METAHEURISTICAS Ideas, Mitos, Soluciones

1
METAHEURISTICASIdeas, Mitos, Soluciones

• Irene Loiseau
• 1er Cuatrimestre 2009

2
OPTIMIZACION COMBINATORIA

• Qué es un problema de optimización combinatoria?

3

• Ejemplos de problemas de optimización
  combinatoria
• Problema de la suma de subconjuntos
• Determinación de caminos mínimos en grafos
• Flujo en redes
• Asignación de tareas
• Problema de la mochila
• Problemas de ruteo de vehículos. El problema del
  Viajante de comercio
• Diseño de redes de comunicaciones
• Ruteo en redes de comunicaciones
• VLSI

4

• Planificación de tareas
• Asignación de recursos y horarios en
  instituciones educativas
• Minimizaron de desperdicios en el corte de
  materiales
• Localización de plantas
• Planificación financiera
• Problemas de energía
• Biología Computacional (secuenciamiento de ADN,
  árboles filogenéticos, doblamiento de proteínas)
• etc.

5
Cómo se modela matemáticamente un problema de
optimización combinatoria?

• Minimizar (o maximizar) f(x)
• sujeto a g (xi) ? bi
  i1.........m1
• h (xi) ci
  i m1 1,....... M
• xi ? Z
• -----------------------------------------
• función objetivo
• variables de decisión
• restricciones
• (No siempre se puede modelar exactamente así un
  problema de optimización combinatoria)

6
Cómo se modela como problema de programación
lineal entera un problema de optimización
combinatoria?

• Problema de la mochila
• Problema de asignación
• Problema de flujo máximo
• Problema del viajante de comercio.

7
Cómo se resuelve un problema de optimización
combinatoria?

• Enumeración completa o algoritmo de fuerza
  bruta. Sirve?
• COMPLEJIDAD COMPUTACIONAL
• Qué hacer?
• SOLUCIONES EXACTAS
• HEURISTICAS

8
HEURISTICAS

• Heurísticas clásicas
• Metaheurísticas o heurísticas modernas o
  sistemas inteligentes
• Cuándo usarlas?
• Problemas para los cuales no se conocen buenos
  algoritmos exactos
• Problemas difíciles de modelar

9
Porqué usarlas?

• Adaptabilidad a modificaciones de los datos o del
  problema una vez que ya se obtuvo un resultado.
• Fáciles de implementar y programar
• Basadas en tener una gran capacidad de cálculo
• No sólo para problemas de optimización
  combinatoria

10
Cómo se evalúan?

• problemas test
• problemas reales
• problemas generados al azar
• cotas inferiores

11
Problema del viajante de comercio (TSP)

• Dado un grafo G con longitudes asignadas a los
  ejes queremos determinar un circuito hamiltoniano
  de longitud mínima.
• No se conocen algoritmos polinomiales para
  resolver el problema del viajante de comercio.
• Tampoco se conocen algoritmos ?- aproximados
  polinomiales para el TSP general (si se conocen
  cuando las distancias sean euclideanas)
• Es el problema de optimización combinatoria más
  estudiado.

12
Algunas heurísticas y algoritmos aproximados para
el TSP

• Heurística del vecino más próximo
• --------------------------------------------------
  ----------------------
• Empezar
• Elegir un nodo v cualquiera de G
• Poner l(v) 0
• Inicializar i 0
• Mientras haya nodos sin marcar hacer
• poner i i 1
• elegir el eje (v,w) más
  barato tal que w no esté marcado.
• poner l(w) i
• poner v w
• Fin
• --------------------------------------------------
  -------------------------------------
• Cuál es la complejidad de este algoritmo?.

13

• Heurísticas de inserción
• --------------------------------------------------
  -----------------------
• Empezar
• Construir un circuito de longitud 3.
• Marcar los nodos del circuito
• Mientras haya nodos sin marcar hacer
• ELEGIR un nodo v sin marcar
• INSERTAR v en el circuito
• Fin
• --------------------------------------------------
  ---------------------
• Cómo ELEGIR?. Cómo INSERTAR?.... variantes de la
  heurística de inserción.

14

• Para INSERTAR el nodo v elegido
• si ci j es el costo o la longitud de un eje
  (i,j), elegimos dos nodos i, i1 que ya están en
  el circuito y son consecutivos en el mismo y tal
  que
• ci v cv i1 c i i1
• sea mínimo. Insertamos v entre i e i1.

15

• Podemos ELEGIR el nuevo nodo v para agregar al
  circuito tal que
• v sea el nodo más próximo a un nodo que ya está
  en el circuito.
• v sea el nodo más lejano a un nodo que ya está en
  el circuito.
• v sea el nodo más barato, o sea el que hace
  crecer menos la longitud del circuito.
• v se elige al azar.
• En los dos primeros casos y en el cuarto la
  complejidad del algoritmo es O(n2), en el tercero
  es O(n2 log n)

16

• En el caso de grafos euclideanos (por ejemplo
  grafos en el plano R2), se puede implementar un
  algoritmo de inserción
• usando la cápsula convexa de los nodos como
  circuito inicial
• insertando en cada paso un nodo v tal que el
  ángulo formado por los ejes (w,v) y (v,z), con w
  y z en el circuito ya construido, sea máximo.
• Hay muchas variantes sobre estas ideas.

17

• Heurística del árbol generador
• --------------------------------------------------
  -------------
• Encontrar un árbol generador mínimo T de G
• Duplicar los ejes de T
• Armar un circuito euleriano E con los ejes de T y
  sus duplicados
• Recorrer E usando DFS y armar un circuito
  hamiltoniano G
• --------------------------------------------------
  ------------------------
• Cuál es la complejidad de este algoritmo?

18

• Teorema Si las distancias del grafo cumplen la
  desigualdad triangular la heurística del árbol
  generador tiene una perfomance en el peor caso
  dada por
• xH (i)/ x (i)
  2
• O sea si las distancias son euclideanas hay
  algoritmos polinomiales para el problema del TSP
  aproximado.

19

• Perfomance de las otras heurísticas en el peor
  caso
• Si las distancias en G son euclideanas se puede
  probar que valen las siguientes cotas para la
  perfomance en el peor caso
• Vecino más próximo xh (i)/ x (i) ½
  (?log n? 1)
• Inserción del más próximo xh (i)/ x (i) 2
• Inserción del más lejano xh (i)/ x (i) 2
  log n 0.16
• Inserción del más barato xh (i)/ x (i)
  2

20

• Heurísticas de mejoramiento
• Cómo podemos mejorar la solución obtenida por
  alguna heurística constructiva como las
  anteriores?
• Heurística 2-opt de Lin y Kernighan
• --------------------------------------------------
  ------------------------
• Obtener una solución inicial H (o sea un circuito
  hamiltoniano H), por ejemplo con alguna de las
  heurísticas anteriores.
• Mientras sea posible hacer
• . Elegir dos ejes de G tal que al
  sacarlos de H y reemplazarlos por los dos
  necesarios para reconstruir un nuevo circuito
  hamiltoniano H obtengamos un H de longitud
  menor a la de H.
• . H H
• . Fin
• --------------------------------------------------
  --------------------------------------
• Cuándo para este algoritmo?. Se obtiene la
  solución óptima del TSP de este modo?
• Algoritmo de búsqueda local

21

• En vez de elegir para sacar de H un par de ejes
  que nos lleve a obtener un circuito de menor
  longitud podemos elegir el par que nos hace
  obtener el menor H entre todos los pares
  posibles.(más trabajo computacional)
• Esta idea se extiende en las heurísticas k-opt
  donde se hacen intercambios para cualquier k. O
  sea en vez de sacar dos ejes, sacamos k ejes de H
  y vemos cual es la mejor forma de reconstruir el
  circuito. En la práctica se usa sólo 2-opt o 3
  opt.
• Estas mismas ideas se pueden usar para construir
  un algoritmo Tabu Search para el TSP definiendo
  los vecinos de una solución usando 2- opt o 3
  opt. .

22
ESQUEMA GENERAL DE UN ALGORITMO DE DESCENSO (O
BUSQUEDA LOCAL)

• S conjunto de soluciones
• N(s) soluciones vecinas de la solución s
• --------------------------------------------------
  --------------
• Elegir una solución inicial s0 ?S
• Repetir
• Elegir s ? N(s0) tal que f(s) lt f(s0)
• Reemplazar s0 por s
• Hasta que f(s) gt f(s0) para todos los s ? N(s0)
• --------------------------------------------------
  --------------

23

• Cómo determinar las soluciones vecinas de una
  solución s dada?
• Qué se obtiene con este procedimiento? Sirve?
• Optimos locales y globales
• Espacio de búsqueda

24
Problema de asignación de tareas

• Supongamos que tenemos el problema de asignar
  tareas a un sola máquina de modo a minimizar el
  tiempo total de ejecución.
• Cada trabajo j tiene un tiempo de procesamiento
  p j y una fecha de entrega d j. El objetivo es
  entonces minimizar
• T ?j max (C j dj),0
• donde C j es el momento en que se completa el
  trabajo j.

25

• Como elegir las soluciones iniciales?. A priori
  se puede tomar cualquier permutación de las
  tareas.
• Determinación de los vecinos de una solución
  dada en este caso podemos tomar los que se
  obtengan de la solución actual cambiando la
  posición de un trabajo con otro.
• En un problema con 4 trabajos por ejemplo los
  vecinos de (1,2,3,4) serán
• N(s) (1,3,2,4),(3,2,1,4),(1,2,4,3),
• (1,4,3,2),(2,1,3,4),(4,2,3,1)

26
TECNICAS METAHEURISTICAS

• Simulated annealing (primeros trabajos 1953,
  1983)
• Algoritmos Tabú Search (primeras aplicaciones a
  optimización combinatoria en 1986, basado en
  algunas ideas de los 70)
• Algoritmos genéticos y evolutivos (primeras ideas
  en los 60, mayormente aplicaciones a problemas de
  IA).
• GRASP (1989)
• Colonia de hormigas (1992)
• Redes neuronales (primeras ideas en los 60,
  resurgieron en los 80)
• otras..
• Híbridos

27

• Origen, motivación, exceso de nomenclatura,
  similitudes forzadas con problemas de la física
  y la biología por ejemplo, etc.
• Se usan en otros problemas, que no son de
  optimización combinatoria también.

28

• BIBLIOGRAFIA
• De que tratan los libros de metaheuristicas?.
• De que tratan los papers?
• nuevas ideas para las metaheuristicas
  tradicionales.
• nuevas metaheurísticas
• aplicaciones a una enorme cantidad de problemas
• REVISTAS
• Journal of Heuristics, Kluwer
• Revistas de Operations Research, Sistemas
  Inteligentes, Inteligencia artificial, etc.

29

• LIBROS y ANALES
• Aarts,E.,Korst,J.,Simulated Annealing and
  Boltzmann machines, Wiley, 1989.
• Aarts,E. Lenstra,J.K., Local Search in
  Combinatorial Optimization
• Bonabeau, E.,Dorigo, M.,Theraulaz,G.,Swarm
  Intelligence,Oxford University Press, 1999.
• Corne,D., Dorigo,M.,Glover, F., New ideas in
  Optimization, McGrawHill, 1999.
• Davis,L.(ed),Handbook of genetic algorithms,
  Reinhold,1991.
• Dorigo,M.,Stutzle,T.,Ant Colony Optimization,
  MIT Press 2004.
• Glover,F., Laguna,M., Tabu Search, Kluwer
  Academic Pub., 1997.
• Glover, F., Laguna, M., Taillard, E., de Werra,
  D. (eds), Tabu Search, Annals of Operations
  Research, Vol. 41, 1993.
• Goldberg, D., Genetic algorithms in Search,
  Optimization and Machine learning,
  Addison-Wesley,1989.
• Haupt,R.,Haupt,S.,Practical genetic
  algorithms,Wiley,1998.
• Hertz,J., Krog,A., Palmer,R., Introduction to
  the theory of neural computacion,
  Addison_Wesley, 1991.

30

• Holland,J. Adaptation in netural and artificial
  systems,MIT Press, 1975.
• Laporte, G., Osman,I.H., Metaheuristics in
  Combinatorial
• Optimization, Annals of Operations Research,
  Vol 63, 1996.
• Michalewicz, Z.,Genetic algorithms Data
  Structures Evolutionary programs, 1996.
• Mitchell,M.,An introduction to genetic
  algorithms (complex adaptive systems), 1996.
• Osman,I.,Kelly,J.,(eds) Metaheuristics theory
  and applications, Kluwer Academic pub., 1996.
• Pham,D.,Karaboga,D. Intelligent Optimization
  Techniques Genetic Algorithms, Tabu Search,
  Simulated Annealing, and Neural Networks,
  Springer Verlag, 1998.
• Rayward- Smith, Osman, Reeves, Smith, Modern
  heuristics search methods, 1996.
• Reeves, C. (ed), Modern heuristics techniques
  for combinatorial Problems, Blackwell,1993
• Van Laarhoven,P.,Aarts,E.Simulated
  Annealingtheory and applications, Kluwer,1988
• Voss, Martello, Osman, Rocairol,
  Metaheuristics, Kluwer, 1999.

31
SIMULATING ANNEALING

• Ideas básicas
• Metropolis, A., Rosenbluth,M., Rosenbluth,A.,
  Teller, A., Teller,E., Equation of state
  calculation by fast computing machines, J. of
  Chemistry Physics, 1953
• Algoritmo para simular el proceso de enfriamiento
  de un material en un baño de calor (annealing).
• Si un material sólido se calienta por encima de
  su punto de fundición y después se enfría hasta
  quedar en estado sólido, las propiedades de este
  sólido dependen de la velocidad de enfriamiento.
• 30 años más tarde
• Kirkpatrick,S., Gellat,C., Vecchi,M.,
  Optimization by simulating annealing, Science,
  1983.
• Proponen mejorar el algoritmo básico de (descenso
  o búsqueda local), permitiendo movimientos donde
  el valor de la función empeora con una frecuencia
  gobernada por una función de probabilidad que
  cambia a lo largo del algoritmo, inspirada en el
  trabajo de Metropolis et all.

32

• Las leyes de la termodinámica dicen que a
  temperatura t la probabilidad de un crecimiento
  de la energía de magnitud ?E está dada por
• p (?E) exp ( -?E/
  kt) (1)
• donde k es la constante de Boltzman.
• Metropolis et all. generan una perturbación y
  calculan el cambio de energía. Si la energía
  decrece el sistema se mueve al nuevo estado. Si
  crece el nuevo estado es aceptado con
  probabilidad (1). El procedimiento se repite para
  un número predeterminado de iteraciones para cada
  temperatura, después de lo cual la temperatura se
  disminuye hasta que el sistema se congela en
  estado sólido.
• Kirkpatrick et all., y Cerny (1985) propusieron
  en forma independiente usar este algoritmo en
  problemas de optimización combinatoria haciendo
  un paralelo entre el proceso de enfriamiento y
  los elementos de este tipo de problemas

33
Si hacemos la siguiente correspondencia
34

• Con esto cualquier algoritmo de búsqueda local
  puede convertirse en un algoritmo annealing
  tomando al azar un cierto numero de vecinos y
  permitiendo que elija una solución peor de
  acuerdo a la ecuación (1)
• Cómo es la función de energía para la mayor parte
  de los materiales?.
• Cómo es la función objetivo en problemas de
  optimización?.

35
ESQUEMA GENERAL DE UN ALGORITMO SIMULATING
ANNEALING

• --------------------------------------------------
  -----------------------
• Elegir una solución inicial s0
• Elegir una temperatura inicial t0 gt 0
• Elegir una función de reducción de temperatura ?
  (t)
• Repetir mientras no se verifique la condición de
  parada
• Repetir hasta icount nrep (t)
• Elegir al azar s ? N(s0
  )
• ? f(s) - f(s0 )
• Si ? lt 0
• entonces s
  s0
• Sino
• Generar x
  al azar en (0,1)
• Si x
  lt exp (-? / t) entonces s s0
• Fin
• Poner t ? (t)
• Fin
• --------------------------------------------------
  ----------------

36

• Qué hay que hacer para usar este esquema en la
  práctica?
• Definir conjunto de soluciones
• Definir función de costo
• Definir vecinos
• Elegir parámetros temperatura, nrep, ?
• Elegir criterio de parada

37
Más Detalles

• La temperatura inicial debe ser suficientemente
  alta como para permitir un intercambio casi
  libre de las soluciones vecinas.
• La forma de reducir la temperatura es vital para
  el éxito de la heurística. Hay que determinar
• número de repeticiones en cada
  temperatura.
• forma de reducción de la
  temperatura
• Muchas iteraciones por temperatura para pocos
  valores de temperatura o al revés.
• Por ejemplo ? (t) a t con a lt 1
• Se acostumbra usar 0.8 lt a lt 0.99
• nrep puede crecer geométricamente o
  aritméticamente en cada temperatura.
• En algunos casos se usa la historia para
  determinar nrep
• Otra propuesta ? (t) t/ (1 b t ) con b
  chico
• En la práctica...............

38

• Criterios de parada
• teóricos
• en la práctica.....nro. de iteraciones sucesivas
  sin mejora
• Elección del espacio de soluciones y definición
  de vecinos muy importante.
• Factibilidad
• Penalidades en la función objetivo
• Evitar funciones chatas

39
Coloreo de grafos

• Grafo G (V, X)
• Se puede plantear el problema como particionar el
  conjunto de vértices en K conjuntos.
• Una solución sería entonces
• s (V1,V2, Vk )
  
• El objetivo es entonces minimizar k.
• Qué pasa si se intentan usar intercambios para
  pasar de una solución factible a otra?.
• Componentes bicolores. Complicado

40

• Ideas
• Cambiar la definición de solución factible.
  Poner como solución factible una partición
  cualquiera de V, aunque no defina un coloreo
  factible.
• Entonces los vecinos son los que se obtienen a
  partir de s cambiando un nodo de un conjunto Vi a
  otro.
• Agregar a la función objetivo una función de
  penalidad que cuente cuantos ejes hay dentro de
  cada subconjunto o sea
• f (s) k ? Ei
• donde Ei es el conjunto de ejes entre nodos del
  conjunto Vi
• No es una buena función objetivo..

41
Problemas de horarios en instituciones educativas

• Cada institución tiene sus propias reglas.
• Muchas restricciones y objetivos.
• Consideremos acá el problema de programar un
  conjunto dado de exámenes en un numero fijo de
  franjas horarias, de modo que ningún estudiante
  tenga que dar dos exámenes a la vez, y que haya
  aulas del tamaño necesario para los mismos.
• Puede haber muchas otras restricciones.
• Consideremos el ejemplo presentado por
  Dowsland,K., 1996

42

• Restricciones
• 3000 alumnos, 24 franjas horarias disponibles
• ningún alumno puede dar dos exámenes al mismo
  tiempo.
• algunos pares de exámenes pueden ser programados
  en el
• mismo horario.
• algunos pares de exámenes NO pueden ser
  programados
• en el mismo horario.
• algunos grupos de exámenes tienen que ser
  programados en un cierto orden.
• algunos exámenes tienen que ser programados
  dentro de determinadas ventanas de tiempo.
• no puede haber mas de 1200 alumnos dando examen
  al
• mismo tiempo.

43

• Objetivos secundarios
• Minimizar el numero de exámenes de mas de 100
  alumnos después de el periodo 10.
• minimizar la cantidad de alumnos que tienen que
  dar dos exámenes en periodos consecutivos.
• Difícil encontrar una solución factible.
• Primer paso decidir cuales serán las soluciones
  factibles y cuales restricciones se incorporaran
  a la función objetivo como penalidades.
• El problema básico de horarios se puede modelar
  como un problema de coloreo de grafos. La
  solución propuesta se basa en algoritmos
  Simulating Annealing para ese problema.
• Espacio de soluciones asignación de exámenes a
  las 24 franjas que verifiquen las restricciones
  de orden.
• Vecinos cambiar una franja horaria para un
  examen.

44

• Costo
• w1 c1 w2 c2 w3 c3 w4 c4 w5 c5 w6 c6
• donde
• c1 es el número de conflictos de los estudiantes
• c2 es el número de exámenes que colisionan por
  otras razones
• c3 es el número de violaciones de ventanas de
  tiempo
• c4 es el número de violaciones de la capacidad
  de las aulas
• c5 es el número de exámenes que no verifican la
  segunda restricción secundaria
• c6 es el número de exámenes de mas de 100
  alumnos fuera del periodo preferido.
• w1,w2,w3,w4,w5,w6 pesos

45

• RESULTADOS
• Mucho experimentos con enfriamiento muy lento.
• Pesos altos para las restricciones mas
  importantes, permitieron que cuando quedaban
  satisfechas no volvieran a ser violadas.
• Basada en las observaciones de estos primeros
  experimentos, se intento un procedimiento en 2
  etapas.
• La función objetivo para la primera fase fue
• f1 w1 c1 w2 c2 w3 (c3 c6) w4 c4
• Este primer problema se resolvió con relativa
  facilidad poniendo todos los pesos en 1y usando
  una tasa de enfriamiento de 0.99 cada 1000
  iteraciones. Se obtuvieron entonces soluciones
  con costo 0.
• La fase 2 partió de esta solución final y
  trabajo en un espacio de soluciones en las cuales
  todas las soluciones con f1 gt 0 habían sido
  eliminadas.
• La función objetivo fue
• f2 c5
• Fue necesario usar un esquema de enfriamiento muy
  lento para obtener buenos resultados. Se uso una
  temperatura inicial de 20, reduciéndola a 0.99 t
  cada 5000 iteraciones.

46
Problemas de Ruteo de Vehículos

• Chiang, W,Russell, R.,Simulating annealing
  metaheuritics for the vehicle routing problem
  with time windows, Annals of Operations Research
  63 (1996)
• Ruteo de vehículos con ventanas de tiempo
• qi , carga o demanda del cliente i
• si, tiempo de servicion del cliente i
• ei, hora más temprana en que puede iniciarse el
  servicio en i
• li, última hora en que puede iniciarse el
  servicio en i
• tij, tiempo de viaje entre i y j
• dij, distancia entre i y j
• Qv, capacidad del vehículo v
• bi, momento en que se empieza el servicio en i
• bij, momento en que puede empezar a servirse al
  cliente j suponiendo que el cliente j va después
  del i en una ruta.
• bij max ej,bisitij
• wj, tiempo de espera si el vehículo llega a j
  antes de ej.
• wj ej (bisitij)

47

• Estimación inicial de la cantidad de vehículos
  requeridos
• Rutas iniciales
• Reglas para tratar de mantener la factibilidad
  de las ventanas de tiempo durante la
  construcción.
• La inserción de un cliente en una ruta se
  determina usando el crecimiento de la longitud de
  la ruta y del tiempo de recorrido.

48

• Algoritmo Simulating annealing
• Soluciones factibles
• conjunto de rutas que verifican las ventanas de
  tiempo R1,.Rv donde Rp es el conjunto de
  clientes visitados por el vehículo p
• Vecinos se obtienen cambiando un cliente de una
  ruta a otra o intercambiando 2 clientes. (Se
  consideraron 2 opciones).
• Función de Costo
• C(S) b1 R b2 T b3 D con b1 gtgt b2gt b3
• donde
• R es el total de vehículos usados
• D la distancia total recorrida
• T el tiempo total de recorrer todas las rutas

49

• Parámetros del algoritmo
• Temperatura inicial T0
• Probabilidad inicial P0 0.05
• Cambio de la temperatura ?(t)0.95 t
• Nrep proporcional a del tamaño del vecindario
  (0.95)
• Criterio de parada

50
TABU SEARCH

• CONCEPTOS BASICOS
• Permitir elegir una solución vecina que no sea
  estrictamente mejor que la actual para salir de
  un mínimo local.
• Usar una lista Tabú de soluciones (o movimientos)
  para evitar que el algoritmo cicle.
• Usar una función de aspiración que permita en
  algunos casos elegir un elemento o movimiento
  Tabú.

51
ESQUEMA GENERAL DE TABU SEARCH
Inicialización Elegir una solución inicial s en
S Niter0 bestiter0 bestsol
s T? Inicializar la función de aspiración
A Mientras ( f(s) gt f(s) y (niter- bestiter lt
nbmax) hacer niter niter 1 generar un
conjunto V de soluciones sv en N(s) que no sean
Tabu o tales que A(f(s))? f(sv) elegir una
solución s que minimice f en V actualizar la
función de aspiración A y la lista Tabú T si
f(s) lt f(bestsol) entonces
bestsol s bestiter niter
ss -----------------------------
--------------------------------------------
52
Qué hay que hacer para usar este esquema?

• Determinar el conjunto de soluciones factibles S.
• Determinar la función objetivo f.
• Dar un procedimiento para generar los elementos
  de N(s), vecinos de s.
• Decidir el tamaño del conjunto V ? N(s) que será
  considerado en cada iteración
• Definir el tamaño de la lista Tabú T.
• De ser posible definir una cota inferior para la
  función objetivo f.
• Definir la función de Aspiración A(z) para todos
  los valores z que puede tomar la función
  objetivo.
• Definir criterios de parada (nbmax y/o
  comparación con la cota inferior si la hay)

53
Volviendo al ejemplo anterior

• Como construir el conjunto de soluciones
  posibles V ?
• En este caso, si, cuando la solución actual es
  (1,2,3,4) la lista Tabu, proveniente de los pasos
  anteriores del algoritmo es
• T (1,3,2,4),(3,1,2,4)(3,2,1,4)
• Entonces V tiene solo cuatro elementos
• (1,2,4,3), (1,4,3,2),(2,1,3,4),(4,2,3,1)

54

• Posibles reglas Tabu a usar en este caso
• impedir todos los movimientos donde i ocupa la
  posición p(i) y j ocupa la posición p(j)
• impedir los movimientos donde alguna de las
  situaciones arriba suceda
• impedir que el trabajo i vuelva a una posición k
  con k lt p(i)
• impedir que el trabajo i cambie de posición
• impedir que i y j cambien de posición
• Como elegir el tiempo de permanencia en la lista
  Tabu
• valor fijo ( a ser ajustado en la
  experimentación)
• valor aleatorio entre un tmin y tmax dados a
  priori.
• valor variable de acuerdo al tamaño de la lista y
  las variaciones del valor de la función objetivo.

55

• Ejemplos de criterios de aspiración
• cuando todos los movimientos o vecinos posibles
  son Tabu, se elige alguno de ellos (el menos
  tabu)
• cuando con un movimiento tabu se obtiene una
  solución mejor que la mejor hasta ese momento
  (global o en la región)

56

• Ejercicio
• Pensar cómo implementaría un algoritmo tipo Tabu
  search para el siguiente problema
• Encontrar el árbol de mínimo peso de con k ejes
  (MWKT) en un grafo G (V,X) con pesos en los
  ejes.

57
Problema del viajante de comercio

• Espacio de soluciones
• permutaciones de (1,2,..n)
• Solución inicial al azar
• Movimientos
• k intercambios, se usa k2.
• Tamaño del espacio ( n-1)!/2
• de vecinos de una solución dada n(n-1)/2
• Todas las soluciones son alcanzables entre si
• Es fácil generar vecinos al azar y actualizar el
  costo
• Con estas definiciones se puede usar el esquema
  básico

58
MAS DETALLES de Tabu search......

• Uso de la memoria a largo plazo, en
  contraposición con la que se usa para manejar
  N(s), a corto plazo
• Frecuencia guardar información sobre atributos
  en una misma posición, movimientos que se
  repiten, datos sobre el valor de la solución
  cuando un atributo esta en una posición dada,
  etc.
• Lista de soluciones elite
• Intensificación
• Diversificación
• Camino de soluciones entre dos soluciones
  prometedoras.
• Etc.

59
Coloreo de grafos

• (Using Tabu Search Techniques for graph
  coloring, Hertz, de Werra, Computing 39,
  345-351, 1987)
• El problema de coloreo de grafos consiste en
  determinar cual es el mínimo número de colores
  con los cuales se pueden colorear los nodos de un
  grafo sin que dos nodos adyacentes tengan el
  mismo color.
• Características del algoritmo Tabú Search
  implementado
• G (V,X) grafo
• Soluciones factibles
• s (V1,V2,.Vk)
• (cada solución es una partición de V)
• Se arma una solución inicial al azar
• Función objetivo
• f(s) ? ( E (Vi) ,
  i 1.k)
• Vecinos cambiar un nodo de un conjunto Vi a
  otro.
• Lista Tabú
• (x,i), x ? Vi por varias
  iteraciones
• Función de aspiración
• Inicial A(z) z 1

60

• Problemas de horarios en instituciones educativas
• (Tabú Search for large scale timetabling
  problems, Hertz,A.,European Journal of
  Operations Research, 54, 1991.)
• Se tratan en este trabajo dos problemas
  relacionados con los horarios de los cursos y con
  asignar alumnos a los mismos cumpliendo una serie
  de restricciones.
• Nos referiremos en particular al problema de
  establecer los horarios.
• En este caso una de las mayores dificultades está
  en establecer que es lo que se va considerar la
  región factible, o sea el conjunto de soluciones
  S.
• El problema consiste en asignar un horario de
  comienzo a todas las clases x que se deben
  dictar.
• Dada la cantidad de restricciones planteadas se
  eligen algunas para definir un horario factible y
  las demás se tratan con penalidades en la función
  objetivo.

61

• Un horario se dice factible si solo pueden
  ocurrir los siguientes conflictos
• cursos dictados en forma simultánea tienen el
  mismo profesor.
• idem algunos alumnos en común.
• Los alumnos o los profesores no tienen suficiente
  tiempo para ir de un edificio a otro.
• Para cada turno x de una materia se define como
  a(x) los posibles horarios en los que puede ser
  dictado y como p(x) los momentos t a los cuales
  puede ser movido el curso x manteniendo la
  factibilidad.

62

• La función objetivo queda
• f(u,v) ?? (p4 d(x,y) o(x,y) e(x,y) )
• ?? b(x,y) (p5 d(x,y) p6e(x,y))
• donde para un par de turnos de clase x, y
• d(x,y) es el número de profesores en común
• e(x,y) es el número de alumnos en común
• o(x,y) depende del número de cursos opcionales
  entre x e y
• (puede ser 0,1 o 2)
• b(x,y) 1 si los cursos se dictan en lugares
  distantes y 0 sino.
• l(x) duración del curso x
• Ut es el conjunto de cursos dictados en el
  periodo t
• Asignacion U (U1.Uk)

63

• Problema de localización de plantas
• N talleres de una fabrica tiene que ser ubicados
  en N posibles ubicaciones. Se conocen las
  distancias aij entre los lugares y el flujo de
  circulación de partes entre cada taller.
• Se desea minimizar el total de las distancias
  recorridas por las partes.
• Función objetivo
• F ( S ) ? ? aij bsisj
• Movimientos cambiar de posición dos plantas.
• Facil de calcular el cambio de la función
  objetivo.
• Permite explorar todos los vecinos.
• Tamaño de N(S) O(n2)
• Lista Tabu
• Pares. Movimientos que mandan a p y q a lugares
  donde ya estuvieron en las últimas t iteraciones.
• Se pueden considerar también en la lista Tabu las
  posiciones donde estuvieron esos elementos.
• Tamaño variable. Puede ser al azar.

64

• Criterios de aspiración
• El movimiento deja de ser Tabu si mejora la mejor
  solución hasta el momento.
• Penalidad de un movimiento
• se calcula la frecuencia fm con que un
  movimiento se realiza se pone
• pm 0 si m cumple con el
  criterio de aspiración
• w fm sino
• y se usa como valor del movimiento
• f (x m ) f(x) pm

65
Problema de ruteo de vehículos

• (A Tabu Search heuristic for the vehicle routing
  problem, Gendreau, Hertz, Laporte, Management
  Science, Vol 40, nro 10, 1994)
• El problema básico de ruteo de vehículos consiste
  en determinar que recorrido tienen que hacer un
  número de vehículos dado para visitar un cierto
  número de lugares prefijados y volver al lugar de
  origen con un costo o tiempo mínimo. El conocido
  problema del Viajante de Comercio es un caso
  particular del mismo.
• Importancia de este tipo de problemas.

66

• En este caso particular, las características del
  problema tratado fueron
• a) todas las rutas empiezan y terminan en el
  depósito v0
• b) cada ciudad (salvo el depósito) es visitada
  exactamente una vez por uno y solo un vehículo.
• c) en cada ciudad hay una demanda qi (q0 0)
• d) la demanda total de una ruta no puede superar
  la capacidad de los vehículos Q.
• e) en cada ciudad hay que considerar un tiempo de
  servicio ti (t0 0 ).
• f) la longitud total de una ruta (tiempo de
  recorrido mas tiempo de servicio) no puede
  superar un valor máximo L

67
Algoritmo Tabu Search propuesto

• Soluciones Una solución S es un conjunto de m
  rutas R1,.....Rm donde cada vértice vi, salvo el
  deposito, pertenece a una única ruta.
• (las soluciones entonces no consideran las
  restricciones d y f).
• Función objetivo
• F1 (S) ? ? cij
• donde cij es el tiempo para ir de la ciudad i a
  la ciudad j
• F2 (S) F1 (S) p1 ? max 0, (?qi) Q
• p2 ? max 0, ? cij ? ti) L

68

• Vecinos
• Una ciudad se inserta en otra ruta solo si en
  ella está alguno de sus k vecinos mas próximos, o
  en una ruta vacía si hace falta crear una nueva
  ruta. Para obtener la nueva solución se
  reoptimiza esa nueva ruta.
• Lista Tabu
• Se prohibe a una ciudad volver a una cierta
  ruta por un cierto número de iteraciones.
• Tamaño variable, y dependiente de variables
  aleatorias.

69

• Función de aspiración
• Un movimiento de la lista Tabu se acepta si la
  solución que produce es factible y mejora el
  valor de F1 o es no factible y mejora el valor de
  F2.
• Ajuste de los parámetros de penalidad
• Los parámetros p1 y p2 se revisan cada h
  iteraciones. Si las pasadas h iteraciones
  produjeron soluciones que cumplen la restricción
  d p1 se divide por 2, sino se multiplica por 2.
  Lo mismo para p2.

70

• Criterio de parada
• Si los valores de la función no cambiaron después
  de Nmax iteraciones.
• Soluciones iniciales
• Si las ciudades se representan en coordenadas
  en el plano, se ordenan según el ángulo que
  forman con el deposito. Se arma una solución para
  el TSP para estas ciudades, y después se parte
  en m rutas, donde m es el número máximo de
  vehículos disponibles.
• Estrategias de intensificación y diversificación

71

• RESULTADOS
• Se testearon con 14 problemas de literatura, de
  entre 50 y 199 ciudades y se compararon los
  resultados con otras 12 heuristicas clasicas o
  implementaciones de simulating annealing y Tabu
  Search.

72
Problema de supervivencia de redes de
comunicaciones

• Solución para problemas de supervivencia de
  redes de comunicaciones. Una estrategia con
  búsqueda Tabú, Gustavo Vulcano, Tesis de
  Licenciatura, Depto. de Computación, Facultad de
  Ciencias Exactas y Naturales, UBA, 1997)
• El problema consiste en diseñar una red de
  comunicaciones de costo mínimo que cumpla ciertas
  condiciones de seguridad en el caso en que haya
  una falla en alguno de sus componentes. Los
  requerimientos de seguridad pueden ser muchos. En
  el caso considerado aquí la red esta formada por
  dos tipos de centrales
• Tipo 2, son los nodos troncales de la misma y por
  lo tanto la salida de servicio de una de ellas no
  debe impedir la comunicación entre cualquier otro
  par de centrales de tipo 2.
• Tipo 1, Su rotura podría impedir la comunicación
  entre otros dos nodos.

73

• Heurística Tabu implementada
• Soluciones, espacio no-conexo.
• Construcción de la solución inicial usando una
  heurística constructiva llamada
  greedy-ears-sparse
• Para construir los vecinos se usan heurísticas
  de intercambio. Después de analizar varias se
  propone la 1-opt.
• Lista Tabú
• Función de Aspiración
• Problemas en que fue testeado el algoritmo
• Resultados

74

• A tabu search algorithm for frecuency assignment
• Castelino, Hurley, Sephens, Annals of Operations
  research,63,1996.
• En que consiste el problema de asignación de
  frecuencias.
• Modelado como problema de coloreo de grafos con
  restricciones.
• En este caso se consideró el problema de asigna
  frecuencias de radio para comunicarse entre
  varios lugares, donde hay transmisores y
  receptores. Las frecuencias disponibles están
  separadas por 50 KHZ. No todos los canales se
  pueden asignar.
• Se ponen restricciones para minimizar la
  interferencia.

75

• Restricciones en el mismo sitio
• Separación cada par de frecuencias en un mismo
  lugar tiene que estar separadas por una cantidad
  fija (500 kHZ o 10 canales). esto se escribe como
• fi fj ? m
• donde m es el número de canales de separación.
• itermodulacion
• 2 fi fj ? fk
• 3fi 2fj ? fk
• fi fj fk ? fl
• 2fi fj 2 fk ? fl

76

• Restricciones entre sitios lejanos
• Restricción de distancia dos radios en sitios
  diferenctes no deben tener asignados la misma
  frecuencia, al menos que esten suficientemente
  lejos
• fi fj ? 0
• restricciones de canal
• fi fj ? m
• donde m es el número de canales de separación.
• Este problema es NP-Hard

77

• Tabu Search
• Una asignación de frecuencias se representa por
  un vector
• (fi .............fn )
• Los vecinos difieren de la actual asignación en
  una sola frecuencia. Se representan por el
  movimiento que indica la posición y el valor.
• Las soluciones se evaluan en función del número
  de interferencias.
• detalles de implementación
• Comparación con método de búsqueda local y con
  algoritmo genético.

78

• Code design, Honkala, Ostergard, 1997
• construcción de códigos para transmisión de la
  información.
• Como hacer para corregir el ruido y reconstruir

79

• El código
• palabras (vectores) sobre un alfabeto de q
  símbolos
• distancia de Hamming
• longitud de una palabra
• peso de una palabra
• C q-ary code de longitud n.
• distancia d(C)
• esfera de Hamming
• distancia mínima de código 2 e 1
• e-error-correcting code

80

• PROBLEMA
• determinar
• Aq (n,d) el cardinal máximo de un código de q
  símbolos con palabras de longitud n y distancia
  mínima al menos d.
• Porqué se busca esto?
• Varias metaheurísticas.

81
GRASP

• (Feo, T.,Resende, M.,Greedy randomized adaptive
  search procedures, Journal of Global
  Optimization, 1995, pp 1,27)
• Esquema de un algoritmo GRASP
• --------------------------------------------------
  ----------------------
• Mientras no se verifique el criterio de parada
• ConstruirGreedyRandomizedSolución (
  Solución)
• Búsqueda Local (Solución)
• ActualizarSolución (Solución,
  MejorSolución)
• End
• --------------------------------------------------
  -----------------------

82

• Algoritmo ConstruirGreedyRandomizedSolución
  (Solución)
• En vez de usar un algoritmo goloso que elija el
  elemento más prometedor para agregar a la
  solución, en cada iteración se elige al azar
  entre los que cumplen que no pasan de un
  porcentaje ß del valor del mejor elemento.
• Se puede limitar el tamaño de la lista de estos
  elementos.
• Algoritmo Búsqueda Local (Solución)
• Definición de intercambios

83

• Qué tenemos que hacer para usar esta metodología
  para un problema particular?
• Determinar el conjunto de soluciones factibles S.
• Determinar la función objetivo f.
• Dar un procedimiento para generar los elementos
  de N(s), vecinos de s o sea los intercambios de
  la búsqueda local.
• Decidir el tamaño del conjunto V ? N(s) que será
  considerado en cada iteración.
• Determinar el parámetro ß
• Definir criterios de parada.

84
EJEMPLOS

• Cubrimiento de conjuntos
• Dados n conjuntos P1, P2,..Pn
• sea I ?i Pi y J
  1,2,.n
• Un subconjunto J de J es un cubrimiento si
• ?i?J Pi I
• El problema de recubrimiento mínimo (set covering
  problem) consiste en determinar un cubrimiento
  de I de cardinal mínimo ( o sea con la mínima
  cantidad de conjuntos Pi)

85
Ejemplo

• P1 1,2 , P2 1,3 , P3 2 , P4 3
  
• Los cubrimientos mínimos tienen cardinal 2 y son
• P1 P2, ó
• P1 P4, ó
• P2 P3,

86

• Primer paso
• ConstruirGreedyRandomizedSolución ( Solución)
• Un algoritmo goloso podría ser agregar al
  cubrimiento el conjunto que cubre la mayor
  cantidad de elementos de I sin cubrir.
• En este caso para el algoritmo GreedyRandomized
  consideramos como conjuntos candidatos a los que
  cubren al menos un porcentaje ? del número
  cubierto por el conjunto determinado por el
  algoritmo goloso.
• También se puede limitar el tamaño de la lista de
  candidatos a tener a lo sumo ? elementos.
• Dentro de esta lista de conjuntos se elige
  uno al azar.

87

• Segundo paso
• Búsqueda Local (Solución)
• Para el algoritmo de descenso se definen los
  vecinos usando el siguiente procedimiento de
  intercambios
• Un k,p-intercambio, con p lt q, consiste en
  cambiar si es posible k-uplas del cubrimiento por
  p-uplas que no pertenezcan al mismo.
• Ejemplo cambiar la 2-upla P2 1,3 con la
  1-upla P4 3

88

• Ejemplo
• P1 3,4 , P2 3 , P3 2 ,
• P4 2,3,4 , P5 3,4,5 , P6 1,4,5 ,
  P7 2,3 ,
• P8 4
• Tomamos ? 40
• En la primer iteración la lista es P1, P4, P5
  ,P6 , P7. Supongamos que sale elegido al azar
  P5..
• Para el segundo paso la lista es P3, P4,P6 ,
  P7. Si resultara elegido P3 tendríamos el
  cubrimiento P3, P5 ,P6 que no es óptimo y
  podriamos pasar al algoritmo de búsqueda local.
• Si en primer lugar hubiera resultado elegido P6.
  y después hubiera salido P4.hubieramos obtenido
  la solución óptima P4,P6 .

89

• Resultados presentados en el trabajo de Feo y
  Resende
• Testearon el algoritmo en problemas no muy
  grandes pero difíciles que aparecían en la
  literatura.
• Lograron resolver problemas pequeños pero que aún
  no habían sido resueltos. Se hicieron 10 corridas
  para cada ejemplo con ß 0.5,0.6,0.7,0.8,0.9.
• Usaron solo 1,0 intercambios o sea sólo se
  eliminaron columnas superfluas.

90

• 2. Máximo conjunto independiente
• En este caso la medida para decidir que nodo
  agregar al conjunto independiente puede ser el
  grado. Se puede hacer un algoritmo goloso que en
  cada iteración agregue el nodo de menor grado.
• El intercambio se hizo de la siguiente forma
• Si tenemos un conjunto independiente S de tamaño
  p, para cada k-upla de nodos en ese conjunto
  hacemos una búsqueda exhaustiva para encontrar el
  máximo conjunto independiente en el grafo
  inducido por los nodos de G que no son
• adyacentes a los nodos de S S \ v1.....vk.
  Si el conjunto N resultante es de cardinal mayor
  que S entonces S U N es un conjunto
  independiente mayor que S.

91

• RESULTADOS
• Se testeó el algoritmo en grafos generados al
  azar de 1000 nodos (con ciertas condiciones). Se
  usó un máximo de 100 iteraciones y ß 0.1.
• Se hizo un preprocesamiento para facilitar el
  trabajo de GRASP, que se corre en grafos más
  chicos que los originales.

92
3. Job Scheduling

• Problema Un conjunto de tareas debe ser
  ejecutada en un único procesador. Hay tiempos no
  simétricos de transición entre tareas.
• Base del algoritmo se construye un camino
  hamiltoniano en forma golosa. Se usa un
  procedimiento de intercambio de nodos para la
  búsqueda local.

93

• 4. A GRASP for graph planarization, (Resende,
  Ribeiro, 1995).
• Problema Encontrar un subconjunto F de los ejes
  de G tal que el grafo G\F sea planar.
• Base un algoritmo GRASP como primer paso de una
  heurística conocida que antes usaba un algoritmo
  goloso heuristica de conjunto independiente
  extension del subgrafo planar.

94
ALGORITMOS GENETICOS

• Primeras ideas Holland ( 1975) (hay algún trabajo
  anterior)
• Basados en los principios de evolución y
  herencia.
• Modelar o simular fenómenos naturales, evolución
  de las especies, procesos de selección natural,
  mutación, etc.
• Vocabulario de la genética individuos,
  cromosomas, etc.
• Programas o algoritmos evolutivos

95
Estructura general de un algoritmo evolutivo

• --------------------------------------------------
  ----------------
• Empezar
• t 0
• inicializar P(t)
• evaluar P(t)
• Mientras no se cumpla la condición de parada
  hacer
• Empezar
• t t 1
• construir P (t) a partir de P(
  t-1)
• modificar P(t)
• evaluar P (t)
• Fin
• Fin
• --------------------------------------------------
  ---------------------

96

• P(t) x1, x2, x3........xn población de la
  generación t
• Los xk son los individuos de esa población. Cada
  uno representa una solución del problema que se
  está tratando.
• Se evalúa cada individuo usando una función
  apropiada para medirlo.
• Para formar la población de la siguiente
  generación se eligen los mejores, se realiza el
  cruzamiento y eventualmente se realiza una
  mutación.
• Después de un numero de generaciones se espera
  que el mejor individuo represente una buena
  solución (casi óptima).

97
Qué hace falta para construir un algoritmo
genético para un problema particular?

• representación genética de las soluciones
• forma de generar la población inicial
• función de evaluación
• operadores genéticos que alteren la
• composición de los hijos.
• determinación de parámetros (tamaño de la
  población, probabilidad de aplicar operadores
  genéticos, etc.)

98

• Minimización de una función
• max f(x) x sen (10 x) 1
• s.a. 1 lt x
  lt 2
• Se puede resolver analíticamente

99

• Representación
• Cromosoma vector binario de longitud
  relacionada con la precisión requerida (en este
  caso queremos 6 decimales)
• -1,2 tiene que dividirse en 3000000 intervalos
• (22 bits)
• 2097152 221 lt 3000000 lt 222 4194304
• Para convertir un string binario en un número
  real
• pasar (b21...............b0) de base 2 a base 10
  y obtener x
• x -1 x (3/ 222 1)
• Población inicial
• Se construye una población de vectores de
  binarios de 22 bits.
• Evaluación
• La función de evaluación es la función f

100

• Operadores genéticos
• Mutación
• Se altera uno o mas genes con una probabilidad
  igual a la tasa de mutación predeterminada
• Por ejemplo si el 5to gen de
• v3 (1110100000111111000101)
• es elegido para mutación el nuevo cromosoma queda
• v3 (1110000000111111000101)
• En cambio si se eligiera el 10mo gen quedaría
• v3 (1110000001111111000101)

101

• Cruzamiento
• Supongamos que tienen que cruzarse v2 y v3 y que
  el punto de cruzamiento queda en el 5to gen.
• Entonces si
• v2 (0000001110000000010000)
• v3 (1110000000111111000101)
• los nuevos cromosomas son
• v2 (0000000000111111000101)
• v3 (1110001110000000010000)

102

• Parámetros
• Tamaño de la población 50
• Probabilidad de cruzamiento 0.25
• Probabilidad de mutación 0.01

103
ResultadosDespués de 150 generaciones vmax
(111........................) 1.850773
f(vmax) 2.85
104
Más detalles

• Población inicial al azar de tamaño al azar
• Se calcula eval (vi) para cada cromosoma vi de la
  población.
• Valor de la población
• F ?i eval (vi)
• Probabilidad de selección de vi
• pi eval(vi) / F
• Probabilidad de selección
• qi ?1j pj

105

• Proceso de selección de la nueva población
• Hacer pop veces
• Generar un número al azar r en el intervalo (0,1)
• Si r lt q1 elegir v1 sino elegir i tal que
• qi-1 lt r lt qi
• (algunos cromosomas pueden ser elegidos más de
  una vez)

106

• Crossover (entre los individuos de la nueva
  población)
• Dada la probabilidad dada de crossover pc
  (parámetro) se toman pc pop cromosomas para
  participar del cruzamiento.
• Para cada cromosoma de la nueva población
• generar r al azar en (0,1)
• si r lt pc elegir el cromosoma para cruzamiento

107

• Aparear los cromosomas elegidos. Para cada par
  determinar al azar pos
• (b1,b2.....bpos,bpos1,...........bm)
• (c1,c2.....cpos,cpos1,............cm)
• se reemplazan por
• (b1,b2.....bpos,cpos1,...........cm)
• (c1,c2.....cpos,bpos1,............bm)

108

• Mutación
• Dada la probabilidad de mutación pm se cambian
• pm m pop bits.
• Para cada cromosoma y para cada bit generar r al
  azar entre 0 y 1.
• Si r lt pm cambiar el bit.

109
El dilema del prisionero

• Cuento dos prisioneros están en celdas
  separadas, imposibilitados de comunicarse y se
  les pide que traicionen al otro en forma
  independiente............
• El dilema del prisionero puede jugarse como un
  juego de 2 jugadores, donde cada uno a su turno
  traiciona o coopera con el otro. El puntaje que
  cada uno saca esta dado por la siguiente tabla

110

• Queremos diseñar un algoritmo que aprenda una
  estrategia para jugar al dilema del prisionero
• Representación de la estrategia
• Consideraremos estrategias determinísticas, que
  usen los resultados de las tres últimas jugadas
  para decidir la jugada actual.
• Una estrategia se representa por un string de 64
  bits indicando que hacer después de cada una de
  las posibles historias, más 6 bits para iniciar
  el juego (total 70 bits).

111

• Esquema del algoritmo
• Elegir una población inicial a cada jugador se
  le asigna al azar un string.
• Para determinar el score de cada jugador
  haciéndolo jugar con los otros. El score es el
  promedio de todos los juegos.
• Un jugador con score promedio se le asigna un
  par, a uno por debajo del promedio ninguna, y a
  los que están por encima 2 parejas.
• Los jugadores exitosos se aparean al azar para
  producir dos descendientes por pareja. La
  estrategia de cada descendiente se arma a partir
  de la estrategia de sus padres usando crossover y
  mutación.

112

• Resultados experimentales
• Partiendo de una población al azar se obtuvieron
  poblaciones donde el jugador medio era tan
  exitoso como el de las mejores heurísticas
  conocidas hasta el momento.
• Se sacaron conclusiones acerca del
  comportamiento de los mejores jugadores
• i) Continúe cooperando después de tres
  cooperaciones mutuas .... (ponga C después de
  recibir (CC)(CC)(CC))
• ii)Provoque traicione después que el otro
  traiciona después de varias cooperaciones (ponga
  D después de recibir (CC)(CC)(CD))

113
El problema del viajante de comercio

• Representación
• Conviene usar vector binario en este caso?. Haría
  falta un vector binario de log2 n bits para
  cada ciudad, n log2 n en total.
• Que pasaría con el crossover y la mutación?.
• Algoritmos de reparación
• Es mejor usar una representación entera. Usamos
  un vector (i1,i2,......in) para representar un
  tour.
• Inicialización
• Se pueden usar heurísticas constructivas
  empezando de distintas ciudades o generar los
  tours al azar.

114

• Crossover
• Hay muchas posibilidades, por ejemplo
• Padres
• (1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12)
• (7,3,1,11,4,12,5,2,10,9,6,8)
• Se toma por ejemplo el segmento (4,5,6,7) y queda
  el descendiente
• (1,11,12,4,5,6,7,2,10,9,8,3)
• De la misma forma se construye el otro hijo.
• Se puede hacer mutación acá?.Cámo?

115

• Otra representación La ciudad i está en la
  posición j si el tour va de la ciudd I a la
  ciudad j.
• Posible cruzamiento
• Elegir al azar un eje del primer padre, después
  elegir el eje que sigue del segundo y así
  siguiendo. (Si elige un eje que genera subtour,
  se elige al azar uno que no genere subtour).
• Ej padres
• (2 3 8 7 9 1 4 5 6)
• (7 5 1 6 9 2 8 4 3)
• Hijo (2 5 8 7 9 1 6 4 3)

116

• Otra posibilidad de cruzamiento.
• Elegir una ciudad al azar y después el menor eje
  de ambos padres saliendo de esa ciudad. Si ese
  produce ciclo elegir el otro. Si ese también
  produce ciclo elegir otro dentro de un pool de q
  ejes elegidos al azar.

117

• Otra representación
• Si tenemos el tour
• C (1 2 4 3 8 5 9 6 7)
• se representa por (1 1 2 1 4 1 3 1 1)
• (i representa la posición en la que está la
  ciudad que sigue en el orden en el tour que
  queda después que se fueron sacando las
  anteriores).

118

• Acá se puede usar el cruzamiento clásico.
• Padres
• (1 1 2 1 4 1 3 1 1)
• ( 5 1 5 5 5 3 3 2 1)
• Hijos
• (1 1 2 1 5 3 3 2 1)
• (5 1 5 5 4 1 3 1 1)
• corresponden a tours válidos
• Ver que significa esto respecto de los circuitos
  representados por los padres y los hijos.

119

• Representaciones matriciales
• M matriz binaria donde mij 1 si la ciudad i
  está antes que la ciudad j en el circuito.
• Características de estas matrices?.
• Ideas de cruzamiento?

120
A family of genetic algorithms for the pallet
loading problem. Herbert, Dowsland, ANOR, 1996.

• Pallet loading o Two dimensional packing
  problem.
• Suponemos que el container y las piezas son
  rectangulares.
• Las piezas se acomodan paralelas a los bordes

121

• Qué consideran una solución?.
• Cómo representarla?
• Cómo hacer crossover y mutación?
• Función objetivo
• Cómo generar la primera población?
• Reparación de soluciones

122

• Porqué funcionan los algoritmos genéticos (con
  representación binaria)?.
• Esquemas
• ( x x 1 1 x x 0 0 1 1 x 1)
• ( 1 1 0 1 1 x x 1 1 1 1 0)
• Idea de porqué sobreviven los mejores esquemas.

123

• Orden de un esquema
• Longitud de un esquema
• Teorema del esquema. (Schema Theorem)
• Los esquemas cortos, de bajo orden de valor
  (fitness) por encima de la media van a ser
  revisados un número exponencialmente creciente de
  veces en las generaciones de un algoritmo
  genético.

124
Ventajas y desventajas de los Algoritmos
Genéticos

• Inicialmente GA se usaba para problemas típicos
  de Inteligencia Artificial (reconocimiento de
  patrones, machine learning, etc.)
• Aplicaciones exitosas a problemas de Optimización
• Problema como hacer la representación.
• Ventajas...............

125
COLONIA DE HORMIGAS

• (primeras ideas Dorigo , Colorni, Maniezzo,
  1991)
• Inspiración en modelo biológico
• comportamiento de una colonia de hormigas
  (Argentine ants) en un experimento de laboratorio
  donde tenían que llegar a la comida por uno de
  dos puentes de distinta longitud. Después de unos
  minutos la mayoría de las hormigas eligen siempre
  el más corto. Las hormigas dejan una huella de
  pheromona cada vez que recorren un camino. Cada
  vez que una hormiga llega a una intersección
  elige para seguir la rama por donde hay más
  pheromona.

126

• A partir de allí surgen las ideas básicas que
  permiten construir soluciones a problemas de
  optimización
• buscar en forma paralela a lo largo de ? huellas
  o caminos