Estimacin de intervalos de dispersin aleatoria y confianza

1
Estimación de intervalos de dispersión aleatoria
y confianza
2
Valor verdadero y medición
Valor esperado
Valor Correcto
Precisión, (dispersión aleatoria)
3
Población

Población
La totalidad de los elementos posibles de interés.
La muestra será analizada y se extraerán
conclusiones respecto a la población.

• Por ejemplo
• Lote
• Producción anual
• Extensiones de suelo contaminado
• Cuerpos de agua

4

• Descripción

Muestra
Población
La descripción se realiza mediante
Parámetros
Valores característicos
Por ejemplo
Media µ Desviación estándar s Frecuencia p
Los parámetros de la población se aproxima
mediante los valores conocidos de la muestra.
En relación a la población, a los valores
característicos siempre se les atribuye una
incertidumbre.
Valores estimados
5
Población, muestra
Muestra
Población

Lo que el cliente desea conocer!
Lo que conoce el analista!
Población
Muestra
6
Población, muestra
En qué rango de valores (intervalo de
dispersión) es de esperarse que se encuentran los
valores caracteristicos de una muestra de una
población determinada?

• Conclusiones

Parámetros de la población
Valores caracterís- ticos de la muestra
Conclusión directa
Intervalo de dispersión aleatorea de los valores
caractríst.
Indervalo de confianza de los parámetros
Conclusión indirecta
En qué rango de valores (Intervalo de confianza)
es de esperarse que estén los parámetros de la
población a la que pertenece una muestra
determinada?
1 - a Nivel de confianza a Probabilidad de
error
7
Intervalo de dispersión aleatoria

• Generalidades

Conclusión respecto a la muestra, partiendo de la
población, son conocidos los parámetros de la
población (m, s)
Fundamentos Distribución normal estándar En
ella la distribución de los valores es conocida.
El intervalo en donde los valores de medición
serán encontrados habitualmente se conoce como
intervalo de dispersión aleatoria (IDA).
IDA
nivel de confianza P 1 - a Probabilidad de que
los valores conocidos de una muestra caigan en el
IDA
Probabilidad de error a Probabilidad de que los
valores conocidos de la muestra puedan ubicarse
fuera del IDA
8
IDA

• Cálculo del IDA para parámetros característicos
  de posición

IDA de dos colas IDA de
una cola
Los valores conocidos inferior y superior
establecen los valores límites del IDA.
El valor cn en la mediana depende del número de
valores de medición tabulados.
9
IDA

• Aplicación

• El IDA se aplica, por ejemplo, cuando se realiza
  
• cumplimiento con valores límites permisibles o
  valores nominales,pruebas de valores de garantía
  o
• elaboración de diagramas de control de calidad
  para control de procesos

Los valores más comunes para la probabilidad de
error a son
IDA 1 cola
IDA 2 colas
Nivel de
confianza
a
a
2
u
u
u
a
u
1 - a
/
1 -
/
(1 - a/2)
(1 - a)
(a/2)
(a)
2
1 - a
90,0
0,1
-1,2816
0,9
1,2816
0,05
-1,6449
0,95
1,6449
95,0
0,05
-1,6449
0,95
1,6449
0,025
-1,9600
0,975
1,9600
99,0
0,01
-2,3263
0,99
2,3263
0,005
-2,5758
0,995
2,5758
99,9
0,001
-3,0902
0,999
3,0902
0,0005
-3,2905
0,9995
3,2905
10
IDA

• Probabilidad y precisión

10 de probabilidad
99 de probabilidad
90 de probabilidad
Diferencia entre la probabilidad de una
afirmación y su precisión
Las afirmaciones seguras son imprecisas las
afirmaciones precisas son inseguras.
11
IDA

• Distribución c2

Funciones de densidad de distribuciones c2
Para definir el IDA de la desviación estándar se
utiliza la distribución c2.
Cuando la varianza s2 de una muestra procede de
una población con la varianza s2, entonces la
variable c2 sigue una distribución c2 con el
parámetro f n - 1.
La distribución c2 es asimétrica y con una f
creciente se aproxima paulatinamente a la
distribución normal.
Los valores bajo la curva (G(c2)) se tabulan en
función de las grados de libertad f.
12
IDA

• Cálculo del IDA de la desviación estándar.

IDA de dos colas
IDA de una cola
superior
inferior
13
IDA

• Resumen de fórmulas

dos colas
una cola
Valor característico
Valor individual
Media
Mediana
Desviación estándar
14
Intervalo de dispersión aleatoria

• Ejemplo

El dispositivo de envasado del dosificador
automático de una sustancia, indica que la
cantidad dosificada está distribuida normalmente,
con m 10,0 g 2. Un cliente prueba 12
envases y encuentra en promedio 9,87 g con s
0,27 g.
Están correctos los envases?
Qué deberá probarse?
1. La posición, esto es, la media 2. La
dispersión, esto es, la desviación estándar
Pregunta en qué intervalo se puede esperar a los
resultados muestrales?
Valores inicales
Valores nominales
m 10,0 g s ? VK 2
s 0,2 g
Valores medidos
Realizar los cálculos !
s 0,27 g
n 12
15
IDA

• Ejemplo

1. Prueba de la media
El IDA no contiene a la media calculada.
El IDA sí contiene a la media calculada.
Probablemente la dosificación es menor.
La dosificación es correcta
16
IDA

• Ejemplo

2. Prueba de la desviación estándar
Valor nominal m 10,0 g 0,2 g
Valor de medición 9,87 g 0,27 g, n 12
En ambos niveles de confianza la desviación
estándar calculada cae dentro del IDA. No hay
desviaciones.
17
Conclusión indirecta

• Intervalo de Confianza (IC)

A cada valor característico de una muestra
corresponde un indicador sobre la exactitud del
cálculo. Este indicador se obtiene mediante el
IC .
Los intervalos de confianza de los parámetros
están estrechamente relacionados con los IDA de
los valores característicos y pueden ser
derivados de ellos.
IC - Cálculo mediante la distribución normal con s
IC - Cálculo mediante la distribución t
18
IC

• IC de la media

1. s es conocida
Para el IDA de la media
m
Es decir, cae dentro de estos límites
Cuando cae en éste intervalo (lo que
ocurre con la probabilidad (1 - a) ), entonces la
distancia de m respecto a es máxima para
19
IC

• IC de la media

1. s es conocida.
Por tanto, para un IC del valor medio m puede
enunciarse
IC de una cola
inferior
superior
20
IC

• IC de la media

2. s es desconocida
El procedimiento es el mismo que el para IC con
s conocida.
La distribución de la desviación entre s und s es
considerada a través de la distribución t.
21
IC

• Distribución t

La distribución t es muy semejante a la
distribución normal N(01).
Es continua, simétrica, con forma de campana y
tiene un área de variación de - s .
La forma de la distribución t es independiente de
m und s y se determina solamente a través de los
grados de libertad (gl)
Cuanto menores son los gl, son mayores las
desviaciones respecto a N(01). Para gl mayores,
la distribución t se convierte en la
distribución normal N(01).
22
Valores característicose

• Grados de libertad (gl)

El número de grados de libertad (gl) de una
cantidad aleatoria se define mediante el número
de observaciones libres disponibles, de los
datos muestrales n menos la cantidad a de
parámetros muestrales calculados (estimado).
Dada la suma de 3 cantidades, se puede disponer
libremente de 2 cantidades la tercera se
comprometió en la suma..
Ejemplo
Para n valores de medición cuya suma es
conocida, se eligen libremente n - 1.
23
IC

• Distribución t

La distribución t tiene, junto con una menor
altura, una extensión claramente mayor respecto
a la distribución normal.
límites
Distribución t
DN
2 colas
N(01)
f 2
f 5
f 150
95,0
1,960
4,303
2,570
1,976
99,0
2,576
9,925
4,032
2,609
99,9
3,291
31,599
6,869
3,357
Para gl 150 los valores de la distribución t se
aproximan a la distribución normal.
Los valores para el área bajo la campana están
tabulados.
24
IC

• IC de la media

2. s es desconocida.
Con ayuda de los valores t puede determinarse los
ICs.
Para un IC de dos colas , la media m
Para un IC de una cola
inferior
superior
25
IC

• IC de la desviación estándar

El IC de dos colas es igual a
Para un IC con límite superior (una cola)
Para un IC con límite inferior (una cola)
?
26
IC

• IC de la desviación estándar

Para el IC de la desviación estándar se tiene
Por tanto, se obtienen las siguientes ecuaciones
y análogamente
límite inferior
límite superior
Con esto se definen los valores límite del
intervalo que contiene a s con la probabilidad
definida. Esto es el IC de la desviación estándar
s.
27
IC

• Resumen de las fórmulas

dos colas
una cola
Media
s conocida
s desconocida
Desviación estándar
28
IC

• Ejemplos

La concentración de una solución debe ser de
1,50 con s de 0,01. La solución es medida 5
veces, con 1,48 1,47 1,50 1,48 y 1,49. Se
cumple con la norma (a 5)?
Solución Calcular el IC de la media y de la
desviación estándar y comparar con los valores
nominales (Sollwerten).
IC de la media
Datos iniciales
Mediciones
Requerimientos
m 1,50s 0,01
La concentración es demasiado baja.
29
IC

• Ejemplo

IC de la desviación estándar
Datos iniciales
Mediciones
Requerimientos
m 1,50s 0,01
La dispersión es correcta.
30
Intervalo de desviación aleatoria ? Número mínimo
de mediciones
Intervalo de desviación aleatoria

Número mínimo de mediciones
a Probabilidad de error
31
Número mínimo de mediciones/muestras

A través de estes ecuaciones se puede estimar que
número mínimo de mediciones se necesita para
lograr la precisión d deseada.
Media d es la diferencia mínima que se puede
identificar al usar ese número de muestras.
d es la desviación estándar relativa.
Lit. Lothar Sachs Angewandte Statistik
Springer-Verlag 1990
32
Ejemplo media
El resultado debe tener la precisión de 0,1
g/mL D.E. del Método A 0,05 g/ml y del
Método B. 0,15 g/mL Número de muestras para
identificar una diferencia de las medias de 0,1
g/mL con la probabilidad de error de a 5 ?

Número mínimo de muestras
d 0,1 s 0,05 a 5
d 0,1 s 0,15 a 5
A
B
Una determinación sóla es suficiente
Hay que medir por lo menos 9 veces.
33
Ejemplo Desviación estándar
Para distiguir una diferencia de dispersión de
0,5 teniendo una desviación estándar de 1,5 o
0,5 se necesita cuantas mediciones?

Número mínimo para desviación estándar
s 0,5 a 1 s 1
s 1,5 a 1 s 2