Hypothesis Testing

1
Chapter 9

• Hypothesis Testing
• Kenningapróf

2
Null Hypothesis Núllkenning

• The null hypothesis is a statement about the
  population value that will be tested. The null
  hypothesis is held true unless sufficient
  evidence to the contrary is obtained.
• Núllkenning er fullyrðing um gildi á þýðisstika
  og er prófuð. Núllkenningin er höfð (talin) sönn
  svo framarlega sem vísbendingar eru ekki til
  staðar um hið gagnstæða.

3
Alternative Hypothesis Valtilgáta

• The alternative hypothesis is the hypothesis that
  includes all population values not covered by the
  null hypothesis. The alternative hypothesis is
  held true if the null hypothesis is rejected or
  held false.
• Valtilgátan alternative hypothesis er tilgátan
  sem inniheldur öll þýðisgildi sem ekki teljast
  til núlltilgátunnar. Valtilgátan telst sönn ef
  núlltilgátunni er hafnað og öfugt.

4
Simple and Composite Hypotheses Einfaldar og
samsettar tilgátur

• A simple hypothesis is one that specifies a
  single value for the population parameter of
  interest.
• A composite hypothesis is one that specifies a
  range of values for the population parameter.
• Einföld tilgáta er tilgáta sem tiltekur eitt
  gildi fyrir þýðisstikan
• sem athygli beinist að.
• Samsett tilgáta er tilgáta sem tilgreinir
• bil gilda fyrir þýðisstika.

5
One-Sided and Two-Sided Alternatives Einhliða og
tvíhliða valtilgátur

• A one-sided alternative is an alternative
  hypothesis involving all possible values of a
  population parameter on either one side or the
  other of the value specified by the null
  hypothesis.
• A two-sided alternative is an alternative
  hypothesis involving all possible values of a
  population parameter other than the value
  specified by a simple null hypothesis
• Einhliða valtilgáta er tilgáta sem felur í sér
  öll gildi þýðisstika öðru hvorum hvorum megin við
  gildið sem tiltekið er af núlltilgátunni.
• Tvíhliða valtilgáta two-sided alternative er
  valtilgáta sem felur í sér öll möguleg gildi
  önnur en það gildi sem tiltekið er í
  núlltilgátunni.

6
States of Nature and Decisions on Null
Hypothesis Ástand og ákvarðanir tengdar núll
tilgátunni (Table 9.1) States of Nature
Ástand
7
Type I and Type II Errors Villa 1 og villa 2

• A Type I Error is the rejection of a true null
  hypothesis.
• A Type II Error is the acceptance of a false
  hypothesis.
• Villa 1 er að hafna réttri 0 tilgátu.
• Villa 2 er að samþykkja ranga 0.

8
Significance LevelMartktæknistig

• The significance level is the probability of
  rejecting a null hypothesis that is true.
• Marktæknistig eru líkurnar á því að hafna réttri
  0 tilgátu.
• This is sometimes expressed as a percentage, so a
  test of significance level ? is referred to as a
  100 ? - level test.

9
Power Afl

• The power of a test is the probability of
  rejecting a null hypothesis that is false.
• Afl í prófi eru líkurnar á því að hafna 0
  tilgátu sem er röng.

10
Consequences of Fixing the Significance Level of
a TestAfleiðingar þess að festa marktæknistig í
prófi (Figure 9.1)
Investigator chooses significance level
Marktæknistig er fest (Probability of a Type I
error)
Decision Rule is Established Ákvörðunar-regla
búin til
Probability of Type II error Follows Líkur á
villu II fylgja í kjölfarið
11
A Test of the Mean of a Normal Population
Population Variance Known Próf fyrir vongildi
normaldreifð þýðis. Dreifni þekkt.

• Given that we have a random sample of n
  observations from a normal population with mean ?
  and known variance ?2. If the observed sample
  mean is X, the test with significance level ? of
  the null hypothesis
• Að því gefnu að við höfum slembi úrtak n athugana
  úr normaldreifðu þýði með vongildi ? og þekkta
  dreifni ?2. Með úrtaksmeðaltalið er hægt að
  prófa eftirfarandi kenningu með marktæknistigi ?
  Þar sem núll tilgátan
• against the alternative gagnvart valtilgilátunni
• is obtained from the decision rule
• kenningin er prófuð með ákvörðunarreglunni
• Or equivalently sem jafngildir
• where Z? is the number for which þar sem Z? er
  talan sem um gildir
• and Z is the standard normal random variable.
• og Z er standard normal hending.

12
Interpretation of the Probability value or
p-value Túlkun líkindagildisins eða p-gildisins

• The probability value or p-value is the smallest
  significance level at which the null hypothesis
  can be rejected. Consider a random sample of
  size n observations from a population that has a
  normal distribution with mean ? and standard
  deviation ?, and the resulting computed sample
  mean, X. We are asked to test the null
  hypothesis
• P gildið er lægsta marktæknistig sem hægt er að
  hafna 0 tilgátu við. Hugleiðum slembið úrtak n
  athugana úr normaldreifðu þýði með vongildi ? og
  staðalfrávik ?, með úrtaki má reikna
  úrtaksmeðaltal Við viljum prófa núlltilgátuna
• against the alternative hypothesis
• gegn valkostinum
• The p-value for the test is
• P- gildi prófsins er
• where Zp is the standard normal random value
  associated with the smallest significance level
  at which the null hypothesis can be rejected.
  The p-value is regularly computed by most
  statistical computer programs and provides more
  information about the test, based on the observed
  sample mean. Þar sem Zp er stöðluð normaldreifð
  hending tengd lægsta marktæknistiginu sem hægt er
  að hafna 0 tilgátunni við. P-gildið er yfirleitt
  reiknað í flestum tölfræðihugbúnaðarforritum og
  ef það er lægra en marktæknistigi er
  núlltilgátunni hafnað.

13
A Test of the Mean of a Normal Population
(Variance Known) Composite Null and Alternative
Hypothesis

• The appropriate procedure for testing, at
  significance level ?, the null hypothesis
  Viðeigandi aðferð til að prófa við
  marktæknisstigi ?, núlltilgátuna
• against the alternative hypothesis
• gagnvart valkostinum
• is precisely the same as when the null hypothesis
  is H0 ? ?0. In addition, the p-values are
  also computed in exactly the same way.
• er nákvæmlega eins og þegar H0 ? ?0. Því til
  viðbótar eru p-gildin reiknuð eins.

14
A Test of the Mean of a Normal Distribution
(Variance Known) Composite or Simple Null and
Alternative Hypothesis

• The appropriate procedure for testing, at
  significance level ?, the null hypothesis
  Viðeigandi aðferð til að prófa við
  marktæknisstigi ?, núlltilgátuna
• against the alternative gagnvart valkostinum
• uses the decision rule
• byggir á ákvörðunarreglunni
• Or equivalently Sem jafngildir
• where -Z? is the number for which
• þar sem -Z? er stærð sem eftirfarandi gildir um
• and Z is the standard normal random variable.
• og Z er standard normal dreifð hending.
• In addition the p-values can also be computed by
  using the lower tail probabilities.

15
A Test of the Mean of a Normal Distribution
Against Two-Sided Alternative ? Known

• The appropriate procedure for testing, at
  significance level ?, the null hypothesis
  viðeigandi aðferð til að prófa við
  marktæknisstigi ?, núlltilgátuna
• against the alternative hypothesis
• is obtained from the decision rule
• sem byggir á ákvörðunarreglunni
• Equivalently Sem jafngildir