Tema 1 * 2

1
Tema 1 2º ESO

• DIVISIBILIDAD

2
Tema 1.1 2º ESO

• DIVISIBILIDAD

3
Múltiplos y divisores

• Dados dos números naturales, a y b , se dice que
  a es divisible por b, o que a es múltiplo de
  b, o que b es divisor de a, si la división ab
  es exacta.

• EJEMPLO
• 45 3.3.5 9.5 3.15
• Podemos decir
• 45 es divisible por 3
• 45 es divisible por 5
• 45 es divisible por 9
• 45 es divisible por 15

4

• También
• 45 es múltiplo de 3
• 45 es múltiplo de 5
• 45 es múltiplo de 9
• 45 es múltiplo de 15
• Y también
• 3 es divisor de 45
• 5 es divisor de 45
• 9 es divisor de 45
• 15 es divisor de 45

5
Factorización de un número

• Factorizar un número es convertirlo o expresarlo
  como producto de sus factores primos.
• Sea el número 360
• 360 2.2.2.3.3.5 23.32.5

360 180 90 45 15 5 1
2 2 2 3 3 5
MÉTODO DE FACTORIZACIÓN
6
MÉTODO DE FACTORIZACIÓN
2112 1056 528 264 132 66 33 11 1
2 2 2 2 2 2 3 11

• Otro ejemplo
• Sea el número 2112
• 1212 2.2.2.2.2.2.3.11
• 26.3.11

7
FACTORES PRIMOS

• Todo número se puede DESCOMPONER en producto de
  factores primos.
• Cuando los factores primos se repitan se
  expresará como potencias de exponente natural
• 15 3.5
• 25 5.5 52
• 14 2.7
• 91 7.13
• 216 2.2.2.3.3.3 23.33
• 64 2.2.2.2.2.2 26
• 1024 2.2.2.2.2.2.2.2.2.2 210

8
Divisibilidad de números.

• Para que un número sea divisible por otro, el
  primero debe contener todos los factores primos
  del segundo con exponentes iguales o mayores.
• 64 es divisible por 8
• 64 26
• 8 23
• Vemos que 64 contiene a todos los factores de 8
  con exponentes mayores, pues 6gt2
• 192 es divisible por 12
• 192 26 .3
• 12 22.3
• Vemos que 192 contiene a todos los factores de
  12 con exponentes mayores, pues 6gt2 y 11

9
Divisores de un número

• Si en un número descompuesto, los exponentes de
  sus factores primos valen x, y , z, el número de
  divisores será
• N(x1).(y1).(z1)
• Sea el número 360
• 360 2.2.2.3.3.5 23.32.5
• El número de divisores será
• N (31).(21).(11) 4.3.2 12.2 24
  divisores
• Veamos que es así

• Los divisores de 360 son
• 2, 4, 8, 3, 9, 5,
• 6, 12, 24, 18, 36, 72,
• 10, 20, 40, 15, 45, 180,
• 120, 90, 72, 60 360, 1

10
Divisores de un número

• Veamos otro ejemplo
• Sea el número 875
• 875 5.5.5.7 53.7
• El número de divisores será
• N (31).(11) 4.2 8 divisores
• Comprobamos que es así

875 175 35 7 1
5 5 5 7

• Los divisores de 875 son
• 5, 25, 125,
• 35, 175, 875,
• 360, 7, 1

11
Números Primos

• Un número primo sólo tiene como divisores a él
  mismo y a la unidad.
• Un número será primo si al dividirlo por los
  primeros primos, se cumple que el cociente queda
  de valor menor o igual que el divisor.
• Ejemplo 109
• 109
• ----- 54 y de resto 1
• 2
• 109
• ----- 36 y de resto 1
• 3
• 109
• ----- 21 y de resto 4
• 5

• 109
• ----- 15 y de resto 4
• 7
• 109
• ----- 9 y de resto 10
• 11
• Y como el cociente ( 9 ) es menor que el divisor
  ( 11 ), ya no necesitamos seguir. Podemos afirmar
  que 109 es un número primo.

12
La Criba de Eratóstenes

• La Criba de Eratóstenes consiste en eliminar los
  números que no sean primos y que por tanto sean
  múltiplos de algún número y los que finalmente
  queden serán los números primos.
• Para obtener los números primos, en la siguiente
  tabla, a partir del 2, se van tachando todos los
  números saltando de 2 en 2. A continuación, a
  partir del 3, todos los números de 3 en 3, y así
  sucesivamente.
• Los números que quedan sin tachar son los números
  primos.

13
Tabla de números primos
14
Tabla de números primos
15
CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD