BANDAS DE ENERGIA

1
BANDAS DE ENERGIA
2
Velocidad de deriva.

• La fuerza sobre un electron producida por un
  campo electrico E es
• F -eE dp / dt ? dk / dt . Cada estado
  electronico k cambia una cantidad dk -eEt/ ?.
  La esfera de Fermi se desplaza uniformemente.
• Hay una velocidad que se adquiere por la
  presencia del campo dada por
• dv dp/m -(et/m)E

3
Resistividad Electrica

• dv dp/m -(e ? /m)E
• J nqdv (ne2?/m)E
• J ?E
• ne2?/m
• Se mide experimentalmente la conductividad
• Electrica y se obtiene ?.
• Se define libre camino medio,
• l VF ?.

4
Resistividad Electrica
? ?(T) ?0
5
Conductividad termica Electronica

• De la teoria cinetica tenemos K ?vCv/3
• K es la conductividad termica, v es la velocidad
  del electron, ? es el libre camino medio y Cv es
  la capacidad calorifica por m3
• Electrones se mueven, v vF , ? vFt , Cv
  (p2/2) nkB (T/TF)
• asi K p2nk2BtT/3m ahora s ne2t/m
• Porlotanto K /s T (p2/3)(kB/e)2 2.45 x 10-8
  WWK-2 (nro deLorentz)
• El resultado anterior es llamado Ley de
  Wiedermann-Franz
• Valores medidos del numero de Lorentz a 300K son
  Cu 2.23, In 2.49, Pb 2.47, Au 2.35 x 10-8 WWK-2

6
Exitos del modelo del electron Libre

• Introduce una idea util del tiempo de relajacion
• Da una dependencia correcta del calor especifico
  respecto de la temperatura
• Presenta un acuerdo razonable con la ley de
  Wiedermann-Franz
• Magnitudes observadas del calor especifico
  electronico y coeficiente hall son similares a
  los predichos en muchos metales
• Indica que los electrones son mucho mas libre de
  lo que uno se pueda imaginar

7
Teoria de bandas

• Para obtener la estructura de Bandas de energia
  en forma correcta necesitamos resolver la
  ecuacion de Schrödingers para los electrones en
  la presencia de un potencial periodico. Esta
  ecuacion no puede resolverse en forma exacta y
  algunas aproximaciones son necesarias. Existen
  dos modelos EL modelo del electron cuasi-libre y
  el modelo de tight binding, enlace fuerte.
• En estos modelos continuamos tratando los
  electrones como independendientes, o sea
  despreciando la interaccion electron-electron

8
Niveles de Energia y Bandas

• Atomos aislados tienen niveles de energia
  permitidos.
• En la presencia de un potencial periodico,
  bandas de estados permitidos estan separados por
  brechas de energias para los cuales no hay
  estados de energia permitidos
• Los estados permitidos en conductores pueden ser
  construidos de combinaciones de estados del
  electron libre (modelo del electron cuasi-libre)
  o de la combinacion lineal de orbitales atomicos
  de atomos aislados (modelo tight binding).

9
Ondas en una red Periodica
Consideremos una onda, con longitud de onda l
moviendose a traves de una red 1D de periodo
a Hay una reflexion de 180 para l 2a Estas
ondas reflejadas interfieren constructivamente On
da tiene un vector de onda, k 2p/l.
potencial dispersi periodo a
Vectores Red Reciproca 1D son G n.2p/a n
entero condicion Bragg es k G/2 Red 3D
Dispersion occurre si k' k G Donde G ha1
ka2 la3 h,k,l enteros y a1 ,a2 ,a3 Son los
vectores de red reciprocos primitivos
k'
G
k
10
Dispersion de Bragg y gap de Energia

• Potencial periodico 1D. Vectores red reciproca,
  G 2n p/a
• Un electron libre en un estado exp( ipx/a), (
  onda mueve derecha) hay una reflexion Bragg en k
  G/2 y la onda se mueve a izquierda exp(
  -ipx/a).
• En el modelo del electron libre estados
  permitidos no normalizados para k p/a son
• ?() exp(ipx/a) exp( - ipx/a) 2 cos(px/a)
• ?(-) exp(ipx/a) - exp( - ipx/a) 2i sin(px/a)

Hay dos estados permitidos para el mismo k con
diferentes energias
11
Dos Soluciones, funcion seno y coseno
solucion Coseno ?() tiene maxima densidad
probabilidad electronica en el minimo del
potencial. solution Seno ?(-) tiene maxima
densidad probabilidad electronica en maximo del
potencial.
Cos(px/a)
Sin(px/a)
Cos2(px/a)
En una red periodica las funciones de onda
permitidas tienen la propiedad Donde R es un
vector de Red
Sin2(px/a)
12
MAGNITUD DEL GAP DE ENERGIA
Tomemos un potencial periodico de la forma   Sea
L la longitud del cristal. Note que L/a es el
numero de celdas unitarias y es un entero.
Normalizando la funcion de onda ?()
Acos(px/a) tenemos   asi   El valor esperado
de la energia para el estado ?() es    
13
Gaps en las fonteras de la Zona de Brillouin
En puntos A ?() 2 cos(px/a) and
E(hk)2/2me - V0/2 . En puntos B ?(-)
2isin(px/a) and E(hk)2/2me V0/2 .