Principios de Inteligencia Artificial

1
Principios de Inteligencia Artificial
Búsqueda heurística

• Universidad Antonio de Nebrija
• Ramiro Lago
• Curso 2004-5

2
Heurística

• Con el fin de resolver problemas complicados con
  eficiencia, es necesario sacrificar los
  requisitos de movilidad y sistematización para
  construir un control, que encuentre siempre una
  buena solución aunque no garantice encontrar la
  mejor
• De aquí surge la idea de Heurística una
  heurística es una técnica que aumenta la eficacia
  de un proceso de búsqueda sacrificando la
  exhaustividad
• La característica más importante de una
  heurística es la reducción del espacio de
  búsqueda de exploración de las rutas que
  conducen a una solución
• En problemas del mundo real no siempre es posible
  encontrar soluciones precisas pero no es fácil
  dar una respuesta precisa a preguntas como
  Porqué ha aumentado la temperatura media de una
  región geográfica?
• En estor casos la obtención de una heurística
  esta relacionada con una idea que hemos apuntado
  en el primer tema El conocimiento experto (o
  del experto). En el mundo real se pueden
  introducir heurísticas basadas en este tipo de
  conocimiento  como sucede que este conocimiento
  generalmente no está estructurado, su
  formalización escapa al análisis matemático y es
  objeto de un especial tratamiento por una parte
  de la IA conocida como Ingeniería del
  Conocimiento (KE)

3
Tipos de técnicas heurísticas tratadas

• Escalada (hill climbing)
• El primero mejor (best-first search)
• Reducción del problema (problem reduction)
• Verificación de restricciones (constraint
  satisfaction)
• Análisis de medios y fines (means-ends analysis)

4
Funciones heurísticas

• Hay varias formas de incorporar el conocimiento
  heurístico de un dominio a un determinado
  proceso de búsqueda, una de las más utilizadas es
  la realizada mediante las llamadas Funciones
  heurísticas o funciones de evaluación de estados
  (nodos)
• Una función heurística es una cuantificación (o
  evaluación) de un estado de un sistema , que nos
  permite determinar su deseabilidad respecto a
  un objetivo determinado
• El propósito de dicha función es guiar el proceso
  de búsqueda en la dirección más prometedora,
  sugiriendo cual escoger cuando se presentan
  varias opciones
• La eficiencia de la búsqueda mejora notablemente
  si existe una forma de ordenar las selecciones de
  modo que las más prometedoras se exploren
  primero. Los métodos que sacan provecho de tales
  mediciones se conocen como métodos informados
  heurísticamente.

5
Técnica de la escalada

• El método consiste en un bucle que constantemente
  se desplaza en dirección de un valor ascendente
  (nodos más prometedores). Para decidir en que
  dirección debe moverse se necesita una función
  de evaluación de los nodos , por ejemplo por
  medio de una función que estime la proximidad de
  un estado a una meta
• La técnica de escalada es un procedimiento de
  búsqueda en profundidad, pero ahora dispondremos
  de una función que ayude a decidir en qué
  dirección nos moveremos en el espacio de búsqueda
• La escalada se utiliza frecuentemente cuando se
  dispone de una buena función para evaluar los
  estados intermedios, y es necesario asimismo un
  objetivo hacia el que moverse, si no existe este
  estado a priori no debe utilizarse este método

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Algoritmo de escalada simple

• Se queda con el primer sucesor que es mejor
• El algoritmo
• Evaluar el estado inicial, lo denominaremos M. Si
  es estado objetivo, entonces devolverlo y
  terminar, si no, convertirlo en estado actual
• Repetir hasta que se encuentre solución o hasta
  que no se pueda seguir (no hay operadores nuevos
  que aplicar)
• A. Seleccionar un nuevo operador que no se haya
  aplicado al estado actual y aplicarlo para
  generar un sucesor al estado actual, lo llamamos
  nuevo estado
• B. Evaluar nuevo estado
• Si el nuevo estado es estado objetivo, devolverlo
  y terminar
• Si no es estado objetivo, pero es mejor que el
  estado actual, entonces convertirlo en estado
  actual
• Si no es mejor que el actual, seguir el bucle (2)
• El algoritmo no guarda el árbol de búsqueda
  recorrido (la traza).
• La comparación es muy local sólo se compara la
  bondad del estado actual con sus sucesores
  inmediatos

7
Un ejemplo

• Veamos que este algoritmo de escalada es
  demasiado inflexible, sólo se queda con el
  primero mejor
• El valor de la función de evaluación aparece
  asociado al nodo
• La meta es el nodo H (nodo de mayor puntuación
  según la función de evaluación)

Estado actual Estado nuevo Mejor A B B B D D E
l algoritmo termina, ya que D no tiene sucesores.
D es bueno, pero no el mejor global
(meta). El algoritmo debió tomar C, pero el
primero que era mejor es B.
8
Algoritmo de escalada por la máxima pendiente

• El algoritmo
• Evaluar el estado inicial. Si es estado objetivo,
  entonces devolverlo y terminar, si no,
  convertirlo en estado actual
• Repetir hasta que se encuentre solución o hasta
  que una iteración completa no produzca un cambio
  en el estado actual
• A. Aplicar cada operador al estado actual y
  conseguir sucesores E1, ... En.
• B. Evaluar E1 .... En. Si alguno es objetivo,
  devolverlo y terminar Si no es así, seleccionar
  el mejor (Em)
• C. Si Em es mejor que el estado actual, hacer que
  Em sea el estado actual. Volver a (A)
• Frente a la escalada simple, considera todos los
  posibles estados nuevos (no el primero que es
  mejor)

9
Un ejemplo que funciona

• Queremos ir del Sur al Norte (de A hasta J) de
  modo que en cada cruce nos aproximemos más. Los
  cruces se representan en la siguiente figura por
  los nodos.
• La función heurística puede basarse en la medida
  de distancia espacial a la meta. A cada nodo
  asociamos su distancia.
• Los operadores son Ir al siguiente del Norte,
  Ir al siguiente del Este e Ir al siguiente del
  Oeste. Observar que aunque existiese un operador
  Ir al siguiente hacia el Sur el algoritmo
  evitaría el nuevo nodo, ya que siempre sería peor
  (más distante).

Estado actual Sucesores Mejor A B,C B B D D D
C,E,H H H I I I J J Meta
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Un ejemplo que no funciona

• Hemos modificado el ejemplo anterior. Por qué se
  queda parado en D?

Estado actual Sucesores Mejor A B,C B B D D D
C,E C D El estado actual vuelve e ser D, ya
que ninguno de sus sucesores es mejor que él
J
0
I
H
2
1
G
3
4
3
C
D
E
4
5
4
B
A

• El estado D es un mínimo local, no el mínimo
  absoluto (la meta)

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Inconvenientes de los métodos de escalada

• El proceso de búsqueda puede no encontrar una
  solución cuando se encuentra con
• Máximo/mínimo local un estado que es mejor que
  todos sus vecinos, pero no es mejor que otros
  estados de otros lugares. Puesto que todos los
  estados vecinos son peores el proceso se queda
  paralizado
• Meseta los estados vecinos tienen el mismo
  valor. El proceso, basado en comparación local,
  no discrimina la mejor dirección
• El origen de estos problemas es que el método de
  la escalada se basa en comparaciones locales, no
  explora exhaustivamente todas las consecuencias.
  Frente a otros métodos menos locales, tiene la
  ventaja de provocar una explosión combinatoria
  menor
• Soluciones parciales
• Almacenar la traza para poder ir hacia atrás,
  hasta un estado prometedor (o tan bueno como el
  que hemos dejado)
• Dar un gran salto para seguir la búsqueda. Útil
  en el caso de mesetas

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Un ejemplo de los inconvenientes del método de
escalada

• Considerar el problema de ordenar los bloques
• Supongamos la siguiente función heurística
  añadir un punto por cada bloque que este sobre el
  bloque que debe estar, restar un punto en caso
  contrario
• Disponemos de dos operadores
• Coger bloque y situarlo sobre otro Encima (x,
  y)
• Coger un bloque y situarlo sobre la mesa
  SobreMesa(x)
• Al usar esta función el estado inicial tiene un
  valor de 4, y el final 8. Sólo es posible
  realizar un movimiento a partir del estado
  inicial (SobreMesa (A)), este movimiento, produce
  un estado de valor 6 y el algoritmo de escalada
  acepta este movimiento.
• En el nuevo estado aparecen tres movimientos
  posibles que dan lugar a tres estados de valor 4
  (a,b,c). El proceso se detiene ya que las tres
  opciones son peores que el estado inicial (6)

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Cambiamos de método o cambiamos de función?

• El problema de los bloques nos muestra que el
  método se ha quedado atascado en un máximo local
  (el segundo estado). Podemos
• Cambiar de método. Escoger una técnica que no sea
  tan local
• Cambiar de función heurística. Por ejemplo por
  cada bloque que se sitúe en una estructura
  correcta( es decir , tenga debajo la estructura
  objetivo) añadir tantos puntos como bloques tenga
  debajo. En caso contrario restar un valor
  equivalente
• Esta nueva función hace que el estado inicial
  tenga un valor de 28, el final 28. Con el
  segundo estado tenemos un valor de 21.
  Solucionamos el problema con esta función?

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Búsqueda del mejor primero

• Los métodos anteriores no tienen vuelta atrás,
  esto es, una vez escogido un estado como actual
  no se puede recorrer el camino hacia atrás a fin
  de deshacerlo (irrevocables)
• La búsqueda. en profundidad tiene la ventaja de
  permitir encontrar soluciones sin tener que
  expandirse por todas las ramas, y la búsqueda en
  anchura presenta la ventaja de no quedar atrapada
  en callejones sin salida
• Introducimos un nuevo modelo de búsqueda que
  intenta combinar ambas ventajas, llamado búsqueda
  del primero mejor (best-first search), cuya
  estrategia básica es como sigue
• En cada paso se selecciona el nodo más prometedor
  (como en el caso de la escalada)
• Se expande este nodo, si alguno de los generados
  es una solución se termina, si no es así los
  nuevos nodos obtenidos se añaden a la lista de
  nodos generados
• De nuevo se selecciona el más prometedor y el
  proceso continúa
• Si en una rama no se encuentra solución, se
  explora alguna rama de las antes ignoradas que
  sea más prometedora sin embargo la ultima rama
  no se olvida, su último nodo sin explorar se
  almacena en el conjunto de nodos a fin de poder
  volver si fuera conveniente

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Funciones de coste

• Para muchas aplicaciones es interesante definir
  una función que sea la suma de dos componentes
  que llamamos g y h
• La función g representa el coste para ir desde el
  inicio hasta el estado actual la h es una
  estimación del coste adicional necesario para
  llegar a la solución
• La función suma f g h representa pues el
  coste de un camino completo desde el nodo inicial
  a la solución
• Dicho de forma más precisa
• Dados dos nodos cualesquiera ni , nj , la función
  k(ni , nj) determina el coste mínimo de un camino
  entre ambos nodos
• El costo de un camino mínimo entre un nodo n y
  una meta t , es por tanto h(n) k(n, t)
• h es una estimación del coste para llegar a la
  meta y depende del conocimiento del dominio del
  problema
• El costo de un camino mínimo entre el nodo
  inicial i y un nodo n se denomina g(n) k(i,
  n)
• El valor de g no es una estimación, sino la suma
  de costes de aplicación de las reglas a través de
  la ruta
• El costo real de un camino mínimo desde y hasta
  t será por tanto
• f(n) g(n) h(n)

16
Un ejemplo
En el siguiente ejemplo se muestran los nodos con
su h(x), es decir, la estimación de coste de
desarrollarlo. G(x) será 1 por cada nivel
recorrido
A
A
A
B
C
D
B
C
D
(3)
(5)
(1)
(3)
(5)
A
A
E
F
(4)
(6)
B
C
D
B
C
D
(5)
(5)
E
F
G
H
E
F
G
H
(6)
(5)
(4)
(6)
(6)
(4)
(6)
(5)
I
J
(2)
(1)
17
El algoritmo A en árboles

• Del tipo Primero mejor
• Versión aplicable a árboles. En un árbol no es
  necesario comprobar si el nuevo nodo (sucesor)
  está en ABIERTOS o CERRADOS
• Pasos
• Colocar en ABIERTOS el nodo inicial i. Hacer
  g(i)0 Calcular h(i) Hacer f(i) g(i) h(i)
• Crear CERRADOS como lista vacía
• Si AB. está vacío salir con fracaso. Si no,
  continuar
• Eliminar el primer nodo de AB. y colocarlo en CE.
  Llamarlo nodo n
• Si n es meta salir con éxito
• Si no, desarrollar el nodo n generando sus
  sucesores que no sean antecedentes de n
• Por cada sucesor generado, hacer
• Colocar a cada sucesor un puntero (direccionador)
  a n
• Calcular g(suc) g(n) k(n, suc)
• Calcular f(suc) g(suc) h(suc)
• Colocar el sucesor en AB
• Reordenar la lista AB. de acuerdo al valor de f
• Ir al punto 3
• En caso de ÉXITO el camino desde i hasta n,
  obtenido a través de los direccionadores, es la
  solución de coste mínimo, cuyo costo es g(n)

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Aplicando A a un árbol

• Comprobar el algoritmo con el ejemplo anterior
• Calculamos f(A), que es 6.
• Ponemos A en CERRADOS
• Generamos sus sucesores B, C y D
• Por cada sucesor calculamos f y lo ponemos en
  ABIERTOS
• F(B) 31
• F(C) 51
• F(D) 11
• El quid del asunto reordenamos ABIERTOS de
  acuerdo a f
• Tomamos el primer elemento de ABIERTOS (que ya ha
  sido ordenado) D, lo borramos de ABIERTOS y lo
  ponemos en CERRADOS
• Generamos sus sucesores E y F
• Por cada sucesor calculamos f y lo ponemos en
  ABIERTOS
• F(E) 41
• F(F) 61
• Reordenamos ABIERTOS de acuerdo a f
• ...

A
B
C
D
(3)
(5)
(1)
A
B
C
D
(3)
(5)
E
F
(4)
(6)
19
Ejemplo depredador (I)

• Supongamos un depredador (D) ciego, pero con buen
  olfato y tacto. Su olfato le permite dirigirse
  hacia el punto donde esta la presa (P). Puesto
  que es ciego no puede anticipar o percibir el
  obstáculo (O). Aunque el obstáculo no le impide
  oler de forma precisa a su presa.
• Para simplificar el problema a nuestro depredador
  sólo le podremos aplicar tres operadores Ir al
  Norte, Ir al Este e Ir al Sur (el orden de
  las agujas del reloj)
• Tenemos una forma sencilla de calcular g(n) y
  h(n) cada casilla en la matriz del terreno es
  una unidad.
• Para reordenar los elementos de ABIERTA (paso 8)
  si hay igualdad en f(n), ponemos primero los
  nodos más cercanos a la meta, de menor h(n).
• Notación los nodos se etiquetan con la posición
  (X,Y), pudiendo señalar a continuación los
  valores g(n) y h(n), de la forma (X,Y) g(n)h(n)

ABIERTA CERRADA SUCESORES 1 (2,1)03 Vacía
Vacía 2 Vacía (2,1) (1,1) 14 (2,2) 12
(3,1) 14 3 (2,2) 12 (1,1) 14 (3,1)
14 (2,1) 4 (1,1) 14 (3,1) 14 (2,1)
(2,2) (1,2) 23 (3,2) 23 5 (1,2) 23
(3,2) 23 (1,1) 14 (3,1) 14 (2,1)
(2,2) 6 (3,2) 23 (1,1) 14 (3,1)
14 (2,1) (2,2) (1,2) (1,3) 32
() 7 (1,3) 32 (3,2) 23 (1,1) 14 (3,1)
14 (2,1) (2,2) (1,2) 8 (3,2) 23 (1,1) 14
(3,1) 14 (2,1) (2,2) (1,2) (1,3) (1,4)
42 9 (1,4) 42 (3,2) 23 (1,1) 14 (3,1)
14 (2,1) (2,2) (1,2) (1,3) 10 (3,2) 23
(1,1) 14 (3,1) 14 (2,1) (2,2) (1,2)
(1,3) (2,4) 50 (1,4) 11 (2,4) 50
(3,2) 23 (1,1) 14 (3,1) 14 El primer nodo
de ABIERTA es META () No aplicamos operador SUR
a (1,2), ya que me da (2,2), que es antecesor
20
A en un grafo

• Si hay ciclos, tenemos que ampliar el paso 7
• Por cada sucesor (si está en ABIERTOS o en
  CERRADOS)
• Si el SUC está en ABIERTOS y no en CERRADOS (ha
  sido generado, pero no explorado)
• Entonces llamamos VIEJO al nodo que está en
  ABIERTOS. Con cuál nos quedamos? Vamos a evaluar
  el coste de las dos instancias del mismo nodo
  (VIEJO y SUC)
• Si g(VIEJO) gt g(SUC), entonces nos quedamos con
  los valores de SUC (el mejor camino) y los
  ponemos en VIEJO
• Colocamos a VIEJO un puntero (paterno) a n (el
  padre de SUC)
• Calculamos de nuevo g(VIEJO) Hacer g(viejo)
  g(suc) y recalcular f(VIEJO)
• Si g(VIEJO) lt g(SUC), entonces nos quedamos con
  los valores de VIEJO (que ya está en ABIERTOS)
  dejamos VIEJO en ABIERTOS y no incluimos SUC
• Si el SUC no está en ABIERTOS y si en CERRADOS
  (ha sido generado y explorado)
• Si g(VIEJO) gt g(SUC), entonces nos quedamos con
  los valores de SUC (el mejor camino) y los
  ponemos en VIEJO
• Colocamos a VIEJO un puntero (paterno) a n (el
  padre de SUC)
• Calculamos de nuevo g(VIEJO) Hacer g(viejo)
  g(suc) y recalcular f(VIEJO)
• Hemos encontrado un mejor camino al nodo (SUC y
  VIEJO son el mismo nodo), por tanto debemos
  propagar la mejora a los sucesores de VIEJO, ya
  que deseamos que el árbol de exploración conserve
  el camino menos costoso. Hacer una búsqueda en
  amplitud tomando como nodo inicial a viejo, y
  descender por cada rama recalculando g(n) y f(n)
  hasta encontrar un nodo sin sucesor, o que se
  encuentre en AB, o que ya tenga un camino igual
  o mejor que el recién encontrado.
• Si g(VIEJO) lt g(SUC), entonces nos quedamos con
  los valores de VIEJO (el mejor camino) no
  hacemos nada (no se incluye SUC en ABIERTOS)

21
Aplicando A a un grafo

• Supongamos el siguiente grafo (tiene ciclos)
• ABIERTOS es C,B, ya que f(C)4 Y f(B)5
• CERRADOS es A,D, SUC es B, VIEJO es B
• g(VIEJO) gt g(SUC). Por tanto nos interesa el
  camino de SUC
• Colocamos a VIEJO un puntero (paterno) a n (el
  padre de SUC, que es D)
• Recalculamos VIEJO g(B) 2, por tanto f(B)
  21
• Seguimos en el punto 8 reordenamos ABIERTOS y
  resulta que es B,C, ya que f(B) 3 y f(C)4

A
(4)
(1)
(1)
B
C
D
(1)
(1)
(3)
(1)
(2)
B
F
(1)
(6)
22
Ejemplo depredador (II)

• Se lo hemos puesto bastante más difícil al
  depredador, hemos aumentado los obstáculos.
  Comerá?

ABIERTA CERRADA SUCESORES 1 (2,1)03 Vacía
Vacía 2 Vacía (2,1) (1,1) 14 (2,2) 12
(3,1) 14 3 (2,2) 12 (1,1) 14 (3,1)
14 (2,1) 4 (1,1) 14 (3,1) 14 (2,1)
(2,2) (1,2) 23 5 (1,2) 23 (3,2) 23
(1,1) 14 (3,1) 14 (2,1) (2,2) 6 (1,1) 14
(3,1) 14 (2,1) (2,2) (1,2) Vacia
() 7 (1,1) 14 (3,1) 14 (2,1) (2,2)
(1,2) 8 (3,1) 14 (2,1) (2,2) (1,2)
(1,1) (1,2) 23 YA ESTA EN CERRADA. NO ES
MEJOR, NO SE INCLUYE EN AB. 9 (3,1) 14 (2,1)
(2,2) (1,2) (1,1) 10 Vacía (2,1) (2,2)
(1,2) (1,1) (4,1) 25 (3,1) 11 (4,1)
25 (2,1) (2,2) (1,2) (1,1) (3,1)
12 Vacía (2,1) (2,2) (1,2) (1,1) (4,2)
34 (3,1) (4,1) 13 .... Cómo puede
construir el camino correcto a la meta? Sencillo,
recordemos que cada nodo apunta a su
antecesor (2,1) ? (3,1) ? (4,1) ? (4,2) ? ....
? (2,4) Meta () No aplicamos operador SUR a
(1,2), ya que me da (2,2), que es antecesor
23
Consideraciones a A

• Si sólo es relevante obtener el objetivo (sea
  cual sea su coste), entonces g es 0
• Si h es 0, entonces g controla la búsqueda. En
  este caso, si g tiene el mismo valor (normalmente
  1), entonces estamos ante una búsqueda en anchura
  (no informada)
• Lo esencial en este procedimiento de búsqueda es
  dar con una función h(n) que no sobreestime el
  coste de alcanzar la meta (h es minorante de h
  ), esto es lo que se conoce como heurística
  admisible. Esta regla da lugar a funciones h(n)
  que son optimistas, ya que h(n) es normalmente
  inferior al coste real de llegar a la meta

24
Reducción del problema

• Otra heurística que depende del conocimiento del
  problema es la estrategia de divide y vencerás
  el problema se descompone en subproblemas
• Veremos que una buena representación son los
  grafos Y-O
• Hasta ahora los grafos eran del tipo O, en los
  que existe un camino simple para llegar a una
  meta.
• La descomposición o reducción en subproblemas
  genera arcos Y es un tipo de arco en el que
  todos sus sucesores deben resolverse para que el
  arco apunte a una solución
• Supongamos el siguiente ejemplo alguien se
  plantea como objetivo construir una aplicación.
  Tiene dos opciones
• A. Subcontratarla (externalizarla)
• B. Comprar un paquete y personalizarlo
• C. Desarrollo propio, que se subdivide en (C.1)
  planificación, (C.2) análisis/diseño y (C.3)
  programación/pruebas

Objetivo conseguir aplicación de contabilidad
Subcontratar el desarrollo
Comprar paquete
Desarrollo propio
C.1
C.2
C.3
25
Verificación de restricciones

• El estado meta es aquel que satisface un conjunto
  dado de restricciones
• Los problemas de planificación y agendas son
  típicos en este sentido, ya que el diseño de la
  solución debe realizarse dentro de unos límites
  de tiempo, coste y recursos humanos o materiales
• Los estados se definen mediante un conjunto de
  variables(Vi), cada variable tiene un dominio
  (Di) que es el conjunto de posibles valores de la
  variable. Puede ser continuo (por ejemplo, un
  valor entre 0,1) o discreto. La prueba de que
  se ha llegado a la meta es que el estado
  satisface todas las restricciones (este requisito
  se puede ablandar en función del problema)

26
Análisis de medios y fines

• Se centra en las diferencias entre el estado
  actual y el estado objetivo. El sistema trata de
  encontrar uno o varios operadores que reduzcan la
  diferencia.
• Si el operador no puede utilizarse para este
  estado, entonces se crea un subproblema
  consistente en buscar el estado al que se puede
  aplicar, es decir, se buscan estados que cumplan
  las precondiciones del operador
• El proceso puede continuar recursívamente
• Los operadores son reglas que contienen
• Precondiciones (en el antecedente de la regla)
• Cambios o resultados
• Existe una tabla de diferencias, que ordena las
  reglas de acuerdo con su capacidad para reducir
  la diferencia

27
Un ejemplo de análisis (I)

• Imaginemos un robot, que debe mover un escritorio
  de una habitación a otra, con dos objetos encima
  de él. Los objetos también deben trasladarse de
  habitación.
• Operadores
• EMPUJAR(obj, lug)
• Precondiciones en(robot,,obj) grande(obj)
  despejado(obj) brazo_vacio
• Resultado en(obj, lug) en(robot, lug)
• LLEVAR(obj, lug)
• Precondiciones en(robot,obj) pequeño(obj)
• Resultado en(obj, lug) en(robot, lug)
• ANDAR(lug) (no hay precondición)
• Resultado en(robot,lug)
• COGER(obj)
• Precondición en(robot,obj)
• Resultado sostiene(obj)
• DEJAR(obj)
• Precondición sostiene(obj)
• Resultado sostiene(obj)

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Un ejemplo de análisis (II)

• Tabla de diferencias
• Es importante que las diferencias importantes se
  reduzcan antes que las menos importantes

• Existen al principio dos reglas que podamos
  utilizar para aminorar la diferencia
• LLEVAR una de las precondiciones no tiene un
  operador que pueda satisfacerla
• EMPUJAR para aplicarla es necesario hacer
• En(robot,escritorio)
• Despejado(escritorio)
• qué operadores nos ayudan a cumplir las
  precondiciones?
• Inconvenientes
• Al tratar de aminorar una diferencia se puede
  aumentar otra
• En problemas complejos las tablas de diferencia
  son muy costosas. Resultan necesarias técnicas de
  planificación