Sin ttulo de diapositiva

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ANGULOS
TEORIA PROLEMAS RESUELTOS Y PROPUESTOS
ABRAHAM GARCIA ROCA
agarciar_at_correo.ulima.edu.pe
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ANGULO.-Es la abertura formado por dos rayos
divergentes que tienen un extremo común que se
denomina vértice.
ELEMENTOS DE UN ANGULO
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CLASIFICACIÓN SEGÚN SU MEDIDA
a) ÁNGULO CONVEXO
0º lt ? lt 180º
?
a.1) ÁNGULO AGUDO
0º lt ? lt 90º
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a.2) ÁNGULO RECTO
? 90º
a.3) ÁNGULO OBTUSO
90º lt ? lt 180º
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CLASIFICACIÓN SEGÚN SU SUMA
a) ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS
? ? ? 90º
b) ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS
? ? 180º
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CLASIFICACIÓN SEGÚN SU POSICIÓN
b) ÁNGULOS CONSECUTIVOS
a) ÁNGULOS ADYACENTES
Puede formar más ángulos
Un lado común
ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE
Son congruentes
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ÁNGULOS ENTRE DOS RECTAS PARALELAS Y UNA RECTA
SECANTE
01. Ángulos alternos internos m ?3 m
?5 m ?4 m ?6
04. Ángulos conjugados externos m ?1m
?8m ?2m ?7180
02. Ángulos alternos externos m ?1 m
?7 m ?2 m ?8
05. Ángulos correspondientes m ?1 m
?5 m ?4 m ?8 m ?2 m ?6 m ?3 m ?7
03. Ángulos conjugados internos m ?3m
?6m ?4m ?5180
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PROPIEDADES DE LOS ANGULOS
01.-Ángulos que se forman por una línea poligonal
entre dos rectas paralelas.
? ? ? x y
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02.- ÁNGULOS ENTRE DOS RECTAS PARALELAS
? ? ? ? ? 180
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03.- ÁNGULOS DE LADOS PERPENDICULARES
? ? 180
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PROBLEMAS RESUELTOS
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Problema Nº 01
El complemento de la diferencia entre el
suplemento y el complemento de un ángulo
X es igual al duplo del complemento del
ángulo X. Calcule la medida del ángulo X.
RESOLUCIÓN
La estructura según el enunciado
90 - ( ) - ( )
( )
2
90 - X
180 - X
90 - X
Desarrollando se obtiene
90 - 180 - X - 90 X 180 - 2X
90 - 90 180 - 2X
Luego se reduce a
X 90
2X 180
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Problema Nº 02
La suma de las medidas de dos ángulos es 80 y el
complemento del primer ángulo es el doble de la
medida del segundo ángulo. Calcule la diferencia
de las medidas de dichos ángulos.
RESOLUCIÓN
Sean los ángulos ? y ?
? 80 - ?
? ? 80
Dato
Dato
( 90 - ? ) 2?
Resolviendo
? 10
Reemplazando (1) en (2)
Diferencia de las medidas
( 90 - ? ) 2 ( 80 - ? )
? - ? 70-10 60
90 - ? 160 -2?
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Problema Nº 03
La suma de sus complementos de dos ángulos es
130 y la diferencia de sus suplementos de los
mismos ángulos es 10.Calcule la medida dichos
ángulos.
RESOLUCIÓN
Sean los ángulos ? y ?
Del enunciado
? ? 50

( 90 - ? )
( 90 - ? )
130
? - ? 10
2? 60
Del enunciado
-
( 180 - ? )
( 180 - ? )
10
? 30
? 20
Resolviendo (1) y (2)
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Problema Nº 04
Se tienen ángulos adyacentes AOB y BOC (AOBltBOC),
se traza la bisectriz OM del ángulo AOC si los
ángulos BOC y BOM miden 60 y 20
respectivamente. Calcule la medida del ángulo AOB.
RESOLUCIÓN
De la figura
? 60 - 20
? 40
Luego
X 40 - 20
X 20
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Problema Nº 05
La diferencia de las medidas de dos ángulos
adyacentes AOB y BOC es 30. Calcule la medida
del ángulo formado por la bisectriz del ángulo
AOC con el lado OB.
Del enunciado
RESOLUCIÓN
Construcción de la gráfica según el enunciado
AOB - OBC 30
Luego se reemplaza por lo que Se observa en la
gráfica
( ? X)
(? - X)
30º
-
2X30º
X 15
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Problema Nº 06
Se tiene los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD
tal que la m?AOC m?BOD 90. Calcule la
medida del ángulo formado por las bisectrices de
los ángulos AOB y COD.
RESOLUCIÓN
Construcción de la gráfica según el enunciado
De la figura
2? ? 90
? 2? 90
2? 2? 2? 180
? ? ? 90
X ? ? ?
X 90
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Problema Nº 07
Si m // n . Calcule la medida del ángulo X
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RESOLUCIÓN
Por la propiedad
2? 2? 80 30
Reemplazando (1) en (2)
80 55 X
Propiedad del cuadrilátero cóncavo
X 25
20
Problema Nº 08
Si m // n . Calcular la medida del ángulo X
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RESOLUCIÓN
40
65
Ángulo exterior del triángulo
Por la propiedad
4? 5? 90
X 40 65
? 10
X 105
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Problema Nº 01
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RESOLUCIÓN
x
Ángulos conjugados internos
Ángulos entre líneas poligonales
3? 3? 180
? ? 60
X 60
X ? ?
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PROBLEMAS PROPUESTOS DE ANGULOS ENTRE PARALELAS
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PROBLEMA 01.- Si L1 // L2 . Calcule la m ? x
A) 10 B) 20 C) 30
D) 40 E) 50
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PROBLEMA 02.- Si m // n . Calcule la m ? x
A) 18 B) 20 C) 30
D) 36 E) 48
27
PROBLEMA 03.- Si m // n . Calcule la m ? ?
A) 15 B) 22 C) 27
D) 38 E) 45
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PROBLEMA 04.- Si m // n . Calcule el valor de
x
A) 10 B) 15 C) 20
D) 25 E) 30
29
PROBLEMA 05.- Calcule la m ? x
A) 99 B) 100 C) 105
D) 110 E) 120
30
PROBLEMA 06.- Si m // n . Calcule la m ? x
A) 22 B) 28 C) 30
D) 36 E) 60
31
PROBLEMA 07.- Si. Calcule la m ? x
A) 24 B) 25 C) 32
D) 35 E) 45
32
PROBLEMA 08.- Si m // n . Calcule la m ? x
A) 50 B) 60 C) 70
D) 80 E) 30
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PROBLEMA 09.-Si m//n y ?- ? 80. Calcule la
m?x
A) 60 B) 65 C) 70
D) 75 E) 80
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PROBLEMA 10.- Si m // n . Calcule la m ? x
A) 20 B) 30 C) 40
D) 50 E) 60
35
PROBLEMA 11.- Si m // n . Calcule la m ? ?
A) 46 B) 48 C) 50
D) 55 E) 60
36
PROBLEMA 12.- Si m // n . Calcule la m ? x
A) 30 B) 36 C) 40
D) 45 E) 50
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PROBLEMA 13.- Si m // n . Calcule la m ? x
A) 30 B) 40 C) 50
D) 60 E) 70
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REPUESTAS DE LOS PROBLEMAS PROPUESTOS

• 20º 8. 50º
• 30º 9. 80º
• 45º 10. 30º
• 10º 11. 60º
• 120º 12. 40º
• 36º 13. 50º
• 7. 32º