gran cantidad de figuras humanas, animales y una
guitarra. Este dibujo no tiene límites, podría
seguir ampliándose hasta el infinito. Y lo único
que separa unas figuras de otras, es el color
blanco o negro. Al mismo tiempo, este hecho
también permite que podamos ver y distinguir cada
figura. Curioso, no?
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Este camino es plano, pero lleva al primer piso.
Cómo se puede subir sin subir? Si ya llevas más
de media hora buscando el truco, te aconsejamos
que te relajes con la siguiente ilusión óptica.
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Atención, pregunta Ves un rostro que te
observa? Sólo ves eso? Fíjate bien, oculta algún
secreto. Lo ves? Si te digo que es un rostro
mentiroso y embustero ves algo más? Sus ojos son
una L, su nariz dibuja una I, su boca esconde una
A y su cuello una R L-I-A-R en inglés significa
mentiroso. Original, verdad?
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Otra figura más imposible de hacer en la
realidad,... Con lo sencillo que parece,...
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Hay palabras que leyéndolas tanto de derecha a
izquierda como de izquierda a derecha, son
iguales. Se denominan Palíndromos.Por ejemplo,
ANA o SALAS. La ilusión que estás viendo es una
variante de lo comentado. Si observas bien,
puedes leer de izquierda a derecha la palabra
montgomery. Ahora dale un giro de 180 grados y
voilà! También pone montgomery. Si aún no lo
ves, mírala del derecho y luego gira la cabeza
180 grados si es que puedes Lo ves ahora?
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Qué es lo que ves en esta imagen, a simple
vista? Una chica elegante, guapa y joven? O una
vieja y fea bruja? Si lo que ves es la bruja,
piensa que su nariz podría ser la mejilla y
barbilla de la chica, y la verruga podría ser la
nariz de la joven. Si lo que ves es la chica
joven, fíjate en los detalles anteriores o mira
como el collar de la chica es la boca de la
vieja. Un poco difícil de explicar, pero lo
captas, no?
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Este es uno de los dibujos que Escher realizó
cuando exploraba el campo de la
perspectiva. Curioso y muy complicado al mismo
tiempo, no crees? En esta lámina se funden tres
mundos completamente distintos en una unidad
compacta. Parece extraño y, sin embargo,
convence. Hay dieciséis figurillas que forman
parte de estos tres grupos. Lo que para las
figurillas de un grupo es un techo, para otras es
una pared. Y lo que para unos es una puerta, para
otros es un agujero en el suelo. Fascinante, no?
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En qué sentido giran las líneas azules, en
sentido horario?, Inténtalo otra vez, las ves
girar en el sentido contrario de las agujas del
reloj?,
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Otra ilusión engañosa,... Son iguales las dos
líneas verticales en altura?,... Pues sí,... lo
son,....
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Te gustaría tener razón y que los lados de estos
cuadrados azules no fueran paralelos? Pues lo
siento, pero el problema es de tus ojos. Quizás
la trama gris del fondo te despista, pero las
líneas azules son absolutamente paralelas.
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Puedes mirar este dibujo de arriba abajo o
viceversa. Qué te parece? Peces que acaban
siendo patos o patos que acaban siendo peces.
Esta metamorfosis se consigue mediante el uso del
blanco y el negro, y la evolución de las formas
del dibujo sobre la superficie pintada. Aire y
agua o agua y aire Te gusta?
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Esta fantástica ilustración aunque no lo creas,
está formada sólo por ángeles y demonios...
Fantástico, verdad?
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Todas las líneas de esta ilustración son
totalmente rectas, nos juega una mala pasada
los tonos grises, el blanco y el negro,
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Mira fijamente durante 30 segundos los cuatro
pequeños puntos que hay en el centro de esta
imagen. Después cierra los ojos, echa la cabeza
hacia atrás, sigue con los ojos cerrados, y verás
un círculo blanco... pero dentro del círculo
blanco se te aparecerá una figura muy conocida.
Compruébalo. Impresionante!.
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Fíjate bien, ... Porque nada de lo que hay aquí
es lo que parece,... En realidad no hay ninguna
mujer, y menos desnuda,... Sólo hay un gato, una
copa, unas medias tendidas y una maceta en una
estantería, entre otras cosas,... ?
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Que curioso, ves los circulos concentricos?,.
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Fíjate bien en esta obra de Salvador Dalí. Se ve
un grupo de personas en un claro estilo
surrealista. Pero es también un retrato en primer
plano de Voltaire. Las dos caras de mujer son los
ojos. Lo captas? Si quieres ver el cuadro
completo de Dalí, lo veremos en la siguiente
diapositiva.
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Aquí tienes todo el cuadro de Dalí, con las dos
cabezas de Las Meninas que también pueden ser los
ojos de Voltaire. Depende de cómo lo mires.
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Dónde te sitúas para entender este dibujo? Nos
encontramos en un extraño recinto en el que puede
intercambiarse a discreción arriba, abajo,
derecha, izquierda, delante y atrás, según te
quieras asomar por una ventana u otra. La verdad
es que puede llegar a resultar mareante. Qué
ventana eliges?
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Todas las líneas de esta ilustración son rectas
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Todas las líneas de esta ilustración
también, son rectas!
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Los lados de los cuatro rectángulos son
perfectamente rectos y paralelos, qué te
parece?,
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Las líneas horizontales son perfectamente rectas
y paralelas
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En este caso, las líneas verticales son
perfectamente rectas y paralelas
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El punto amarillo está más cerca del vértice
superior del triángulo o de la base de este mismo
triángulo? Del vértice, verdad? Pues no, es
equidistante (Igual distancia). Está
exactamente en la mitad del camino.
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Qué es esto? Muchas cosas y nada al mismo
tiempo. Se trata de que pienses un rato y dejes
volar tu imaginación. Veámoslo abstractamente,
porque la única relación con la realidad es que
las figuras parecen rodadas de un vehículo en el
suelo. En el plano abstracto podemos ver señales
rojinegras cuyo límite es un círculo y esto
produce un efecto visual distorsionado y no
recto. Salud y a imaginar!
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A veces, las cosas no son como parecen... Hay que
agudizar la vista. Pero aún así, nuestros ojos
nos juegan malas pasadas. Dos personas de perfil,
cara a cara, discuten sobre si este jarrón es una
obra de arte o una horterada. Los ves?
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Mira atentamente. Unas líneas rectas cruzan por
encima de un fondo de círculos. Al pasar por
encima, las rectas parece que se vayan curvando,
como si absorbiesen las redondeces de los
círculos. En realidad se trata sólo de una
ilusión óptica provocada por la cercanía de los
círculos. Además, para aumentar la impresión, se
ha incluido un truco. Fíjate que las rectas no
son continuas, son segmentos que no ensamblan
exactamente entre sí.
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Extraña estrella, no te parece? Se trata de una
figura construida a base de estrellas de cinco
puntas. Fíjate que del centro de cada estrella
surge una pirámide de cinco caras habitada por un
monstruo de largo cuello y cuatro patas. Cada
lado de las pirámides es pared y suelo. Además,
los monstruos se ven atraídos con gran fuerza
hacia el centro de la figura. Complejo, eh?
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Entre todas estas manchas,ves al dálmata?,
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Qué perciben tus ojos ante estas dos figuras?
Parece que ponga NO, verdad? Fíjate bien. Son
figuras imposibles. Tus ojos perciben primero un
objeto en el espacio. Pero nuestro ordenador
visual sigue trabajando para darnos otro
resultado unos segundos después esos objetos no
pueden existir en el espacio. Contradicciones de
la vida...
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Hablemos de triángulos si las cuatro piezas del
triángulo superior son las mismas que las del
inferior, por qué sobra un espacio? Cuál es el
secreto de este extraño puzzle? Aunque los
triángulos parecen iguales, fíjate que el lado
superior tiene una inclinación ligeramente
distinta. El pequeño espacio a lo largo de toda
la línea es igual al del pequeño cuadrado que
falta. Una vez más, la vista nos engaña.
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Mantén los ojos fijos en el punto negro,...
Después de un rato el difuminado gris de
alrededor parecerá disolverse como por arte de
magia,...
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Esto es un ejemplo estático de calidoscopio. Al
ser estático, poco vas a ver. Así es que no te
esmeres en encontrar nada escondido, ni en
alucinar dejando tu mirada fija en algún punto
del dibujo. Sólo queríamos recordarte que los
calidoscopios evocan imágenes que se multiplican
simétricamente, produciendo un resultado
sorprendente. Amén.
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Estás mirando el animal del dibujo, de acuerdo.
Pero cuál? El pato que mira a tu izquierda o
el conejo que mira a tu derecha?
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En Internet se pueden encontrar multitud de
figuras semejantes y que se mueven,... Como
esta,...
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Hagamos una sencilla prueba Intenta nombrar los
colores que lleva cada palabra, es decir, se
trata de no leer lo que aparece escrito,... Sino
nombrar los colores en los que están compuestos
cada palabra,...
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Las cuatro líneas que forman el cuadrado son
rectas,.
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Este buen hombre está rezando porque un pirata le
persigue. Si le das un giro de 180 grados a la
imagen verás al pirata. Puedes mirar la pantalla
cabeza abajo, darle la vuelta al monitor o, mucho
más fácil, pulsar una tecla o el botón del ratón
para verla al revés.
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Ya puedes ver al pirata. Ahora al que no ves es
al señor que reza
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FIN
Pues nada más, nos vemos el año que viene para
celebrar otro Día Escolar de las Matemáticas Y
si te encuentras con algunas ilusión óptica,
invítala a formar parte de este trabajo
entregándosela a tu profesor o profesora de
Matemáticas para que todos podamos disfrutar de
ella. Muchas Gracias, y hasta pronto.
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(No Transcript)