Subtema 2.1.7. Capacitancia el

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Subtema 2.1.7. Capacitancia eléctrica.

• Un capacitor o condensador eléctrico es un
  dispositivo empleado para almacenar cargas
  eléctricas, como se ve en la figura siguiente.

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A
B

-

-

-

-

-

-

-
-

-

La capacidad de almacenar carga aumenta si se
acercan más las placas A y B entre sí o bien, al
incrementarse el área de las placas o el
voltaje De la batería.
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• Un capacitor simple como el mostrado en la figura
  anterior, consta de dos láminas metálicas
  separadas por un aislante o dieléctrico que puede
  ser aire, vidrio, mica, aceite o papel encerado.
• La capacidad o capacitancia de un capacitor se
  mide por la cantidad de carga eléctrica que puede
  almacenar. Para aumentar la capacitancia se hacen
  las siguientes modificaciones

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• 1.- Disminuir la distancia entre las placas
  metálicas, de tal manera que al acercarse, la
  placa positiva provocará que se atraigan más
  cargas negativas de la batería sobre la placa
  negativa y por supuesto más cargas positivas
  sobre la carga positiva.
• 2.- Aumentar el área de las placas, pues mientras
  mayor superficie tengan, mayor será su capacidad
  de almacenamiento.
• 3.- Aumentar el voltaje de la batería.

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• La cantidad de carga Q que puede ser almacenada
  por un capacitor a un voltaje dado es
  proporcional a la capacitancia C y al voltaje V
  de donde
• Q CV.
• Al despejar C de la fórmula anterior se obtiene
  la ecuación que permite definir la unidad de
  capacitancia
• C Q
• V

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• Donde
• C capacitancia del capacitor en farads (F).
• Q carga almacenada por el capacitor en coulombs
  (C).
• V diferencia de potencial entre las placas del
  capacitor en volts (V).
• A la unidad de capacitancia se le ha dado el
  nombre de farad o faradio (F) en honor de Michael
  Faraday (1791-1867), físico y químico inglés,
  pionero del estudio de la electricidad.

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• Por definición un capacitor tiene la
  capacitancia de un farad cuando al almacenar la
  carga de un coulomb su potencial aumenta un volt
• Un farad un coulomb
• un volt
• Debido a que el farad es una unidad muy grande,
  en la práctica se utilizan submúltiplos de ella,
  como el milifarad (mF 1 x 10-3 F), equivalente
  a la milésima parte del farad, el microfarad (µF
  1 x 10-6 F), que es la millonésima parte del
  farad, en nanofarad (nF 1 x 10-9 F) o el
  picofarad (pF 1 x 10-12 F), que es la
  billonésima parte del farad.

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• Los capacitores utilizados en los circuitos
  eléctricos son de diversas clases, formas y
  tamaños. Uno de los más usados en los aparatos de
  radio o en el sistema de encendido de los
  automóviles es el llamado capacitor de papel, el
  cual consta de dos bandas largas de laminillas de
  estaño separadas por una tira de papel delgado
  recubierto de parafina. También se empapa con
  parafina al conjunto formado por las laminillas
  de metal y el papel, esto a su vez se enrrolla
  con otra cinta de papel con parafina y se guarda
  en una pequeña unidad compacta. Cada laminilla de
  estaño se convierte en una de las placas del
  capacitor y el papel realiza la función de ser un
  aislante o dieléctrico.

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• Cuando de desea calcular la capacitancia de un
  capacitor de placas paralelas se utiliza la
  siguiente expresión matemática
• C e A
• d
• Donde C capacitancia en farads (F).
• e constante que depende del medio aislante y
  recibe el nombre de permitividad en F/m.
• A área de una de las placas paralelas en metros
  cuadrados (m2).
• d distancia entre las placas en metros (m).

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• La constante e llamada permeabilidad eléctrica o
  simplemente permitividad del medio aislante, es
  igual al producto de la constante de permitividad
  del vacío eo 8.85 x 10-12 C2/Nm2, y er o sea, la
  permitividad relativa o coeficiente dieléctrico
  del medio aislante. Por lo tanto
• e eo er.
• Los valores de la permitividad relativa o
  coeficiente dieléctrico (er) de algunas
  sustancias aislantes se dan en el cuadro
  siguiente. Finalmente cabe señalar que las
  unidades de la permeabilidad eléctrica o
  permitivad e son F/m equivalente a C2/Nm2 igual
  que las unidades de eo.

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Permitividad relativa de algunos medios.

• Medio aislador permitividad relativa (er)
• Vacío 1.0000
• Aire 1.0005
• Gasolina 2.35
• Aceite 2.8
• Vidrio 4.7
• Mica 5.6
• Glicerina 45
• Agua 80.5

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Problemas de capacitores eléctricos.

• 1.- Dos láminas cuadradas de estaño de 30 cm de
  lado están adheridas a las caras opuestas de una
  lámina de mica de 0.1 mm de espesor con una
  permitividad relativa de 5.6 cuál es el valor de
  la capacitancia?
• Datos Fórmula
• l 30 cm 0.3 m C e A
• d 0.1 mm d
• er 5.6
• eo 8.85 x 10-12 C2/Nm2,
• C ?
• Solución Cálculo de la permitividad e de la
  mica
• e eo er
• e 8.85 x 10-12 C2/Nm2 x 5.6 49.56 x 10-12
  F/m.

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• Cálculo de cualquiera de las dos placas
• A l2 (0.3 m)2 0.09 m2.
• Conversión de unidades
• Como 1 m 1 x 103 mm.
• 0.1 mm x 1 m 1 x 10-4 m.
• 1 x 103 mm.
• Sustitución y resultado
• C 49.56 x 10-12 F/m.x 0.09 m2.
• 1 x 10-4 m.
• C 446 x 10-10 F 0.0446 µF.

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• 2.- Las placas de un capacitor tienen una
  separación de 5 mm en el aire. Calcular su
  capacitancia si cada placa rectangular mide 15 cm
  x 20 cm.
• Datos Fórmula
• d 5 mm C e A
• A 0.15 m x 0.20 m d
• er 1
• eo 8.85 x 10-12 C2/Nm2,
• C ?
• Solución como la permitividad relativa para el
  aire prácticamente puede ser considerada igual a
  uno, el valor de la permitividad e del aire es
  igual a la permitividad en en vacío eo, es decir
• eaire eo 8.85 x 10-12 C2/Nm2

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• Cálculo del área de una de las placas
• A 0.15 m x 0.20 m 0.03 m2.
• Conversión de unidades
• 5 mm x 1 m 5 x 10-3 m
• 1 x 103 mm
• Sustitución y resultado
• C 8.85 x 10-12 F/m x 0.03 m2.
• 5 x 10-3 m
• C 5.31 x 10-11 F 53.1 pF.

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• Los capacitores tienen muchos usos en los
  circuitos de corriente alterna, en los circuitos
  de radio y en el encendido de la mayoría de los
  automóviles.
• Por ejemplo, en el preciso instante que se abre
  un circuito, con frecuencia los electrones siguen
  fluyendo como lo hacían inmediatamente antes de
  abrirlo. Esta pequeña corriente que continúa
  brevemente después de abrir el circuito logra
  atravesar el espacio entre los conductores del
  interruptor si no se encuentran muy separados.

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• Debido a lo anterior, la descarga producida
  calienta y descarga las partes del interruptor.
  Existen dispositivos, como los empleados en el
  sistema de encendido de los automóviles,
  denominados platinos, los cuales se pueden abrir
  y cerrar varios cientos de veces por segundo, de
  manera que si no se impide el fenómeno antes
  descrito se deberían cambiar constantemente.

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• Así pues, cuando se abre el interruptor, los
  electrones que podrían provocar una descarga
  entre los platinos de contacto cargan al
  capacitor, y si en éste llega a existir una
  diferencia de potencial muy grande, capaz de
  producir una pequeña chispa, las puntas están lo
  suficientemente separadas para no producir
  descarga eléctrica alguna.

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• Los capacitores también se utilizan en algunas
  cámaras fotográficas en las cuales una lámpara
  electrónica utiliza un capacitor para almacenar
  la energía de una batería. Al cerrar el fotógrafo
  el interruptor, el capacitor se descarga por
  medio del foco eléctrónico que tiene instalado,
  así, se convierte en luz y calor la energía
  almacenada.

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Conexión de capacitores en serie y en paralelo.

• Al igual que las resistencias eléctricas, los
  capacitores también pueden conectarse en serie y
  en paralelo como se ven en las figuras
  siguientes, con la diferencia de que las dos
  ecuaciones para los capacitores son las
  contrarias de las utilizadas para las
  resistencias en serie y en paralelo.

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-

-

-

C1
C2
C3

-
Capacitores conectados en serie al estar la placa
positiva de uno Unida a la negativa del otro.
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C1
-

C2
-

C3
-

-

Conexión de capacitores en paralelo al unirse las
placas positivas de Los capacitores en un punto y
las negativas en otro.
23

• Las ecuaciones empleadas para calcular las
  capacitancia equivalente de las conexiones en
  serie son
• 1 1 1 1 1
• Ce C1 C2 C3 Cn
• QT Q1 Q2 Q3 Qn
• Q CV
• VT V1 V2 V3 Vn

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• Las ecuaciones empleadas para calcular la
  capacitancia equivalente de las conexiones en
  paralelo son
• Ce C1 C2 C3 Cn
• VT V1 V2 V3 Vn
• V Q
• C
• QT Q1 Q2 Q3 Qn

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Resolución de problemas de capacitores conectados
en serie y en paralelo.

• 1.- Tres capacitores de 3, 6, y 8 pF se conectan
  primero en serie y luego en paralelo. Calcular la
  capacitancia equivalente en cada caso.
• Solución Conexión en serie
• 1 1 1 1 0.333 0.166 0.125
• Ce 3 6 8
• 1 0.624
• Ce
• Ce 1 1.6 pF
• 0.624
• Conexión en paralelo
• Ce 3 6 8 17 pF.

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• 2.- Tres capacitores de 2, 7 y 12 pF se conectan
  en serie a una batería de 30 V. Calcular a) La
  capacitancia equivalente de la combinación. b) La
  carga depositada en cada capacitor. C) La
  diferencia de potencial en cada capacitor.
• Solución
• 1 1 1 1 0.5 0.143 0.083
• Ce 2 7 12
• 1 0.726
• Ce
• Ce 1 1.38 pF.
• 0.726
• B) Como la conexión es en serie, la carga
  depositada en cada capacitor es la misma y
  equivale a
• Q CV 1.38 x 10-12 F x 30 V 41.4 x 10-12 C o
  41.4 pC.

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• La diferencia de potencial en cada capacitor será
  de
• V1 Q/C1 41.4 x 10-12 C 20.7 V
• 2 x 10-12 F
• V2 Q/C2 41.4 x 10-12 C 5.9 V
• 7 x 10-12 F
• V3 Q/C3 41.4 x 10-12 C 3.4 V
• 12 x 10-12 F
• El voltaje total suministrado V, es igual a la
  suma de V1 V2 V3 20.7 V 5.9 3.4 30 V.

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• 3.- Un capacitor cuyo valor es de 40 µF, se
  conecta a una diferencia de potencial de 120
  volts. Expresar la carga almacenada en coulombs y
  a cuántos electrones equivale
• Datos Fórmula
• C 40 µF Q CV
• V 120 V
• Q ? Sustitución y resultado
• Q 40 x 10-6 F x
  120 V
• Q 4800 x 10-6 C
• conversión de
  unidades
• 4800 x 10-6 C x 6.24 x 1018 electrones 29.9 x
  1015 electrones.
• 1 C

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• 4.- Tres capacitores están conectados en paralelo
  a una diferencia de potencial de 120 volts y sus
  valores son C1 6 µF, C2 8 µF y C3 12 µF
  calcular a) La capacitancia equivalente de la
  combinación. b) La diferencia de potencial en
  cada capacitor. c) La carga depositada en cada
  capacitor. d) La carga total almacenada por los
  capacitores.

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• Solución a) Ce C1 C2 C3 6 8 12 26
  µF.
• b) La diferencia de potencial en cada capacitor
  es igual cuando la conexión es en paralelo y
  puesto que están conectados directamente a la
  fuente de 120 V, en cada capacitor, el voltaje es
  el mismo, es decir 120 V.
• c) La carga depositada en cada capacitor equivale
  a
• Q1 C1V 6 x 10-6 F x 120 V 720 x 10-6 C ó
  720 µC.
• Q2 C2V 8 x 10-6 F x 120 V 960 x 10-6 C ó
  960 µC.
• Q3 C3V 12 x 10-6 F x 120 V 1440 x 10-6 C
  ó 1440 µC.

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• d) La carga total almacenada por los tres
  capacitores es Q Q1 Q2 Q3.
• Q (720 960 1440) x 10-6 C
• 3120 x 10-6 C o 3120 µC.
• Nota esta cantidad de carga será la misma que
  obtendremos al multiplicar la capacitancia
  equivalente por el voltaje que suministra la
  batería
• Q Ce V 26 x 10-6 F x 120 V 3120 x 10-6 C o
  3120 µC.

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• 5.- De acuerdo con el siguiente arreglo de
  capacitores mostrados en la figura siguiente.
  Calcular a) la capacitancia equivalente del
  circuito en paralelo. b) la capacitancia total
  equivalente del circuito. c) El voltaje existente
  en cada capacitor.

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-
C1 2 pF

-
C3 5 pF
C2 4 pF

-
60 V
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• Solución
• a) La capacitancia equivalente del circuito en
  paralelo es Ce C1 C2.
• Ce 2 pF 4 pF 6 pF.
• La capacitancia total del circuito la calculamos
  considerando el valor de la capacitancia
  equivalente del circuito en paralelo (Cp) como
  una conexión en serie con el capacitor C3.
• 1 1 1 0.166 0.2 0.366
• CT 6 5
• CT 1 2.73 pF.
• 0.366

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• c) Como nuestro arreglo de capacitores se ha
  reducido a un circuito de dos capacitores
  conectados en serie, la carga depositada en cada
  uno de ellos es la misma y equivale a
• Q CTV 2.73 X 10-12 F X 60 V 163.8 X 10-12 C
  O 163.8 pC.
• Para calcular la diferencia de potencial en cada
  capacitor, tenemos que en C1 y C2, será el mismo
  valor por estar en paralelo y equivale a
• Vp Q 163.8 X 10-12 C 27.3 Volts.
• Cp 6 x 10-12 F
• En el capacitor C3 el voltaje es
• V3 Q 163.8 X 10-12 C 32.7 Volts.
• C3 5 x 10-12 F