Decisiones Gerenciales I

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(No Transcript)
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Análisis Discriminante

• Muchos problemas en marketing implican la
  investigación de diferencias entre grupos.
• Pueden compararse dos o más grupos y el problema
  principal es determinar si ellos difieren, y en
  el caso de que difirieran entender la naturaleza
  de esa diferencia.
• Ejemplos en los que estamos interesados en
  comprender las diferencias entre grupos son
• Clientes leales a una marca y no-leales

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Análisis Discriminante

• Representantes de venta buenos, mediocres y
  malos.
• Grandes consumidores y pequeños consumidores de
  un producto.
• Consumidores que asisten a diferentes puntos de
  venta (shoppings, negocios barriales, outlets
  etc.)
• Una alternativa es comparar estos grupos
  utilizando sus características socio-económicas.
• Por ejemplo calculando los promedios de ingreso,
  edad, nivel educativo etc. y determinar que grupo
  tiene los mayores valores por ejemplo.

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Análisis Discriminante

• Un problema con esta metodología es que no toma
  en cuenta la relación que existe entre las
  variables. Por ejemplo, si los grupos muestran
  diferencias en ingreso promedio es muy probable
  que también muestren diferencias en los niveles
  educativos ya que existe una correlación positiva
  entre ingresos y educación.
• Si utilizamos ingreso y educación para segmentar
  el mercado de consumidores estamos interesados en
  el efecto total de estas variables combinadas.
  Además de estar interesados en cual de las
  variables es más importante o tiene mayor impacto.

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Análisis Discriminante

• Necesitamos un mecanismo que nos permita
  considerar a las variables en forma simultánea.
• Una posibilidad es utilizar los modelos logit,
  probit y sus respectivas generalizaciones para
  clasificar las nuevas observaciones.
• Por ejemplo, supongamos que una agencia agrícola
  que vende tractores tiene una muestra de 24
  personas con datos sobre ingreso familiar, número
  de hectáreas de tierra que posee cada persona y
  si es propietario o no de un tractor.

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Análisis Discriminante

• Con el objetivo de identificar el perfil de
  nuevos compradores, la agencia decide estimar un
  modelo Logit para poder clasificar a los nuevos
  compradores en una de las dos poblaciones
  (propietario o no propietario).
• La variable dependiente (Yj) del modelo adopta el
  valor uno si la persona es propietaria de un
  tractor. El resultado de la estimación fue el
  siguiente

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Análisis Discriminante

• Entonces, una persona que tuviera un ingreso de
  108 mil dólares y un campo de 18 mil hectáreas
  tendría una probabilidad de ser propietario de un
  tractor de

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Análisis Discriminante

• De esta forma uno podria clasificar nuevos
  compradores y decidir por ejemplo que un nuevo
  comprador puede ser clasificado como proveniente
  de la población de propietarios si su
  probabilidad de tener un tractor es mayor a,
  digamos, 0.5, ó si PrYj 1/PrYj 0 ? 1.
• Obviamente, existen métodos alternativos de
  clasificación de observaciones y uno de tales
  métodos es el análisis discriminante.

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Análisis Discriminante

• Al igual que el método descripto arriba, el
  análisis discriminante tiene el objetivo de
  asignar nuevos objetos (observaciones) a grupos
  previamente definidos.
• Para fijar ideas, supongamos que estamos
  interesados en asignar un nuevo objeto a una de
  dos clases. Vamos a llamar a estas clases ?1 y ?2
  (propietarios y no propietarios en el ejemplo
  anterior).

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Análisis Discriminante

• Los objetos son clasificados o separados sobre la
  base de observar, por ejemplo, p variables X1,
  X2, ..., Xp (ingreso y número de hectareas en el
  ejemplo anterior).
• Los valores de las X's difieren en alguna medida
  entre las dos clases y por lo tanto uno podría
  pensar en diferenciar a las dos clases en función
  de la probabilidad de pertenecer a cada
  población.

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Análisis Discriminante

• Esto es, si f1(X) y f2(X) representan a las
  probabilidades de pertenecer a las clases ?1 y
  ?2, respectivamente, uno puede hablar de
  clasificar a los datos como provenientes de dos
  poblaciones diferentes, utilizando estas
  funciones de probabilidad.
• Específicamente, el conjunto de datos se divide
  en dos regiones R1 y R2, tal que si una nueva
  observación cae en R1 se asigna a la población ?1
  y si cae en R2 se asigna a ?2.

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Análisis Discriminante
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Análisis Discriminante

• Sin embargo, las reglas de clasificación no estan
  exentas de error. Esto puede deberse a que no hay
  una clara distinción entre las características
  medidas de ambas poblaciones y por lo tanto los
  grupos pueden superponerse.
• Es posible, entonces, que uno pueda clasificar
  incorrectamente un objeto de la población ?2 en
  ?1 y viceversa.

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Análisis Discriminante

• Un buen procedimiento de clasificación debería
  resultar en pocas equivocaciones. En otras
  palabras, la probabilidad de clasificar
  incorrectamente un objeto debe ser pequeña.
• En este caso, utilizando la misma regla de
  clasificación que la mencionada arriba para el
  modelo logit, si X0 es una nueva observación y si
  f1(X0)/f2(X0) ? 1 debemos asignar X0 a ?1. Por
  otro lado, si f1(X0)/f2(X0) lt 1 debemos asignar
  X0 a ?2.

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Análisis Discriminante

• Asumamos que conocemos que f1(X) y f2(X) son
  funciones de densidad normales multivariantes, la
  primera con vector de medias ?1 y matriz de
  varianzas y covarianzas ?1, y la segunda con
  vector de medias ?2 y matriz de varianzas y
  covarianzas ?2.
• Además, supongamos que ?1 ?2 ?. Entonces, las
  funciones de probabilidad conjunta de X'X1, X2,
  ..., Xp para las poblaciones ?1 y ?2, vienen
  dadas por,

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Análisis Discriminante

• Utilizando la regla de clasificación anterior,
  asignamos una nueva observación a la población ?1
  si

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Análisis Discriminante

• Reordenando la última expresión tenemos,

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Análisis Discriminante

• En la mayoría de los casos prácticos, los
  parámetros poblacionales ?1, ?2 y ? son
  desconocidos y deben ser reemplazados por sus
  estimaciones muestrales.
• Supongamos que tenemos n1 observaciones
  muestrales de las variables X'X1, X2, ..., Xp
  provenientes de ?1 y n2 observaciones de las
  mismas variables provenientes de ?2.
• Entonces los respectivos datos de ambas
  poblaciones son,

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Análisis Discriminante

• De estos datos muestrales, los vectores de medias
  y covarianzas vienen dados por,

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Análisis Discriminante
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Análisis Discriminante

• Como asumimos que las dos poblaciones tienen la
  misma matriz de varianzas y covarianzas ?, las
  matrices de varianzas y covarianzas muestrales S1
  y S2 deben combinarse para obtener una estimación
  de la varianza conjunta. En particular el
  promedio ponderado es un estimador insesgado de ?
  si las muestras son aleatorias.

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Análisis Discriminante

• Sustituyendo µ1 por , µ2 por y ? por S
  en la ecuación (1) obtenemos la regla de
  clasificación muestral

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Análisis Discriminante

• Note que la última ecuación implica comparar dos
  números,

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Análisis Discriminante
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Análisis Discriminante

• Entonces, la regla de asignación para dos
  poblaciones normales consiste en crear dos
  poblaciones univariantes para los valores de y
  tomando una combinación lineal apropiada de las
  observaciones de las poblaciones ?1 y ?2 y luego
  asignar una nueva observación X0 a ?1 o ?2,
  dependiendo de si cae a la
  derecha o a la izquierda del punto medio entre
  dos medias univariantes

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Análisis Discriminante

• Los coeficientes del vector se
  denominan coeficientes discriminantes''.
• Estos coeficientes no son únicos, ya que
  cualquier múltiplo de los mismos también sirve
  para discriminar. Esto es, para cualquier c ? 0,
  el vector sirve para discriminar entre dos
  poblaciones.
• El vector usualmente se normaliza'' para
  facilitar su interpretación. Las dos formas más
  comunes de normalización son las siguientes

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Análisis Discriminante
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Análisis Discriminante

• Las magnitudes de en la primera
  normalización caen en el intervalo -1, 1. En la
  segunda normalización, y estan
  expresados como múltiplos de

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Análisis Discriminante

• Restringir a que los caigan en el
  intervalo -1, 1 facilita la comparación entre
  los coeficientes.
• Similarmente, expresar a los coeficientes como
  múltiplos de permite evaluar la importancia
  relativa de las variables X2, X3, , Xp como
  discriminantes.
• Qué se puede hacer cuando no se conoce la
  distribución de probabilidad de las variables?

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Análisis Discriminante

• Una alternativa consiste en construir una
  combinación lineal de las variables (una suma
  ponderada) de forma tal que esta combinación
  discrimine de la mejor manera a los grupos.
• Podemos luego comparar como difieren los grupos
  con respecto a esta combinación lineal y también
  observar los pesos relativos de cada variable
  para determinar su importancia relativa.

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Análisis Discriminante

• El Análisis Discriminante es el método por el
  cual se determina la combinación lineal.
• Función Discriminante de Fisher Dos Grupos.
• La idea de Fisher es transformar las
  observaciones multivariantes de X a observaciones
  univariantes de y, tal que las y's derivadas de
  las poblaciones ?1 y ?2 estuvieran tan separadas
  como fuera posible.
• Fisher sugirió tomar combinaciones lineales de X
  para crear y. Esto es,

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Análisis Discriminante

• La separación de estos dos conjuntos de valores
  de y se establece en función de la diferencia
  entre e expresada en unidades de
  desvíos estándar. Esto es,

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Análisis Discriminante

• El objetivo es seleccionar la combinación lineal
  de las X's para alcanzar la máxima separación
  entre las medias muestrales e Para
  ello, maximizar la ecuación anterior es lo mismo
  que maximizar,

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Análisis Discriminante

• Note que,

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Análisis Discriminante

• Por lo tanto el problema se reduce a encontrar
  los coeficientes que maximicen,

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Análisis Discriminante

• Realizando la maximización sobre todos los
  posibles se puede mostrar que el máximo se
  alcanza con los coeficientes
  que son los mismos coeficientes que determinamos
  anteriormente para dos poblaciones normales.
• Note que el procedimiento de Fisher no asume que
  las poblaciones son normales, sin embargo si
  asume implicitamente que las matrices de
  varianzas y covarianzas de las dos poblaciones
  son iguales.

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Análisis Discriminante

• El método de Fisher se basa en la maximización de
  la distancia promedio entre los dos grupos en
  términos del desvío estándar.

x1
o
o
o
o
o
x
x
o
x
o
o
y1
x
x
o
o
o
o
x
x
½(y1y2)
x
x
x
x
Clasificar en 1
x
x
x2
x
y2
y
Clasificar en 2
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Análisis Discriminante

• El análisis discriminante toma la información de
  todas las variables (las Xs) y las reduce a una
  nueva variable (y) mediante una combinación
  lineal.
• Esta nueva variable se construye de forma tal que
  su distribución provee la mayor separación
  posible entre los dos grupos en términos de sus
  promedios.
• Los coeficientes discriminantes (los ?s)
  representan la contribución relativa de cada
  variable a la separación.

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Análisis Discriminante

• Ejemplo Considere los siguientes grupos de
  consumidores. El grupo 1 (G1) realiza sus compras
  en shoopings y el grupo 2 (G2) en outlets.
  Queremos establecer las diferencias de
  comportamiento entre estos dos grupos en base al
  ingreso y al número de compras que realizan en el
  año para poder decidir si un consumidor con un
  ingreso de 60,000 y que realiza 25 compras por
  año puede clasificarse en alguno de los grupos.
• La siguiente tabla muestra los datos para estas
  variables

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Análisis Discriminante
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Análisis Discriminante

• Maximizando la función discriminante de Fisher
  tenemos los coeficientes ?1 0.098 y ?20.768
• Además
• Como 25.08 gt 21.27 Entonces el nuevo consumidor
  puede clasificarse como proveniente del G1