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Método de Análisis para problemas no lineales de
Control óptimo y discreto
XV Congreso Nacional de Matemáticas

• D. Patiño, R. Meziat
• Departamento de Matemáticas
• Universidad de los Andes
• Colombia, 2005

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Contenido

• Introducción
• Confexificación
• Método de los momentos
• Casos de Aplicación
• Conclusiones y trabajo futuro

Método de Análisis para Problemas no Lineales de
Control óptimo y Discreto, D. Patiño.
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Introducción

• Proponemos una forma alternativa para resolver
  problemas de control óptimo discreto no lineal

Caso II Control discreto, sistema continuo.
Caso I Control continuo, sistema continuo.
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Introducción
Caso IV Forma de Mayer
Caso III Control discreto, sistema discreto.
x Variables de estado del sistema u Señal de
control
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Introducción
Técnicas clásicas Análisis por espacio de
estados, Control BIG-BANG, Optimización dinámica

• Dificultades de linealidad
• NO LINEAL
• Integración
• Inestabilidad
• Caos
• Singularidades

Dificultades de convexidad NO CONVEXO No
aplica la teoría clásica para establecer
existencia de la solución.
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Introducción
Pedregal y Muñoz. Universidad de Castilla La
Mancha 1998

• Método de relajación en medidas de probabilidad
  (MEDIDAS PARAMETRIZADAS SOBRE EL CONTROL -
  YOUNG).

Espacio de control (Lineal Convexo en medidas
de probabilidad)
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Convexificación
Pedregal y Muñoz.

• Proceso de convexificación en el espacio de
  control ?, mediante integración con
  distribuciones de probabilidad

f ?
co(?)
Obtenemos un problema definido en la envoltura
convexa del espacio de control.
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Método de los momentos

• Estructura

• Lineal
• Convexa

mi Momentos
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Método de los momentos

• Estructura polinomial

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Método de los momentos

• Caracterización de momentos

Hankel Semidefinida Positiva
Problema de control óptimo con forma lineal para
el control con una familia convexa de controles
m ? co(?)
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Método de los momentos
A B

• Medida en P(?) ? m Vector de
  momentos

Convexo Proyección Convexo
COVEXIFICACIÓN
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Análisis del problema
Supongamos el caso donde el control solo toma dos
valores
EL PROBLEMA ES NO LINEAL EN EL CONTROL !!!!!
EL PROBLEMA PUEDE NO SER CONVEXO!!!! h(u) ES
COERCIVO!
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Análisis del problema
Para abordar el problema de no linealidad y el de
no convexidad, utilizamos una relajación en
medidas de probabilidad.
f ?
co(?)
Obtenemos un problema definido en la envoltura
convexa del espacio de control.
Espacio de control (Lineal Convexo en medidas
de probabilidad)
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Análisis del problema
La convexificación se realiza mediante
distribuciones de probabilidad, y a su vez se
discretizan por los momentos algebraicos.
mi Momentos
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Análisis del problema
CARACTERIZACIÓN DE MOMENTOS
Hankel Semidefinida Positiva
Problema de control óptimo con forma lineal para
el control con una familia convexa de controles
m ? co(?)
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Ejemplos trigonométricos 1

• Modelo

Se trata de minimizar la energía del sistema y
la cantidad que se aleje de la horizontal
L
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Ejemplos trigonométricos 1

• Minimización de energía cinética (Corriente en
  y)

PROBLEMA DE CONTROL NO LINEAL
MÉTODO CLÁSICO (HAMILTON)
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Ejemplos trigonométricos 1 Método clásico
Principio del mínimo de Poyntriaguin
RUNGE-KUTTA 4to ORDEN
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Ejemplos trigonométricos 1 Método clásico
t vs X t vs Y
X vs Y
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Ejemplos trigonométricos 1 Método clásico
PROBLEMA DE CONTROL NO LINEAL
RELAJACIÓN CONVEXA
PROGRAMA MATEMÁTICO CONVEXO
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Ejemplos trigonométricos 1 Nueva propuesta
Base trigonométrica Matriz de TOEPLITZ
semidefinida positiva
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Ejemplos trigonométricos 1 Nueva propuesta
t vs X t vs Y
X vs Y
COMPARACION CON EL MÈTODO HABITUAL
Estimación del Error
t vs X
t vs Y
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Ejemplos trigonométricos 2
Minimización de energía cinética (Corriente en
x, y)
y
x
L
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Ejemplos trigonométricos 2 Método clásico
PRINCIPIO DEL MÍNIMO DE POYNTRIAGUIN
y
x
RUNGE-KUTTA 4to ORDEN
L
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Ejemplos trigonométricos 2 Nueva propuesta
BASE DE LA RELAJACIÓN 1,eit,e-it
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Ejemplos trigonométricos 2 Nueva propuesta
20 puntos
t vs X
t vs Y
30 puntos
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Ejemplos trigonométricos 2 Nueva propuesta
puntos
20 puntos 0.1315 0.0542 0.1432 0.0595
30 puntos 0.0961 0.0385 0.1019 0.0439
40 puntos 0.0773 0.0301 0.1010 0.0366
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Ejemplos trigonométricos 3 Minimizar trayectoria
EDOs NO LINEALES
PROBLEMA DE CONTROL CONVEXO
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Ejemplos trigonométricos 3 Minimizar trayectoria
t vs Y
t vs X
COMPARACIÓN CON PMP
X vs Y
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Ejemplos trigonométricos 3 Minimizar trayectoria
puntos
20 puntos 0.0765 0.0201 0.1012 0.0435
30 puntos 0.0645 0.0123 0.0812 0.0329
40 puntos 0.0443 0.011 0.0810 0.0387
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Ejemplos polinomiales 1 Seguimiento de
trayectoria
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Ejemplos polinomiales 1 Seguimiento de
trayectoria
Control signal
t vs X
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Ejemplos polinomiales 1 Seguimiento de
trayectoria
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Ejemplos polinomiales 2
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Ejemplos polinomiales 2
Control signal
t vs X
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Ejemplos polinomiales 3 Sistema multivariable
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Ejemplos polinomiales 3 Sistema multivariable
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Ejemplos polinomiales 4 Existencia de
minimizador
NO EXISTE MINIMIZADOR!!
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Ejemplos polinomiales 3 Sistema multivariable
Control signal
t vs X t vs Y
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Casos de aplicación discreto
Planificación de trayectorias.

• Posibilidades de movimiento
• Arriba
• Abajo
• Quieto

Punto meta
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Casos de aplicación discreto
Formulación
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Casos de aplicación discreto
Control
Trayectoria
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Casos de aplicación discreto
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Casos de aplicación discreto
Control de un motor DC.
R Resistencia eléctrica del motor. I Momento
de Inercia L Inductancia K Torque i
Corriente w Velocidad Angular
Solo acepta tres voltajes a la entrada (1, -1, 0)
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Casos de aplicación discreto
Formulación I
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Casos de aplicación discreto
Corriente
Velocidad angular
Control
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Casos de aplicación discreto
Formulación II
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Casos de aplicación discreto
Control
Velocidad angular
Corriente
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Conclusiones y trabajo futuro

• Los resultados con las técnicas de relajación son
  buenos y poseen una buena exactitud.
• El problema transformado es convexo en el
  control, por lo cual posee solución (Cesari,
  1983)
• La señal de control se obtiene a partir del
  momento central en la serie de momentos de la
  convexificación.
• Aplicaciones fuertes en economía.
• Próxima meta Controlar sistemas MIMO (Multiple
  Input Multiple Output)

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