Superficies Cu

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Superficies Cuádricas
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Ecuación General

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Ecuación Canónica

• Cuádrica con eje de simetría
• Esfera, elipsoide, hiperboloide (1 y 2 hojas) y
  cono.
• Cuádrica sin eje de simetría
• Paraboloide elíptico e hiperbólico.

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Métodos de reconocimiento

• Invariantes Se analizan parámetros que no
  cambian con la rotación o traslación de la
  cuádrica.
• Trazas resultan de interceptar la superficie
  cuádrica con planos coordenados.

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Invariantes (?, d, S, T, E, h)
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ESFERA
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Corte con planos yk
Las intersecciones resultantes de cortar con
planos yk, son círculos paralelos al plano x-z.
Para kR, la traza es un punto.
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Cortes con xk , zk
En ambos casos las trazas son círculos análogos
al mostrado para la traza y.
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ELIPSOIDE
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Cortes con planos yk
Las intersecciones resultantes de cortar con
planos yk, son elipses paralelas al plano x-z.
Si kltb, las trazas son elipses. Si kb, la traza
es un punto.
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Cortes con z k , x k

• Para cortes con planos xk y zk, la situación
  es análoga con lo visto para los cortes yk.
• xk si klta, las trazas son elipses
• si ka, la traza es un punto
• zk si kltc, las trazas son elipses
• si kc, la traza es un punto

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Cortes con xk , zk
En ambos casos las trazas son elipses similares a
la mostrada para la traza y.
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HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA
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Cortes con planos yk
Las intersecciones resultantes de cortar con
planos yk, son hipérbolas paralelas al plano x-z.
15
Cortes con planos xk
Las intersecciones resultantes de cortar con
planos xk, son hipérbolas paralelas al plano y-z.
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Cortes con planos zk
Las intersecciones resultantes de cortar con
planos zk, son elipses paralelas al plano x-y.
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HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS
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Cortes con planos yk
Las intersecciones resultantes de cortar con
planos yk, son hipérbolas paralelas al plano x-z.
19
Cortes con planos xk
Las intersecciones resultantes de cortar con
planos xk, son hipérbolas paralelas al plano y-z.
20
Cortes con planos zk
Las intersecciones resultantes de cortar con
planos zk, son elipses paralelas al plano x-y.
Para que existan trazas debe ser .
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CONO
22
Cortes con planos yk
Las intersecciones resultantes de cortar con
planos yk, son hipérbolas paralelas al plano
x-z. En el caso de k0, las trazas son rectas
asintóticas a las hipérbolas antes mencionadas.
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Cortes con planos xk
Las intersecciones resultantes de cortar con
planos xk, son hipérbolas paralelas al plano
y-z. En el caso de k0, las trazas son rectas
asintóticas a las hipérbolas antes mencionadas.
24
Cortes con planos zk
Las intersecciones resultantes de cortar con
planos zk, son elipses paralelas al plano x-y.
Si k0, la traza es un punto.
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PARABOLOIDE ELIPTICO
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Cortes con planos yk
Las intersecciones resultantes de cortar con
planos yk, son parábolas paralelas al plano x-z.
27
Cortes con planos xk
Las intersecciones resultantes de cortar con
planos xk, son parábolas paralelas al plano y-z.
28
Cortes con planos zk
Las intersecciones resultantes de cortar con
planos zk, son elipses paralelas al plano x-y.
Para k0, la traza es un punto. Debe ser k/c?0
para que exista traza.
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PARABOLOIDE HIPERBOLICO
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Cortes con planos yk
Las intersecciones resultantes de cortar con
planos yk, son parábolas paralelas al plano x-z.
31
Cortes con planos xk
Las intersecciones resultantes de cortar con
planos xk, son parábolas paralelas al plano y-z.
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Cortes con planos zk
Las intersecciones resultantes de cortar con
planos zk, son hipérbolas paralelas al plano
x-y. Para kgt0, las hipérbolas tienen al eje y
como eje de simetría.
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Cortes con planos zk
Para klt0, las hipérbolas tienen al eje x como eje
de simetría. Para k0 las trazas son rectas
asintóticas a las hipérbolas.