Taller de Lgica

1
Taller de Lógica

• Facultad de Filosofía y Letras, UBA.
• www.accionfilosofica.com
• 2do cuatrimestre de 2006

2
Taller de Lógica la concepción intuitiva de
conjunto

• Qué es un conjunto? - Un conjunto es cualquier
  colección de objetos
• - El conjunto de todos los números enteros
  pares
• - El conjunto de todos los saxofinistas de
  Brooklyn
• - Los conjuntos pueden ser ellos mismos
  elementos de otros conjuntos.
• - Pueden ser finitos o infinitos.
• - La mayoría de los conjuntos no son miembros de
  sí mismos
• - el conjunto de los gatos.
• - Pero puede haber conjuntos que pertenezcan a
  ellos mismos
• - el conjunto de todos los conjuntos.
• También pueden estar incluidos en otros
  conjuntos.

3
El Paraiso de Cantor

• La concepción naive de conjunto
• - Qué es un conjunto infinito? Es un conjunto
  cuyos elementos pueden ponerse en correspondencia
  con alguno de sus subconjuntos propios.
• Hace falta contar el número de personas en
  esta sala para saber si falta una silla para que
  todos estén sentados?
• - Dos conjuntos tienen el mismo cardinal si hay
  una correspondencia uno a uno entre ellos.
• Ej. De dos conjuntos infinitos con el mismo
  cardinal
• - El de los números naturales y el de los
  números pares.
• El conjunto de los números pares es un
  subconjunto de los números naturales. Pero eso
  no implica que su cardinalidad sea menor.

4
La Paradoja de Cantor

• Teorema de Cantor Hay un cardinal infinito más
  grande que el cardinal de los números naturales.
  (es decir, no siempre es posible encontrar una
  correspondencia uno a uno entre dos conjuntos
  infinitos).
• (T) Para todo conjunto infinito, su conjunto
  potencia, tiene un cardinal mayor.
• Sea A 1, 2, 3, ent P(A) Ø, 1, 2, 3
  1, 2, 1,3, 2,3, 1, 2, 3
• hay conjuntos que son incontables conjuntos que
  son demasiado grandes como para ponerse en
  correspondencia uno a uno con los números
  naturales.
• Para todo cardinal infinito, existe un cardinal
  mayor a este cardinal. (Hay infinitos cardinales
  infinitos, unos más grandes que otros).

5
La Paradoja de Cantor

• Teorema de Cantor
• P(N) es un conjunto infinito y de un tamaño
  distinto a N.
• - es infinito, ya que a cada número natural le
  corresponde el conjunto que tiene a ese número
  natural como único elemento.
• - es de tamaño distinto, ya siempre se puede
  encontrar un subconjunto de N que no esté
  contemplado en una supuesta correspondencia.
• 0 1 2 3 4 5
• El set de todos los naturales si si si si si si
• El set vacío no no no no no no
• El set de los pares no no si no si no
• El set de los impares no si no si no si
• El set de los primos no no si si no si
• El set de los cuadrados si si no no si no
• El set de los cubos si si no no no no
• .

6
La Paradoja de Cantor

• Teorema de Cantor
• P(N) es un conjunto infinito y de un tamaño
  distinto a N.
• - es infinito, ya que a cada número natural le
  corresponde el conjunto que tiene a ese número
  natural como único elemento.
• - es de tamaño distinto, ya siempre se puede
  encontrar un subconjunto de N que no esté
  contemplado en una supuesta correspondencia.
• 0 1 2 3 4 5
• El set de todos los naturales no si si si si si
• El set vacío no si no no no no
• El set de los pares no no no no si no
• El set de los impares no si no no no si
• El set de los primos no no si si si si
• El set de los cuadrados si si no no si si
• El set de los cubos si si no no no no
• .

7
La Paradoja de Cantor

• Bajando por la diagonal, se obtiene un
  subconjunto de N que se diferencia de cada
  conjunto emparejado original en al menos un
  elemento.
• Por eso, ese subconjunto no está representado en
  el emparejamiento original.
• Por eso, no existe una correspondencia uno a uno
  entre N y el conjunto de todos los subconjuntos
  de N.
• Por eso, P(N) no es numerable, ni finito. Por lo
  tanto es no-numerable.
• Dado que existe una correspondencia uno a uno
  entre N y el conjunto cuyos elementos son 0,
  1 , 2 , 3, 4 y este último subconjunto es
  un subconjunto propio de P(N), P(N) tiene un
  cardinal mayor que N.

8
La Paradoja de Cantor

• La Diagonal de Cantor
• El Conjunto infinito de los números racionales
  (expresables como cociente de dos números
  enteros) es más grande que el de los números
  enteros. Por ejemplo, entre dos enteros
  consecutivos, así 0 y 1, hay una infinidad de
  números racionales. No obstante, Cantor mostró
  (1874) que los números racionales pueden hacerse
  corresponder biunívocamente con los números
  enteros. A cada número racional se le asocia un
  número entero conforme se va recorriendo la
  trayectoria señalada con flechas de color. Así el
  conjunto de los números racionales es numerable.

9
El problema del continuo

• Problema Existe algún cardinal superior al
  cardinal más chico (el de los números naturales)
  e inferior al de 2 Alef 0 ?
• Según el teorema de Cantor aplicado al cardinal
  de los numerables,
• Alef 0 es menor que 2 Alef 0
• 2 Alef 0 es Alef 1 Tras este resultado es
  inmediata la pregunta
• Existirá algún cardinal superior al cardinal
  numerable e inferior a la potencia del continuo?
  
• Hay algún cardinal entre alef 0 y Alef 1?
• Hipótesis del continuo no existe un cardinal
  entre Alef 0 y Alef 1.
• La hipótesis del continuo es indecidible en ZF
  se puede agregar a la base axiomática tanto la
  hipótesis como su negación obteniendo resultados
  consistentes.
• La Paradoja de Cantor
• En 1899, en una carta que envió Cantor a
  Dedekind, observa que no puede hablarse del
  conjunto de todos los conjuntos , ya que si V
  fuese este conjunto entonces el conjunto P(V) de
  todos los subconjuntos de V sería un elemento de
  V, es decir P(V) ? V.

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Multiplicidades consistentes e inconsistentes

• Cantor
• . . . it is necessary, as I discovered, to
  distinguish two kinds of multiplicities . . .
• For a multiplicity can be such that the
  assumption that all of its elements are
  together leads to a contradiction, so that it is
  impossible to conceive of the multiplicity as a
  unity, as one finished thing. Such
  multiplicities I call absolutely infinite or
  inconsistent multiplicities.
• As we can readily see, the totality of
  everything thinkable, for example, is such a
  multiplicity If on the other hand the totality of
  elements of a multiplicity can be thought of
  without contradiction as being together, so
  that they can be gathered together into one
  thing, I call it a consistent multiplicity or a
  set. (Cantor )
• Michael Dummett
• indefinitely extensible concept is one such
  that, if we can form a definite conception of a
  totality all of whose members fall under the
  concept, we can, by reference to that totality,
  characterize a larger totality all of whose
  members fall under it

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Paradoja Burali-Forti

• Paradoja Burali-Forti
• - En la teoría intuitiva de conjuntos, todo
  conjunto bien ordenado tiene un número ordinal
  en particular, como el conjunto de todos los
  ordinales es bien ordenado, entonces debe tener
  un ordinal, digamos ?.
• - Pero, dado cualquier número ordinal, hay un
  ordinal todavía más grande. Por lo tanto ? no
  puede ser el número ordinal del conjunto de todos
  los ordinales.
• Tanto el concepto de número cardinal como el de
  número ordinal parecen ser indefinidamente
  extensibles.

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Los fundamentos de las matemáticas

• Fundamentación conjuntista de la matemática
• Principios de Frege (formulados de manera
  intuitiva)
• 1.- Principio de Extensionalidad para Conjuntos
  Dos conjuntos son iguales si poseen los mismos
  elementos.
• 2. Principio de Comprensión Toda propiedad
  define un conjunto.
• y "x (x ? y ? ?(x) ) Es un esquema de
  axioma

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Taller de Lógica

• La Paradoja de Russell
• y "x (x ? y ? Cx) Axioma de Comprensión
• y "x (x ? y ? (x ? x)
• "x (x ? r ? (x ? x)
• (r ? r ? (r ? r)
• No existe el conjunto de todos los conjuntos que
  no pertenecen a sí mismos.

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Soluciones a la paradoja de Russell

• Solución Russelliana a la paradoja de Russell
• La autorreferencia está presente en las
  paradojas. Por eso, todo objeto debe tener un
  tipo (un número entero no negativo) que sea tu
  catagoría.
• La expresión x es un miembro del conjunto y
  para ser considerada significativa debe ser tal
  que el tipo de y debe ser mayor que el tipo de x.
• Solución ZF
• Crítica al principio de abstracción no es
  cierto que a toda propiedad (o condición) le
  corresponda un conjunto (el de todos los objetos
  que la satisfacen).
• Es necesario agregar algún axioma de existencia
  (de aquellos conjuntos que necesitan los
  matemáticos). La concepción iterativa del
  universo conjuntista
• Sistema NGB Distinción entre conjuntos y clases
  propias. (Sistema que desarrolla Mendelson, en el
  cap. 4).

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La paradoja L-Skolem

• Skolem 1922
• Si una teoría consistente de primer posee un
  modelo infinito (no importa su cardinalidad),
  debe poseer un modelo infinito denumerable.
• Si el D all-inclusive tiene cardinalidad
  infinita, hay un modelo, cuyo dominio es
  isomórfico con el conjunto de los naturales.

• Tesis de Putnam Ningún conjunto de fórmulas de
  primer orden podría ser usado de manera tal que
  estemos seguros de que el dominio de
  interpretación consiste de absolutamente todo.
• Cualquier afirmación que sea compatible con que
  el dominio de interpretación sea all-inclusive,
  es también compatible con que el dominio sea
  less-than-all-inclusive

16
La Paradoja L-Skolem

• Sobre la suposición de que hay incontables
  objetos en el universo, el teorema L-Skolem
  parece mostrar que si hay una T de primer orden
  apta para hablar de esos objetos, esta misma T
  tiene un modelo apto para hablar de un dominio
  less-than-all-inclusive.
• Todas las fórmulas de T son verdaderas en ambas
  estructuras, pero cada una de las estructuras
  posee dominios con distinta cardinalidad.
• Supóngase que en T, agregamos el predicado es
  incontable. Si hay un modelo cuyo dominio es
  incontable donde T es verdadera, hay un modelo
  cuyo dominio es less-than-all-inclusive donde T
  es verdadera.

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Paradojas y Teoría de Modelos

• La paradoja de Orayen
•  
• 1.- El lenguaje de la teoría de conjuntos trata
  acerca de todos los conjuntos.
• Por eso,
• 2.- El dominio de un modelo que capture la
  interpretación pretendida del lenguaje de la
  teoría de conjuntos tendría que consistir en
  todos los conjuntos.
• Sin embargo,
• 3.- El dominio de un modelo es un conjunto y de
  acuerdo a las teorías de conjuntos axiomatizadas
  no existe el conjunto de todos los conjuntos.
• Por tanto,
• 4.- ningún modelo puede capturar la
  interpretación pretendida del lenguaje de la
  teoría de conjuntos.

18
La paradoja de Orayen

• Problemas
• Al dar una definición de verdad en un modelo, se
  utiliza la teoría de conjuntos. Tomemos una
  teoría de primer orden, cuyo lenguaje sea el de
  la Teoría de Conjuntos
• Es posible construir un modelo conjuntista para
  ese lenguaje?
• Cuál sería un dominio apropiado para esa teoría?
  
• Es posible que ese dominio forme un conjunto?
• Cuál sería el rango de los cuantificadores de L
  en este modelo?
• Sería posible encontrar un dominio capaz de
  incluir a TODOS los conjuntos?
• Si no hubiera un conjunto tal, podríamos
  construir un modelo que no hiciera mención
  explícita a dominio alguno? Recurso al lenguaje
  natural

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La paradoja de Orayen

• El teorema de Kreisel muestra que en el caso de
  las teorías lógicas de primer orden, basta con
  que las interpretaciones relevantes tengan como
  dominio un conjunto. Esto es, sean
  interpretaciones conjuntistas.
• La prueba del teorema depende o bien de que la
  teoría sea completa y tal dependencia condiciona
  su aplicación a otros ordenes lógicos.
• Sin una prueba (tipo Kreisel) no tenemos
  garantías de que toda interpretación sea una
  interpretación conjuntista.

20
Hay tantas interpretaciones como objetos?

• Supongamos que L es un lenguaje de primer orden.
• (ii)    Optimismo semántico podemos especificar
  la semántica de L sin imponer ninguna restricción
  arbitraria sobre el rango de los cuantificadores.
• (iii)   Supongamos que la cuantificación
  irrestricta es posible.
• (iv)   Para especificar la semántica de L,
  necesitamos generalizar sobre interpretaciones de
  las constantes primitivas no lógicas de L.
• (v)                 Sea P un predicado monádico
  de L.
• (vi)                Sea F cualquier predicado
  significativo del metalenguaje.
• (vii)               Debe ser posible interpretar
  P como significando F
• Por ejemplo, si el metalenguaje es el español, un
  caso de este tipo consiste
• ?x (IF es un interpretación bajo la cual P se
  aplica a x ssi x es un hombre) (donde ?x tiene un
  rango irrestricto)
• (1)                 ?x (IF es un interpretación
  bajo la cual P se aplica a x ssi x es un F)

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El Argumento Semántico (T. Williamson)

• (1)                 ?x (IF es un interpretación
  bajo la cual P se aplica a x ssi x es un F)
• Sem 1 una I es un objeto.
• Sem 2 Podemos definir un predicado R tal que
• (2)     ?x (IF es una interpretación bajo la
  cual R se aplica x ssi x no es una interpretación
  bajo la cual P se aplica a x )
•  
• Bien, hay una IR para F en (1), en la cual R
  reemplaza a F y al mismo tiempo, si aplicamos la
  definición de R en (2) obtenemos
•  
• (3)     ?x (IR es un interpretación bajo la cual
  P se aplica a x ssi x no es una interpretación
  bajo la cual P se aplica a x)
•  
• Ya que ?x en (3) es absolutamente irrestricto,
  podemos instanciarlo para IR para obtener
• (4)     IR es una interpretación bajo la cual P
  se aplica IR ssi IR no es una interpretación bajo
  la cual P se aplica IR
•  
• (4) es una contradicción.

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El argumento semántico

• Argumento Semántico
• Necesitamos una noción ontológica de
  Interpretación, ya que las definiciones de
  consecuencia lógica y de validez requieren
  cuantificar sobre las mismas.
• Pero, la suposición de que hay un cuantificador
  cuya interpretación irrestricta pretenda abarcar
  a todas las interpretaciones conduce a una
  contradicción.

23
El Argumento Semántico Evaluación

• Qué prueba el argumento semántico?
•  
• -          El argumento no depende de que las
  interpretaciones sean conjuntos o entidades
  conjuntistas. Tampoco emplea las nociones de
  dominio o dominio standard. Sólo depende de que
  sean objetos. El papel de las interpretaciones es
  crucial en el argumento.
•  
• Si Argumento semántico,
• - O se abandona sem 1 (Boolos, Cartwright,
  Lewis, Uzquiano, Rayo Williamson)
• - O la cuantificación irrestricta no es posible
  (Glanzberg - Linnebo)
• - O que hay asignaciones posibles de
  significados a los que no les corresponde ningún
  modelo.

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Paradojas Semánticas

• (1) Esta oración es falsa
• Supongamos que (1) es verdadera, entonces lo que
  dice es el caso, por lo tanto, es falsa.
• Supongamos que (1) es falsa, entonces lo que
  dice no es el caso. Por lo tanto, es verdadera.
• Por eso (1) es verdadera ssi (1) es falsa.
• La siguiente oración es falsa. La anterior
  oración es verdadera.
• Tesis de Kripke nuestras afirmaciones usuales
  sobre la verdad son susceptibles de mostrar
  rasgos paradójicos.
• (1) La mayor parte de las afirmaciones de Nixon
  acerca de W son falsas.
• (2) Todo lo que dice Juan sobre Watergate es
  verdadero.
• Supongamos que (1) es la única afirmación que
  Juan hace sobre Watergate y que las afirmaciones
  de Nixon sobre Watergate se encuentran repartidas
  (50) entre la V y la F.
• Entonces (1) y (2) son verdaderas ssi son falsas

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Paradojas Semánticas

• Expresabilidad universal ningún lenguaje
  suficientemente rico puede, expresar su propia
  semántica.
• Sin hacer distinciones de niveles de lenguaje
  corremos riesgos de caer en contradicción al
  intentar dar una definición de verdad para un
  lenguaje suficientemente expresivo como para
  hablar de la aritmética, que incluya dentro de
  sus afirmaciones, el predicado veritativo de ese
  lenguaje.

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Nociones básicas de teoría de conjuntos

• Nociones de teoría de conjuntos
• Conjunto - elemento de un conjunto - Inclusión -
  Intersección - Unión -
• Complemento relativo - Conjunto vacío /
  postulación de existencia del conjunto vacío.
  Conjunto unitario - tupla ordenada - Producto
  cartesiano entre dos conjuntos - Relación -
  Propiedades de las relaciones reflexividad -
  simetría - transitividad - Funciones -
  Cardinalidad y ordinalidad de un conjunto.
  Correspondencia biunivoca - Denumerabilidad
  cardinalidad infinita más pequeña. Conjunto
  contable. Secuencias finitas e infinitas.
• Principio de inducción matemática
• Usualmente se prueba que, para todo n, P(n, y1,
  , yk) implica P(n 1, y1, , yk), suponiendo
  P(n, y1, , yk) como hipótesis inductiva y
  deduciendo P(n 1, y1, , yk).
• A partir del principio de inducción se puede
  probar el
• Principio de inducción completa si para todo
  entero no negativo x la suposición P(u, y1, ,
  yk) es verdadera para todo u lt x implica que P(n,
  y1, , yk) vale, entonces para todo entero no
  negativo x, P(n, y1, , yk) es verdadera,